第1問
pを負の実数とする。座標空間に原点Oと3点 $\small\sf{A\left(-1,2,0\right)\ ,\ B\left(2,-2,1\right)\ ,\ P\left(p,-1,2\right)}$
があり、3点O、A、Bが定める平面を$\small\sf{\alpha}$ とする。また、点Pから平面$\small\sf{\alpha}$ に垂線を下ろし、
$\small\sf{\alpha}$ との交点を$\small\sf{Q}$ とする。
(1) $\small\sf{\overrightarrow{\sf OQ}=a\overrightarrow{\sf OA}+b\overrightarrow{\sf OB}}$ となる実数a、bをpを用いて表せ。
(2) 点$\small\sf{Q}$ が△OABの周または内部にあるようなpの範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OQ}&=\sf a\overrightarrow{\sf OA}+b\overrightarrow{\sf OB} \\ &=\sf a\left(-1,2,0\right)+b\left(2,2,1\right)\\ &=\sf \left(-a+2b,\ 2a-2b,\ b\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PQ}&=\sf \overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OP} \\ &=\sf \left(-a+2b-p\ ,\ 2a-2b+1\ ,\ b-2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PQ\bot\alpha\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PQ}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=- \left(-a+2b-p\right)+2\left(2a-2b+1\right)+0=0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 5a-6b=-p-2 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PQ}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=2\left(-a+2b-p\right)-2\left(2a-2b+1\right)+\left(b-2\right)=0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -6a+9b=2p+4 \end{align*}}$
これら2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{a=\frac{p+2}{3}\ ,\ \ b=\frac{4p+8}{9}}\end{align*}}$
(2)
点$\scriptsize\sf{Q}$ が△OABの周または内部にあるとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=\frac{p+2}{3}\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ p\geqq -2 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b=\frac{4p+8}{9}\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ p\geqq -2 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a+b=\frac{p+2}{3}+\frac{4p+8}{9}\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ p\leqq -\frac{5}{7} \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{-2\leqq p\leqq -\frac{5}{7}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/04/24(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 文系 2019
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第2問
xを正の実数とし、座標平面上に3点$\small\sf{A\left(x\ ,\ 0\right)\ ,\ \ B\left(-2\ ,\ 2\right)\ ,\ \ C\left(-3\ ,\ 3\right)}$ をとる。
直線ABと直線ACのなす角を$\small\sf{\theta}$ とする。ただし$\small{\sf\begin{align*}\sf 0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とする。
(1) $\small\sf{\tan\theta}$ をxで表せ。
(2) x＞0における$\small\sf{\tan\theta}$ の最大値およびそのときのxの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
x軸上の点Aより右側に点Pをとり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha=\angle PAB\ ,\ \ \beta=\angle PAC \end{align*}}$
とおくと、$\scriptsize\sf{\tan\alpha\ ,\ \tan\beta}$ はそれぞれ直線AB、ACの傾きに等しいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tan\alpha=-\frac{2}{x+2}\ ,\ \ \tan\beta=-\frac{3}{x+3}\end{align*}}$
加法定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tan\theta&=\sf\tan\left(\alpha-\beta\right) \\ &=\sf \frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\\ &=\sf \frac{-\frac{2}{x+2}-\left(-\frac{3}{x+3}\right)}{1+\left(-\frac{2}{x+2}\right)\cdot\left(-\frac{3}{x+3}\right)}\\ &=\sf \underline{\frac{x}{x^2+5x+12}}\end{align*}}$
(2)
x＞0なので、相加・相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tan\theta&=\sf \frac{x}{x^2+5x+12} \\ &=\sf \frac{1}{x+\frac{12}{x}+5}\\ &\leqq\sf \frac{1}{2\sqrt{x\cdot\frac{12}{x}}+5}\\ &=\sf \frac{1}{4\sqrt{3}+5}\end{align*}}$
となるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tan\theta\end{align*}}$ の最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tan\theta_{max}=\underline{\frac{1}{4\sqrt3+5}}\end{align*}}$
これは、相加・相乗平均の等号が成立するときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{12}{x}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{x=2\sqrt3\ (\gt 0)}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/04/25(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 文系 2019
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第3問
nを自然数とする。数列2，1，2，1，1 のように各項が1または2の有限数列
（項の個数が有限である数列）を考える。各項が1または2の有限数列のうち
すべての項の和がnとなるものの個数をsnとする。例えば、n=1のときは、1項から
なる数列1のみである。したがって、s1=1となる。n=2のときは、1項からなる数列
2と2項からなる数列1，1の2つである。したがって、s2=2となる。
(1) s3を求めよ。
(2) n≧3のとき、snをsn-1とsn-2を用いて表せ。
(3) 3以上のすべてのnに対して$\small\sf{s_n-\alpha s_{n-1}=\beta\left(s_{n-1}-\alpha s_{n-2}\right)}$ が成り立つような実数
$\small\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ の組$\small\sf{\left(\alpha\ ,\ \beta\right)}$ を1組求めよ。
(4) snを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
和が3になるような列は、
1，2
2，1
1，1，1
の3つなので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{s_3=3}\end{align*}}$
(2)
和がnになる列は次のようにして作ることができる。
・和がn-1である列の後ろに1をつけ加える
・和がn-2である列の後ろに2をつけ加える
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{s_n=s_{n-1}+s_{n-2}}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s_n-\alpha s_{n-1}=\beta\left(s_{n-1}-\alpha s_{n-2}\right)\end{align*}}$ ……(*)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s_n=\left(\alpha+\beta\right)s_{n-1}-\alpha\beta s_{n-2}\end{align*}}$
これと(2)の漸化式の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha+\beta=1\ ,\ \ \alpha\beta=-1\end{align*}}$
となるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha\ ,\ \beta\end{align*}}$ はtについての2次方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t^2-t-1=0\end{align*}}$
の2解となる。$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha\gt\beta\end{align*}}$ とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\alpha=\frac{1+\sqrt5}{2}\ ,\ \ \beta=\frac{1-\sqrt5}{2}}\end{align*}}$
(4)
(*)より数列$\scriptsize\sf{\left\{s_n-\alpha s_{n-1}\right\}}$ は公比$\scriptsize\sf{\beta}$ の等比数列をなすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s_n-\alpha s_{n-1}&=\sf \left(s_2-\alpha\ s_1\right)\beta^{n-1} \\ &=\sf \left(2-\alpha\right)\beta^{n-1} \end{align*}}$
(*)と同様に、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s_n-\beta s_{n-1}=\alpha\left(s_{n-1}-\beta s_{n-2}\right)\end{align*}}$ も成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s_n-\beta s_{n-1}=\left(2-\beta\right)\alpha^{n-1} \end{align*}}$
これら2式の差をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\alpha-\beta\right)s_{n}=\left(2-\beta\right)\alpha^{n-1}+\left(2-\alpha\right)\beta^{n-1} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{1+\sqrt5}{2}-\frac{1-\sqrt5}{2}\right)s_{n}=\left(2-\frac{1-\sqrt5}{2}\right)\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n-1}+\left(2-\frac{1+\sqrt5}{2}\right)\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n-1} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s_n=\underline{\frac{1}{\sqrt5}\left\{\frac{3+\sqrt5}{2}\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n-1}+\frac{3-\sqrt5}{2}\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n-1}\right\}} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3+\sqrt5}{2}=\frac{6+2\sqrt5}{4}=\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^2\ ,\ \ \frac{3-\sqrt5}{2}=\frac{6-2\sqrt5}{4}=\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^2\end{align*}}$
に気づくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s_n=\underline{\frac{1}{\sqrt5}\left\{\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n+1}+\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n+1}\right\}} \end{align*}}$
と、さらに簡単な形にできます。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/04/26(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 文系 2019
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問
実数a、b、cに対し、関数$\small\sf{f(x)=x^3-3ax^2+bx+c}$ を考える。1次関数$\small\sf{g(x)}$ があり、
f(x)とその導関数$\small\sf{f'(x)}$ は、すべてのxに対し等式$\small\sf{f(x)=f'(x)g(x)-6x}$ を満たして
いるとする。
(1) bとcをaで表せ。
(2) 3次方程式f(x)=0が異なる3個の実数解をもつように、aの値の範囲を定めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)=px+q\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=3x^2-6ax+b\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=f'(x)g(x)-6x\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^3-3ax^2+bx+c&=\sf\left(3x^2-6ax+b\right)\left(px+q\right)-6x \\ &=\sf 3px^3+\left(3q-6ap\right)x^2+\left(bp-6aq-6\right)x+bq\end{align*}}$
これがすべてのxに対して成り立つので、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3p=1\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\frac{1}{3} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -3a=3q-6ap\ \ \Leftrightarrow\ \ q=-\frac{1}{3}a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b=bp-6aq-6=\frac{1}{3}b+2a^2-6\ \ \Leftrightarrow\ \ b=\underline{3a^2-9}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c=bq=\underline{-a^3+3a}\end{align*}}$
(2)
(1)より2次方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=3x^2-6ax+3a^2-9=0 \end{align*}}$ ……(*)
の判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4=9a^2-3(3a^2-9)=27\gt 0 \end{align*}}$
となるので、(*)は異なる2つの実数解をもち（$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha\ ,\ \beta\end{align*}}$ とする）、
これらの前後で$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)\end{align*}}$ の符号が変化するので、f(x)は$\scriptsize\sf{x=\alpha\ ,\ \beta}$ で極値をとる。
また、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha+\beta=2a\ ,\ \ \alpha\beta=a^2-3\end{align*}}$
3次方程式$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=0\end{align*}}$ が異なる3つの実数解をもつのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(\alpha) \end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{f(\beta)}$ が異符号の
ときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(\alpha)\cdot f(\beta)\lt 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \big\{f'(\alpha)g(\alpha)-6\alpha\big\}\big\{f'(\beta)g(\beta)-6\beta\big\}\lt 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 36\alpha\beta\lt0\ \ \ \left(\because\ f'(\alpha)=f'(\beta)=0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2-3\lt 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{-\sqrt3\lt a\lt \sqrt3}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/04/27(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 文系 2019
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
