第1問
(1) aをa≠1である正の定数とするとき、関数
ｆ(x)=loga(1+logax)
の定義域と微分係数ｆ’(a)をaを用いて表せ。
(2) 自然数ｎに対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{1}{1}+\frac{2}{1+3^2}+\frac{3}{1+3^2+5^2}+\ldots+\frac{n}{1+3^2+5^2+\ldots+(2n-1)^2}\end{align*}}$
と定めるとき、極限値
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}b_n\end{align*}}$
を求めよ。
（1の(1)については計算の過程を記入しなくてよい。）
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
真数条件より
x＞0 かつ 1+logax＞0
(ⅰ)1＜aのとき
x＞a－1
(ⅱ)0＜a＜1のとき
0＜x＜a－1
両辺をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{1}{\log a}\times \frac{(1+\log_a x)'}{1+\log_a x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\log a}\times \frac{1}{1+\log_a x}\times\left(\frac{1}{\log a}\times\frac{1}{x}\right)\end{align*}}$
ここで、logaa=1より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(a)=\frac{1}{2a(\log a)^2}\end{align*}}$
(2)
cn=1+32+52+･･･+(2ｎ－1)2 とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_n=\sum_{k=1}^n\ (2k-1)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^n\ (4k^2-4k+1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4}{6}n(n+1)(2n+1)-\frac{4}{2}n(n+1)-n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}(2n-1)(2n+1)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\sum_{k=1}^n\ \frac{k}{c_k}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3\ \sum_{k=1}^n\ \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2}\ \sum_{k=1}^n\ \left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2}\ \left(1-\frac{1}{2n+1}\right)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ b_n=\frac{3}{2}\end{align*}}$
計算ミスをせんように！
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- 2012/03/02(金) 23:57:00|
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第2問
ｋを定数とする。－$\small\sf{\pi}$ /2＜x＜$\small\sf{\pi}$ /2において、2曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=k\cos x\ \ ,\ \ C_2: y=\frac{1}{\cos x}\end{align*}}$
が2点で交わっているものとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 定数ｋの値の範囲を求めよ。
(2) 2曲線C1とC2の2つの交点のうち、x座標が正である交点を
Pとし、交点PにおけるC1、C2の接線の傾きをそれぞれｍ1、
ｍ2とする。このとき、ｍ2=－ｍ1が成り立つことを示せ。
(3) ｋ=2のとき、2曲線C1、C2で囲まれた図形をx軸のまわりに
1回転してできる回転体の体積Vを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
C1とC2の交点を求める。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k\cos x=\frac{1}{\cos x}\end{align*}}$ ････①
ここで、－$\scriptsize\sf{\pi}$ /2＜x＜$\scriptsize\sf{\pi}$ /2より、cosx＞0なので
ｋ＞0
である。よって、①は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos x=\frac{1}{\sqrt k}\end{align*}}$ ････②
と変形できる。これを満たすxが2つ存在すればよいので、
求めるｋの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{1}{\sqrt k}<1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ k>1\ \ }\end{align*}}$
(2)
点Pのx座標をa（＞0）とすると、これは②を満たすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos a=\frac{1}{\sqrt k}\end{align*}}$ ････②’
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=k\cos x\ \ ,\ \ g\ (x)=\frac{1}{\cos x}\end{align*}}$
とおくと、それぞれの導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-k\sin x\ \ ,\ \ g\ (x)=\frac{\sin x}{\cos^2 x}\end{align*}}$
となるので、接線の傾きｍ1、ｍ2は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m_1=f\ '(a)=-k\sin a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m_2=g\ (a)=\frac{\sin a}{\cos^2 a}\end{align*}}$ .
これに②’を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m_2=\sin a\cdot\left(\sqrt k\right)^2=k\sin a\end{align*}}$
となるので、
ｍ2=－ｍ1
となる。
(3)
ｋ=2のとき、
ｆ(x)=2cosx．
また、②’より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos a=\frac{1}{\sqrt 2}\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{\pi}{4}\ (>0)\end{align*}}$
求める回転体の体積は、図の対称性を考慮して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=2\pi\ \int_0^{\pi /4}\ \left(\{f\ (x)\}^2-\{g\ (x)\}^2\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\pi\ \int_0^{\pi /4}\ \left(4\cos^2 x-\frac{1}{\cos ^2 x}\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\pi\ \int_0^{\pi /4}\ \left(2\cos 2x+2-\frac{1}{\cos ^2 x}\right)\ dx\end{align*}}$ ←倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\pi\ \left[\ \sin 2x+2x-\tan x\ \right]_0^{\pi /4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \pi ^2\ \ }\end{align*}}$
まぁ標準的な問題ですね。これは落としちゃダメですよ。
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- 2012/03/03(土) 23:54:00|
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第3問
点O(0，0，0)を原点とする座標空間の4点A(－1，0，3)、
B(1，－1，－1)、C(－1，－4，3)、D(4，1，－2)の位置ベクトル
をそれぞれ$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\ ,\ \overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$ とする。また、2つのベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ の
両方に垂直な単位ベクトルを$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}\end{align*}}$ とし、2つのベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\ ,\ \overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$ の両方に
垂直な単位ベクトルを$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf f}\end{align*}}$ とする。さらに、空間内に点Pがあり、点Pの
位置ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ は
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ =$\small\sf{\alpha}$ $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ +$\small\sf{\beta}$ $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ +$\small\sf{\gamma}$ $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ （$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ 、γは定数）
であるとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}\ ,\ \overrightarrow{\sf f}\end{align*}}$ を成分表示せよ。
(2) 実数s、t、uに対して、等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf |s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}+u\overrightarrow{\sf e}|^2=|s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}|^2+u^2\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(3) 空間内に点Qがあり、点Qの位置ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$ は
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf q}=s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ （s、tは実数）
であるとする。実数s、tを動かすとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf PQ}|\end{align*}}$ の最小値は|$\small\sf{\gamma}$ |で
あることを示せ。この最小値を点Pと平面OABの距離という。ただし、
平面OABとは3点O、A、Bを通る平面である。
(4) 点Pと平面OABとの距離を内積$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf e}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(5) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ の成分表示を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}=(L\ ,\ m\ ,\ n)\end{align*}}$ とする。点Pと平面OCDとの距離が
点Pと平面OABとの距離に等しくなるための必要十分条件をL、ｍ、
ｎを用いて表せ。
（3の(1)については計算の過程を記入しなくてよい。）
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}=(e_x\ ,\ e_y\ ,\ e_z)\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf e}|^2=e_x^{\ 2}+e_y^{\ 2}+e_z^{\ 2}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}\cdot\overrightarrow{\sf a}=-e_x+3e_z=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}\cdot\overrightarrow{\sf b}=e_x-e_y-e_z=0\end{align*}}$
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}=\underline{\ \pm\frac{1}{\sqrt{14}}\ (3\ ,\ 2\ ,\ 1)\ \ }\end{align*}}$
同様に、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf f}=(f_x\ ,\ f_y\ ,\ f_z)\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf f}|^2=f_x^{\ 2}+f_y^{\ 2}+f_z^{\ 2}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf f}\cdot\overrightarrow{\sf c}=-f_x-4f_y+3f_z=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf f}\cdot\overrightarrow{\sf d}=4f_x+f_y-2f_z=0\end{align*}}$
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf f}=\underline{\ \pm\frac{1}{\sqrt{14}}\ (1\ ,\ 2\ ,\ 3)\ \ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\ s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}+u\overrightarrow{\sf e}\ |^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\ s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\ |^2+2\left(\ s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\ \right)\cdot\ u\overrightarrow{\sf e}+|\ u\overrightarrow{\sf e}\ |^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\ s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\ |^2+2su\ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf e}+2tu\ \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf e}+u^2\ |\ \overrightarrow{\sf e}\ |^2\end{align*}}$ ････(A)
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf e}=0\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf e}=0\ \ ,\ \ |\ \overrightarrow{\sf e}\ |=1\end{align*}}$ ････①
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (A)=|\ s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\ |^2+u^2\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\ \overrightarrow{\sf PQ}\ |^2=|\ \overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OP}\ |^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\ (s-\alpha)\overrightarrow{\sf a}+(t-\beta)\overrightarrow{\sf b}-\gamma\overrightarrow{\sf e}\ |^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\ (s-\alpha)\overrightarrow{\sf a}+(t-\beta)\overrightarrow{\sf b}\ |^2+\gamma^2\end{align*}}$ ←(2)より
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\ (s-\alpha)\overrightarrow{\sf a}+(t-\beta)\overrightarrow{\sf b}\ |^2\geqq 0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\ \overrightarrow{\sf PQ}\ |^2\geqq \gamma^2\end{align*}}$ ．
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\ \overrightarrow{\sf PQ}\ |\end{align*}}$ の最小値は |$\scriptsize\sf{\gamma}$ | となる。
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf e}=(\alpha\overrightarrow{\sf a}+\beta\overrightarrow{\sf b}+\gamma\overrightarrow{\sf e})\cdot\overrightarrow{\sf e}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\alpha\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf e}+\beta\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf e}+\gamma\ |\overrightarrow{\sf e}|^2\end{align*}}$
ここで、①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf e}=\gamma\end{align*}}$
となるので、点Pと平面ＯABの距離をd1とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d_1=|\gamma|=\underline{\ |\ \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf e}\ |\ \ }\end{align*}}$
(5)
点Pと平面ＯCDの距離をd2とおくと、(4)と同様にして
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d_2=|\ \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf f}\ |\end{align*}}$
が得られる。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d_1=d_2\ \ \Leftrightarrow\ \ |\ \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf e}\ |^2=|\ \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf f}\ |^2\end{align*}}$
これに(1)で得られた成分および、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}=(L\ ,\ m\ ,\ n)\end{align*}}$
を代入して計算すると、
|3L+2ｍ+ｎ|=|L+2ｍ+3ｎ|
⇔ 3L+2ｍ+ｎ=±(L+2ｍ+3ｎ)
⇔ L+ｍ+ｎ=0 または L=ｎ
これはそのまま誘導に乗って計算するだけですね。
簡単簡単！
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- 2012/03/04(日) 23:57:00|
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第4問
1秒ごとに1つの整数が表示される装置がある。整数kが表示された
とき、次の規則(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)にしたがって1秒後の整数が装置に
表示される。
規則(ⅰ)
k＞0の場合には、k－1、k－2、k－3のいずれかが表示され、
それぞれの整数が表示される確率は $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ である。
規則(ⅱ)
k＜0の場合には、k+1、k+2、k+3のいずれかが表示され、
それぞれの整数が表示される確率は $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ である。
規則(ⅲ)
k=0の場合には、0が表示される。
整数－3が表示されてからn秒後に表示される整数Xnとするとき、
|Xn|=2となる確率をanとし、|Xn|=1となる確率をbnとする。
また、整数－3が表示されてからn秒後に初めて0が表示される確率
をcnとする。ただし、nは2以上の整数である。このとき、次の問いに
答えよ。
(1) 確率a2、b2、c2をそれぞれ求めよ。
(2) すべてのnに対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{a_{n+1}}{b_{n+1}}=Q\ \binom{a_n}{b_n}\end{align*}}$
を満たす行列Qを求めよ。
(3) 行列Pを
$\small\sf{\begin{align*} \sf P=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf1\\ \sf 2 &\sf -1\end{pmatrix}\end{align*}}$
とする。P-1とP-1QPを求めよ。
(4) Qnをnを用いて表せ。
(5) 確率an、bnおよびcnをnを用いて表せ。
（4の(1)、(2)、(3)については途中の過程を記入しなくてよい。）
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
X0=－3なので、X1のは－2、－1、0のいずれかになる。
(ⅰ)X1=－2のとき
X2は1、0、－1のいずれか
(ⅱ)X1=－1のとき
X2は2、1、0のいずれか
(ⅲ)X1=0のとき
X2=0
以上のことから考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_2=\frac{1}{9}\ \ ,\ \ b_2=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ c_2=\frac{2}{9}\ \ }\end{align*}}$
(2)
Xnの値によって、場合分けすると、
(ア)Xn=2のとき
Xn+1は1、0、－1のいずれか
(イ)Xn=－2のとき
Xn+1は－1、0、1のいずれか
(ウ)Xn=1のとき
Xn+1は0、－1、－2のいずれか
(エ)Xn=－1のとき
Xn+1は0、1、2のいずれか
(オ)Xn=0のとき
Xn+1=0
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{1}{3}\ b_n\ \ ,\ \ b_{n+1}=\frac{2}{3}\ a_n+\frac{1}{3}\ b_n\end{align*}}$
これは行列を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{a_{n+1}}{b_{n+1}}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 1 \\ \sf 2 & \sf 1 \end{pmatrix}\binom{a_{n}}{b_{n}}\end{align*}}$
と表すことができるので、求める行列Qは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ Q=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 1 \\ \sf 2 & \sf 1 \end{pmatrix}\ \ }\end{align*}}$
(3)
行列Pのデターミナントを求めると、
ΔP=－1－2≠0
なので、逆行列P-1が存在し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf 2 & \sf -1 \end{pmatrix}\ \ }\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P^{-1}QP=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf 2 & \sf -1 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 1 \\ \sf 2 & \sf 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf 2 & \sf -1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
これを頑張って計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P^{-1}QP=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf 2&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}\ \ }\end{align*}}$ ････①
(4)
①の両辺をｎ乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (P^{-1}QP)^n=\left\{\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf 2&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}\right\}^n\end{align*}}$
左辺は、
(P-1QP)n=P-1QPP-1QP････P-1QP
=P-1QEQE････EQP
=P-1QnP
一方、①の右辺は対角行列なので、ｎ乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf 2&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}\right)^n=\frac{1}{3^n}\begin{pmatrix} \sf 2^n&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf \left(-1\right)^n \end{pmatrix}\end{align*}}$
となる。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P^{-1}Q^{n\ }P=\frac{1}{3^n}\begin{pmatrix} \sf 2^n&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf \left(-1\right)^n \end{pmatrix}\end{align*}}$
が得られ、この式の両辺に、左からP、右からP-1をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\ P^{-1}Q^{n\ }P\ P^{-1}=P\ \frac{1}{3^n}\begin{pmatrix} \sf 2^n&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf \left(-1\right)^n \end{pmatrix}\ P^{-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ Q^{n\ }=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf 2 & \sf -1 \end{pmatrix}\cdot\ \frac{1}{3^n}\begin{pmatrix} \sf 2^n&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf \left(-1\right)^n \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf 2 & \sf -1 \end{pmatrix} \end{align*}}$
これをかなり頑張って計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ Q^{n}=\frac{1}{3^{n+1}}\begin{pmatrix} \sf 2^n+2\cdot(-1)^n&\sf 2^n+(-1)^{n+1} \\ \sf 2^{n+1}+2\cdot(-1)^{n+1} & \sf 2^{n+1}+(-1)^n \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
(5)
(2)より、任意のｎに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{a_{n+1}}{b_{n+1}}=Q\ \binom{a_{n}}{b_{n}}\end{align*}}$
が成り立つので、順次代入していくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{a_{n}}{b_{n}}=Q\ \binom{a_{n-1}}{b_{n-1}}=Q^2\ \binom{a_{n-2}}{b_{n-2}}=Q^3\ \binom{a_{n-3}}{b_{n-3}}=\ldots\ldots=Q^{n-1}\ \binom{a_{1}}{b_{1}}\end{align*}}$
が得られる。ここで(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{1}=b_{1}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
なので、これと(4)の結果を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{a_{n}}{b_{n}}=\frac{1}{3^{n}}\begin{pmatrix} \sf 2^n+2\cdot(-1)^n&\sf 2^n+(-1)^{n+1} \\ \sf 2^{n+1}+2\cdot(-1)^{n+1} & \sf 2^{n+1}+(-1)^n \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{3} \binom{1}{1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3^{n+1}}\binom{2^{n}-(-1)^{n}}{2^{n+1}+(-1)^{n}}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_n=\frac{1}{3^{n+1}}\left(2^{n}-(-1)^{n}\right)\ \ ,\ \ b_n=\frac{1}{3^{n+1}}\left(2^{n+1}+(-1)^{n}\right)\ \ }\end{align*}}$
一方、(2)の図から考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_{n+1}=\frac{1}{3}\ a_n+\frac{1}{3}\ b_n\end{align*}}$ ．
これに、上で求めたanおよびbnを代入して計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_{n+1}=\frac{2^n}{3^{n+1}}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ c_{n}=\frac{2^{n-1}}{3^{n}}\ \ }\end{align*}}$
(2)が1つのヤマ場です。これを乗り越えると、あとは簡単。
誘導に乗ってそのまま計算するだけです！
ただし、計算がかなり面倒ですが･････
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- 2012/03/05(月) 23:57:00|
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第5問
a＞1、0＜$\small\sf{\theta}$ ＜1とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 積分
$\small\sf{\begin{align*} \sf I_a\ (\theta)=\int_0^{(1-\theta)\pi}\ \sin ax\ \sin x\ dx\end{align*}}$
を計算し、Ｉa($\small\sf{\theta}$ )をaと$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(2) 極限
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\pi}\frac{\sin ax}{\sin x}\end{align*}}$
が正の値に収束するためのaの条件を求めよ。
(3) (2)の条件を満たすaに対して、極限
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow +0}\frac{\sin\{a(1-\theta)\pi\}}{\theta}\end{align*}}$
をaを用いて表せ。
(4) (2)の条件を満たすaに対して、極限
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow +0}\frac{1}{\theta^3}\ I_a\ (\theta)\end{align*}}$
をaを用いて表せ。なお、x≧0であるすべてのxに対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf x-\frac{1}{6}x^2\ \leqq \sin x\ \leqq\ x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5\end{align*}}$
が成り立つことを用いてもよい。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
積→和の公式を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_a\ (\theta)=-\frac{1}{2}\int_0^{(1-\theta)\pi}\bigg(\cos(a+1)x-\cos(a-1)x\bigg)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\left[\frac{1}{a+1}\sin(a+1)x-\frac{1}{a-1}\sin(a-1)x \right] _0^{(1-\theta)\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{-\frac{1}{2(a+1)}\sin(a+1)(1-\theta)\pi+\frac{1}{2(a-1)}\sin(a-1)(1-\theta)\pi}\end{align*}}$
(2)
極限値を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\pi}\frac{\sin ax}{\sin x}=L\ (>0)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\pi}\ \sin ax\ =\ \lim_{x\rightarrow\pi}\frac{\sin ax}{\sin x}\times\lim_{x\rightarrow\pi}\ \sin x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \sin a\pi\ =\ L\times 0=0\end{align*}}$
となるので、
aは整数である ････①
x－$\scriptsize\sf{\pi}$ =pとおくと、
x→$\scriptsize\sf{\pi}$ のときp→0
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{p\rightarrow 0}\frac{\sin a(p+\pi)}{\sin (p+\pi)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{p\rightarrow 0}\frac{\sin ap\cdot\cos a\pi+\cos ap\cdot\sin a\pi}{-\sin p}\end{align*}}$ ←加法定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\lim_{p\rightarrow 0}\frac{\sin ap\cdot\cos a\pi}{\sin p}\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\lim_{p\rightarrow 0}\frac{\sin ap\cdot}{ap}\cdot\frac{p}{\sin p}\cdot\frac{ap}{p}\cdot\cos a\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-a\cdot\cos a\pi\end{align*}}$
が得られる。
Ｌ=－a cosa$\scriptsize\sf{\pi}$ ＞0
と①およびa＞1より、
aは3以上の奇数であればよい。
(3)
求める極限値をＬ’として、加法定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L'=\lim_{\theta\rightarrow +0}\frac{\sin a\pi\cdot\cos a\theta\pi-\cos a\pi\cdot\sin a\theta\pi}{\theta}\end{align*}}$
ここで(2)より、
sina$\scriptsize\sf{\pi}$ =0 、 cosa$\scriptsize\sf{\pi}$ =－1
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L'=\lim_{\theta\rightarrow +0}\frac{\sin a\theta\pi}{\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{\theta\rightarrow +0}\frac{\sin a\theta\pi}{a\theta\pi}\cdot a\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ a\pi\ \ }\end{align*}}$
(4)は長くなりそうなので、次に記事です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/03/06(火) 23:54:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 中期 2009（工）
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第5問
a＞1、0＜$\small\sf{\theta}$ ＜1とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 積分
$\small\sf{\begin{align*} \sf I_a\ (\theta)=\int_0^{(1-\theta)\pi}\ \sin ax\ \sin x\ dx\end{align*}}$
を計算し、Ｉa($\small\sf{\theta}$ )をaと$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(2) 極限
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\pi}\frac{\sin ax}{\sin x}\end{align*}}$
が正の値に収束するためのaの条件を求めよ。
(3) (2)の条件を満たすaに対して、極限
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow +0}\frac{\sin\{a(1-\theta)\pi\}}{\theta}\end{align*}}$
をaを用いて表せ。
(4) (2)の条件を満たすaに対して、極限
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow +0}\frac{1}{\theta^3}\ I_a\ (\theta)\end{align*}}$
をaを用いて表せ。なお、x≧0であるすべてのxに対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf x-\frac{1}{6}x^2\ \leqq \sin x\ \leqq\ x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5\end{align*}}$
が成り立つことを用いてもよい。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_a\ (\theta)=-\frac{1}{2(a+1)}\sin(a+1)(1-\theta)\pi+\frac{1}{2(a-1)}\sin(a-1)(1-\theta)\pi\end{align*}}$
(2)
aは3以上の奇数である。
(4)
以下、複号同順として、加法定理より
sin(a±1)(1－$\scriptsize\sf{\theta}$ )$\scriptsize\sf{\pi}$
=sin(a±1)$\scriptsize\sf{\pi}$ cos(a±1)$\scriptsize\sf{\pi}$ －cos(a±1)$\scriptsize\sf{\pi}$ sin(a±1)$\scriptsize\sf{\pi}$
ここで、(2)より
sin(a±1)$\scriptsize\sf{\pi}$ =0 、 cos(a±1)$\scriptsize\sf{\pi}$ =1
なので、
sin(a±1)(1－$\scriptsize\sf{\theta}$ )$\scriptsize\sf{\pi}$ =－sin(a±1)$\scriptsize\sf{\pi}$ ．
これより、(1)で求めたＩa($\scriptsize\sf{\theta}$ )は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_a\ (\theta)=\frac{\sin(a+1)\theta\pi}{2(a+1)}-\frac{\sin(a-1)\theta\pi}{2(a-1)}\end{align*}}$ ････②
と変形できる。
一方、与えられた不等式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0 \leqq \sin x-x+\frac{1}{6}x^3\ \leqq \ \frac{1}{120}x^5\end{align*}}$
と変形でき、これにx=(a+1)$\scriptsize\sf{\theta}$ $\scriptsize\sf{\pi}$ を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0 \leqq \sin (a+1)\theta\pi-(a+1)\theta\pi+\frac{(a+1)^3\theta^3\pi^3}{6}\ \leqq \ \frac{(a+1)^5\theta^5\pi^5}{120}\end{align*}}$
両辺を2(a+1)（＞0）で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0 \leqq \frac{\sin (a+1)\theta\pi}{2(a+1)}-\frac{\theta\pi}{2}+\frac{(a+1)^2\theta^3\pi^3}{12}\ \leqq \ \frac{(a+1)^4\theta^5\pi^5}{240}\end{align*}}$
同様にして、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0 \leqq \frac{\sin (a-1)\theta\pi}{2(a-1)}-\frac{\theta\pi}{2}+\frac{(a-1)^2\theta^3\pi^3}{12}\ \leqq \ \frac{(a-1)^4\theta^5\pi^5}{240}\end{align*}}$
これら2式の差をとると、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{(a-1)^4\theta^5\pi^5}{240} \leqq I_a\ (\theta)+\frac{(a+1)^2\theta^3\pi^3}{12}-\frac{(a-1)^2\theta^3\pi^3}{12}\ \leqq \ \frac{(a+1)^4\theta^5\pi^5}{240}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{(a-1)^4\theta^5\pi^5}{240} \leqq I_a\ (\theta)+\frac{4a\ \theta^3\pi^3}{12}\ \leqq \ \frac{(a+1)^4\theta^5\pi^5}{240}\end{align*}}$
両辺を$\scriptsize\sf{\theta}$ 3 （＞0）で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{(a-1)^4\theta^2\pi^5}{240} \leqq \frac{I_a\ (\theta)}{\theta^3}+\frac{a\ \pi^3}{3}\ \leqq \ \frac{(a+1)^4\theta^2\pi^5}{240}\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow +0}\ \frac{(a-1)^4\theta^2\pi^5}{240} =\lim_{\theta\rightarrow +0}\ \frac{(a+1)^4\theta^2\pi^5}{240}=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow +0}\ \frac{I_a\ (\theta)}{\theta^3}+\frac{a\ \pi^3}{3}=0\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow +0}\ \frac{I_a\ (\theta)}{\theta^3}=\underline{\ -\frac{a\ \pi^3}{3}\ \ }\end{align*}}$
高校生には、こりゃぁちょっと難しいんじゃないですかね＾＾；；
まぁ(3)までを確実にキープしましょう。
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- 2012/03/06(火) 23:57:00|
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