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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019東北大 理系数学1



第1問

  xy平面における曲線$\small\sf{y=\sin x}$ の2つの接線が直交するとき、その交点のy座標の値を
  すべて求めよ。





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  1. 2019/04/13(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2019
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2019東北大 理系数学2



第2問

  aを1ではない正の実数とし、nを正の整数とする。次の不等式を考える。
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \log_a\left(x-n\right)\gt\frac{1}{2}\log_a\left(2n-x\right)\end{align*}}$

 (1) n=6のとき、この不等式を満たす整数xをすべて求めよ。

 (2) この不等式を満たす整数xが存在するためのnについての必要十分条件を求めよ。




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  1. 2019/04/14(日) 23:57:00|
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2019東北大 理系数学3



第3問

   aを実数とし、数列$\small\sf{\left\{x_n\right\}}$ を次の漸化式によって定める。
       $\small\sf{x_1=a\ ,\ \ \ x_{n+1}=x_n+x_n^2\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\cdots\right)}$

 (1) $\small\sf{a\gt 0}$ のとき、数列$\small\sf{\left\{x_n\right\}}$ が発散することを示せ。

 (2) $\small\sf{-1\lt a\lt 0}$ のとき、すべての正の整数nに対して$\small\sf{-1\lt x_n\lt 0}$ が成り立つことを示せ。

 (3) $\small\sf{-1\lt a\lt 0}$ のとき、数列$\small\sf{\left\{x_n\right\}}$ の極限を調べよ。





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  1. 2019/04/15(月) 23:57:00|
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2019東北大 理系数学4



第4問

  実数を係数にもつ整式A(x)を$\small\sf{\begin{align*}\sf x^2+1\end{align*}}$ で割った余りとして得られる整式を$\small\sf{\begin{align*}\sf \left[ A(x)\right]\end{align*}}$ と表す。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf \left[2x^2+x+3\right]\ ,\ \ \left[x^5-1\right]\ ,\ \ \big[\left[2x^2+x+3\right]\left[x^5-1\right]\big]\end{align*}}$ をそれぞれ求めよ。

 (2) 整式A(x)、B(x)に対して、次の等式が成り立つことを示せ。
      $\small\sf{\begin{align*}\sf \left[A(x)\ B(x)\right]=\big[\left[A(x)\right]\left[B(x)\right]\big]\end{align*}}$

 (3) 実数$\small\sf{\begin{align*}\sf \theta\end{align*}}$ に対して、次の等式が成り立つことを示せ。
      $\small\sf{\begin{align*}\sf \big[\left(x\sin \theta+\cos\theta\right)^2\big]=x\sin 2\theta+\cos2\theta\end{align*}}$

 (4) 次の等式を満たす実数a、bの組(a,b)をすべて求めよ。
      $\small\sf{\begin{align*}\sf \big[\left(ax+b\right)^4\big]=-1\end{align*}}$




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  1. 2019/04/16(火) 23:57:00|
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2019東北大 理系数学5



第5問

 (1) 次の等式が成り立つことを示せ.
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \int_{-1}^1\frac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x}dx=\int_{0}^1\sin^2(\pi x)dx=\frac{1}{2}\end{align*}}$

 (2) 次の等式を満たす関数f(x)を求めよ。
        $\small\sf{\begin{align*}\sf (1+e^x)f(x)=\sin^2(\pi x)+\int_{-1}^1(e^x-e^t+1)f(t)dt\end{align*}}$




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  1. 2019/04/17(水) 23:57:00|
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2019東北大 理系数学6



第6問

  10個の玉が入っている袋から1個の玉を無作為に取り出し、新たに白玉1個を袋に入れる
  という試行を繰り返す。初めに、袋には赤玉5個と白玉5個が入っているとする。この試行を
  m回繰り返したとき、取り出した赤玉が全部でk個である確率を$\small\sf{p(m,k)}$ とする。2以上の
  整数nに対して、以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{p(n+1,2)}$ を$\small\sf{p(n,2)}$ と$\small\sf{p(n,1)}$ を用いて表せ。

 (2) $\small\sf{p(n,1)}$ を求めよ。

 (3) $\small\sf{p(n,2)}$ を求めよ。




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  1. 2019/04/18(木) 23:57:00|
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