第1問
a、b、cを実数とし、aは0でないとする。xy平面上の直線y=axと放物線y=x2+aが
相異なる2点P(b，ab)、Q(c，ac)で交わっているとする。c=b2、b＜0のとき、aと
bを求めよ。
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【解答】
(1)
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf ax=x^2+a\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-ax+a=0 \end{align*}}$
となり、これの2解が$\scriptsize\sf{x=b\ ,\ b^2}$ なので、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{b+b^2=a\ ,\ \ b\cdot b^2=a}$
aを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b+b^2=b^3&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf b(b^2-b-1)=0 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf b=\underline{\frac{1-\sqrt5}{2}}\ \ \ \left(\because\ b\lt 0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a&=\sf b+b^2 \\ &=\sf \frac{1-\sqrt5}{2}+\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^2\\ &=\sf \underline{2-\sqrt5}\end{align*}}$
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第2問
aを1ではない正の実数、nを正の整数とする。次の不等式を考える。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \log_a\left(x-n\right)\gt\frac{1}{2}\log_a\left(2n-x\right)\end{align*}}$
(1) n=6のとき、この不等式を満たす整数xをすべて求めよ。
(2) この不等式を満たす整数xが存在するためのnについての必要十分条件を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
真数条件
$\scriptsize\sf{x-n\gt 0}$ かつ $\scriptsize\sf{12-x\gt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ n\lt x\lt 2n\ \ \ \cdots\cdots (*)}$
与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\log_a\left(x-n\right)\gt\frac{1}{2}\log_a\left(2n-x\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_a\left(x-n\right)^2\gt\log_a\left(2n-x\right) \ \ \ \cdots\cdots (**)\end{align*}}$
と変形できる。
(1)
n=6のとき、
$\scriptsize\sf{(*)\ \ \Leftrightarrow\ \ 6\lt x\lt 12}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (**)\ \ \Leftrightarrow\ \ \log_a\left(x-6\right)^2\gt\log_a\left(12-x\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (i)\ a\gt 1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(x-6\right)^2\gt 12-x&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2-11x+24\gt 0 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x\lt 3\ ,\ \ 8\lt x \end{align*}}$
xは整数なので、$\scriptsize\sf{\underline{x=9,\ 10,\ 11}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (ii)\ 0\lt a\lt 1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(x-6\right)^2\lt 12-x\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 3\lt x \lt 8 \end{align*}}$
xは整数なので、真数条件を考慮に入れると$\scriptsize\sf{\underline{x=7}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)&=\sf (x-n)^2-(2n-x) \end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(n)=(n-n)^2-(2n-n)=-n\lt 0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(2n)=(2n-n)^2-(2n-2n)=n^2\gt 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (i)\ a\gt 1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (**)\ \ \Leftrightarrow\ \ f(x)\gt 0\end{align*}}$
これが(*)の範囲に整数解をもつためには
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(2n-1)\gt 0&\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (2n-1-n)^2-(2n-2n+1)\gt 0\sf \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf n^2-2n\gt 0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf n\gt 2\ \ \ (\because\ n\gt 0)\end{align*}}$
であればよい。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (ii)\ 0\lt a\lt 1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (**)\ \ \Leftrightarrow\ \ f(x)\lt 0\end{align*}}$
これが(*)の範囲に整数解をもつためには
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(n+1)\lt 0&\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ (n+1-n)^2-(2n-n-1)\lt 0\sf \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf n\gt 2\end{align*}}$
であればよい。
以上より、いずれの場合も求める条件は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{n\gt 2}\end{align*}}$
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第3問
数列$\small\sf{\left\{a_n\right\}}$ を次の漸化式によって定める。
$\small\sf{a_1=1\ ,\ \ a_2=3\ ,\ \ a_{n+2}a_n=2a_{n+1}^2\ \ \ (n=1,2,3,\cdots)}$
(1) すべての正の整数nについて、$\small\sf{a_n}$ は正であることを示せ。
(2) 一般項$\small\sf{a_n}$ を求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{a_n\gt 0}$ であることを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1，2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_1=1\gt 0\ ,\ \ a_2=3\gt 0\end{align*}}$ よりOK
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n=k,\ k+1\end{align*}}$ に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_k\gt 0\ ,\ \ a_{k+1}\gt 0 \end{align*}}$
が成り立つと仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{k+2}a_k=2a_{k+1}^2\ \ \Leftrightarrow\ \ a_{k+2}=\frac{2a_{k+1}^2}{a_k}\gt 0 \end{align*}}$
となり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n=k+2\end{align*}}$ のときも成り立つ。
以上より、すべての正の整数nに対して$\scriptsize\sf{a_n\gt 0}$ である。
(2)
(1)より$\scriptsize\sf{a_n\gt 0}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n=\log_2a_n\ \ \ (n=1,2,3,\cdots)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_1=\log_21=0\ ,\ \ \ b_2=\log_23 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log_2\left(a_{n+2}a_n\right)=\log_2\left(2a_{n+1}^2\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_2a_{n+2}+\log_2a_{n}=\log_22+2\log_2a_{n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+2}+b_{n}=2b_{n+1}+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+2}-b_{n+1}=b_{n+1}-b_{n}+1\end{align*}}$
となるので、数列$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left\{b_{n+1}-b_{n}\right\}\end{align*}}$ は公差1の等差数列をなす。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_{n+1}-b_n= b_2-b_1+(n-1)= n-1+\log_23\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{n\geqq 2}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n&=\sf b_1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(k-1+\log_23\right) \\ &=\sf \frac{1}{2}(n-1)(n-2)+(\log_23)(n-1)\end{align*}}$
これは$\scriptsize\sf{n=1}$ のときも成り立つ。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n&=\sf 2^{b_n} \\ &=\sf 2^{\frac{1}{2}(n-1)(n-2)+(\log_23)(n-1)}\\ &=\sf \underline{\left(\sqrt2\right)^{(n-1)(n-2)}\cdot 3^{n-1}}\end{align*}}$
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第4問
nを2以上の整数とする。金貨と銀貨を含むn枚の硬貨を同時に投げ、裏が出た金貨は
取り去り、取り去った金貨と同じ枚数の銀貨を加えるという試行の繰り返しを考える。
初めはn枚すべてが金貨であり、n枚すべてが銀貨になった後も試行を繰り返す。k回目の
試行の直後に、n枚の硬貨のなかに金貨がj枚だけ残る確率をPk(j) （0≦j≦n）で表す。
(1) P1(j)を求めよ。
(2) Pk(j) （k≧2）を求めよ。
(3) n=3とする。2回目の試行の直後では金貨が少なくとも1枚残るが、3回目の試行の
直後には3枚すべてが銀貨になる確率を求めよ。
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【解答】
(1)
1回投げてn枚の金貨のうちn-j枚が裏返ればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_1(j)=_nC_j\left(\frac{1}{2}\right)^{j}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-j}=\underline{_nC_j\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}\end{align*}}$
(2)
k回投げてn枚の金貨のうちj枚はk回とも表が出て、
残りのn-j枚は各々少なくとも1回裏が出ればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{_nC_j\left(\frac{1}{2}\right)^{jk}\left\{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\right\}^{n-j}}\end{align*}}$
(3)
1回の試行で金貨の枚数が
3枚→0枚と変化するのは、3枚とも裏が出たときで、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\end{align*}}$
3枚→1枚と変化するのは、2枚だけ裏が出たときで、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf _3C_2\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{8}\end{align*}}$
3枚→2枚と変化するのは、1枚だけ裏が出たときで、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf _3C_1\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{8}\end{align*}}$
3枚→3枚と変化しないのは、3枚とも表が出たときで、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\end{align*}}$
2枚→0枚と変化するのは、金貨が2枚とも裏が出たときで、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\end{align*}}$
（銀貨の裏表はどうでもいい。以下も同様）
2枚→1枚と変化するのは、金貨が1枚だけ裏が出たときで、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf _2C_1\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
2枚→2枚と変化しないのは、金貨が2枚とも表が出たときで、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\end{align*}}$
1枚→0枚と変化するのは、金貨が裏が出たときで、その確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\end{align*}}$
1枚→1枚と変化しないのは、金貨が表が出たときで、その確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\end{align*}}$
題意を満たすような金貨の枚数の変化は
3→3→3→0
3→3→2→0
3→3→1→0
3→2→2→0
3→2→1→0
3→1→1→0
の6通りあるので、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\cdot\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\cdot\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{2}+\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}+\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\underline{\frac{127}{512}}\end{align*}}$
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- 2019/04/12(金) 23:57:00|
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