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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019北海道大 理系数学1



第1問

   pを負の実数とする。座標空間に原点Oと3点 $\small\sf{A\left(-1,2,0\right)\ ,\ B\left(2,-2,1\right)\ ,\ P\left(p,-1,2\right)}$
  があり、3点O、A、Bが定める平面を$\small\sf{\alpha}$ とする。また、点Pから平面$\small\sf{\alpha}$ に垂線を下ろし、
  $\small\sf{\alpha}$ との交点を$\small\sf{Q}$ とする。

 (1) 点$\small\sf{Q}$ の座標をpを用いて表せ。

 (2) 点$\small\sf{Q}$ が△OABの周または内部にあるようなpの範囲を求めよ。





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  1. 2019/04/28(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 理系 2019
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2019北海道大 理系数学2



第2問

  nを自然数とし、an=n(n+1)とする。さらに、anとan+3の最大公約数をdnとする。

 (1) dnは偶数であることを示せ。

 (2) dnは8で割り切れないことを示せ。

 (3) pを5以上の素数とするとき、dnはpで割り切れないことを示せ。

 (4) dn≦12を示せ。また、dn=12となるようなnを1つ求めよ。



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  1. 2019/04/29(月) 23:57:00|
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2019北海道大 理系数学3



第3問

  tを0<t<1を満たす実数とする。0,$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{t}\end{align*}}$ 以外のすべての実数xで定義された関数
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\frac{x+t}{x(1-tx)}\end{align*}}$
  を考える。

 (1) f(x)は極大値と極小値を1つずつもつことを示せ。

 (2) f(x)の極大値を与えるxの値を$\small\sf{\alpha}$ 、極小値を与えるxの値を$\small\sf{\beta}$ とし,座標平面上に
    2点$\small\sf{P\left(\alpha\ ,\ f(\alpha)\right)\ ,\ \ Q\left(\beta\ ,\ f(\beta)\right)}$ をとる。tが0<t<1を満たしながら変化するとき、線分
    $\small\sf{PQ}$ の中点Mの軌跡を求めよ。




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  1. 2019/04/30(火) 23:57:00|
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2019北海道大 理系数学4



第4問

  nを3以上の自然数とする。2つの箱XとYがあり、どちらの箱にも1からnまでのn枚の
  番号札が入っている。

  AとBの2人のうち、Aは箱Xから札を1枚取り出し、取り出した札の番号を得点とする。
  Bは箱Yから札を1枚取り出し、もし取り出した札の番号が3からnまでのいずれかで
  あればその番号を得点とし、もし取り出した札の番号が1または2のいずれかであれば、
  その札を箱Yに戻し、再び箱Yから札を1枚取り出し、取り出した札の番号をBの得点 
  とする。

 (1) mをn以下の自然数とする。Bの得点がmになる確率を求めよ。

 (2) Aの得点よりBの得点が大きくなる確率pnを求めよ。





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  1. 2019/05/01(水) 23:57:00|
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2019北海道大 理系数学5



第5問

  f(x)を区間$\small\sf{[0\ ,\ \pi]}$ で連続な関数とする。関数$\small\sf{f_1(x)\ ,\ f_2(x)\ ,\ \cdots}$ を関係式
      $\small\sf{f_1(x)=f(x)}$
      $\small\sf{\begin{align*}\sf f_{n+1}(x)=2\cos x+\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f_n(t)\sin\left(x-t\right)dt\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\cdots\right)\end{align*}}$
  により定める。さらに、自然数nに対して
      $\small\sf{\begin{align*}\sf a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f_n(t)\sin tdt\ ,\ \ bn=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f_n(t)\cos tdt\end{align*}}$
  とおく。

 (1) $\small\sf{a_{n+1}\ ,\ b_{n+1}}$ を$\small\sf{a_n\ ,\ b_n}$ を用いて表せ。

 (2) $\small\sf{v_n=a_n-1}$ とおく。このとき、$\small\sf{c_{n+2}=-c_n}$ が成立することを示し、一般項$\small\sf{c_n}$ を
    $\small\sf{a_1}$ と$\small\sf{b_1}$ を用いて表せ。

 (3) $\small\sf{a_n\ ,\ b_n}$ がnによらない定数となるようなf(x)を1つ求めよ。




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  1. 2019/05/02(木) 23:57:00|
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