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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2009大阪府立大 工学部 数学1




第1問

 (1) aをa≠1である正の定数とするとき、関数
       f(x)=loga(1+logax)
    の定義域と微分係数f’(a)をaを用いて表せ。

 (2) 自然数nに対して、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{1}{1}+\frac{2}{1+3^2}+\frac{3}{1+3^2+5^2}+\ldots+\frac{n}{1+3^2+5^2+\ldots+(2n-1)^2}\end{align*}}$
    と定めるとき、極限値
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}b_n\end{align*}}$
    を求めよ。


 (1の(1)については計算の過程を記入しなくてよい。)


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  1. 2012/03/02(金) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 中期 2009(工)
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2009大阪府立大 工学部 数学2




第2問

  kを定数とする。-$\small\sf{\pi}$ /2<x<$\small\sf{\pi}$ /2において、2曲線
       $\small\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=k\cos x\ \ ,\ \ C_2: y=\frac{1}{\cos x}\end{align*}}$
  が2点で交わっているものとする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) 定数kの値の範囲を求めよ。

 (2) 2曲線C1とC2の2つの交点のうち、x座標が正である交点を
    Pとし、交点PにおけるC1、C2の接線の傾きをそれぞれm1
    m2とする。このとき、m2=-m1が成り立つことを示せ。

 (3) k=2のとき、2曲線C1、C2で囲まれた図形をx軸のまわりに
    1回転してできる回転体の体積Vを求めよ。



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  1. 2012/03/03(土) 23:54:00|
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2009大阪府立大 工学部 数学3



第3問

  点O(0,0,0)を原点とする座標空間の4点A(-1,0,3)、
  B(1,-1,-1)、C(-1,-4,3)、D(4,1,-2)の位置ベクトル
  をそれぞれ$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\ ,\ \overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$ とする。また、2つのベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ の
  両方に垂直な単位ベクトルを$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}\end{align*}}$ とし、2つのベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\ ,\ \overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$ の両方に
  垂直な単位ベクトルを$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf f}\end{align*}}$ とする。さらに、空間内に点Pがあり、点Pの
  位置ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ は
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ =$\small\sf{\alpha}$ $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ +$\small\sf{\beta}$ $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ +$\small\sf{\gamma}$ $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$   ($\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ 、γは定数)
  であるとする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}\ ,\ \overrightarrow{\sf f}\end{align*}}$ を成分表示せよ。

 (2) 実数s、t、uに対して、等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf |s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}+u\overrightarrow{\sf e}|^2=|s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}|^2+u^2\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (3) 空間内に点Qがあり、点Qの位置ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$ は
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf q}=s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$   (s、tは実数)
    であるとする。実数s、tを動かすとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf PQ}|\end{align*}}$ の最小値は|$\small\sf{\gamma}$ |で
    あることを示せ。この最小値を点Pと平面OABの距離という。ただし、
    平面OABとは3点O、A、Bを通る平面である。

 (4) 点Pと平面OABとの距離を内積$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf e}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (5) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ の成分表示を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}=(L\ ,\ m\ ,\ n)\end{align*}}$ とする。点Pと平面OCDとの距離が
    点Pと平面OABとの距離に等しくなるための必要十分条件をL、m、
    nを用いて表せ。


(3の(1)については計算の過程を記入しなくてよい。)


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  1. 2012/03/04(日) 23:57:00|
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2009大阪府立大 工学部 数学4



第4問

  1秒ごとに1つの整数が表示される装置がある。整数kが表示された
  とき、次の規則(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)にしたがって1秒後の整数が装置に
  表示される。

  規則(ⅰ)
     k>0の場合には、k-1、k-2、k-3のいずれかが表示され、
    それぞれの整数が表示される確率は $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ である。
  規則(ⅱ)
     k<0の場合には、k+1、k+2、k+3のいずれかが表示され、
    それぞれの整数が表示される確率は $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ である。
  規則(ⅲ)
     k=0の場合には、0が表示される。
  
  整数-3が表示されてからn秒後に表示される整数Xnとするとき、
  |Xn|=2となる確率をanとし、|Xn|=1となる確率をbnとする。
  また、整数-3が表示されてからn秒後に初めて0が表示される確率
  をcnとする。ただし、nは2以上の整数である。このとき、次の問いに
  答えよ。

 (1) 確率a2、b2、c2をそれぞれ求めよ。

 (2) すべてのnに対して
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{a_{n+1}}{b_{n+1}}=Q\ \binom{a_n}{b_n}\end{align*}}$
    を満たす行列Qを求めよ。

 (3) 行列Pを
        $\small\sf{\begin{align*} \sf P=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf1\\ \sf 2 &\sf -1\end{pmatrix}\end{align*}}$
    とする。P-1とP-1QPを求めよ。

 (4) Qnをnを用いて表せ。

 (5) 確率an、bnおよびcnをnを用いて表せ。




(4の(1)、(2)、(3)については途中の過程を記入しなくてよい。)

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  1. 2012/03/05(月) 23:57:00|
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2009大阪府立大 工学部 数学5(1)~(3)



第5問

  a>1、0<$\small\sf{\theta}$ <1とする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) 積分
       $\small\sf{\begin{align*} \sf I_a\ (\theta)=\int_0^{(1-\theta)\pi}\ \sin ax\ \sin x\ dx\end{align*}}$
    を計算し、Ia($\small\sf{\theta}$ )をaと$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (2) 極限
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\pi}\frac{\sin ax}{\sin x}\end{align*}}$
    が正の値に収束するためのaの条件を求めよ。

 (3) (2)の条件を満たすaに対して、極限
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow +0}\frac{\sin\{a(1-\theta)\pi\}}{\theta}\end{align*}}$
    をaを用いて表せ。

 (4) (2)の条件を満たすaに対して、極限
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow +0}\frac{1}{\theta^3}\ I_a\ (\theta)\end{align*}}$
    をaを用いて表せ。なお、x≧0であるすべてのxに対して、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf x-\frac{1}{6}x^2\ \leqq \sin x\ \leqq\ x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5\end{align*}}$
    が成り立つことを用いてもよい。


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  1. 2012/03/06(火) 23:54:00|
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2009大阪府立大 工学部 数学5(4)



第5問

  a>1、0<$\small\sf{\theta}$ <1とする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) 積分
       $\small\sf{\begin{align*} \sf I_a\ (\theta)=\int_0^{(1-\theta)\pi}\ \sin ax\ \sin x\ dx\end{align*}}$
    を計算し、Ia($\small\sf{\theta}$ )をaと$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (2) 極限
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\pi}\frac{\sin ax}{\sin x}\end{align*}}$
    が正の値に収束するためのaの条件を求めよ。

 (3) (2)の条件を満たすaに対して、極限
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow +0}\frac{\sin\{a(1-\theta)\pi\}}{\theta}\end{align*}}$
    をaを用いて表せ。

 (4) (2)の条件を満たすaに対して、極限
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow +0}\frac{1}{\theta^3}\ I_a\ (\theta)\end{align*}}$
    をaを用いて表せ。なお、x≧0であるすべてのxに対して、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf x-\frac{1}{6}x^2\ \leqq \sin x\ \leqq\ x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5\end{align*}}$
    が成り立つことを用いてもよい。


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  1. 2012/03/06(火) 23:57:00|
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