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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019関西学院大 理系(全学日程) 数学1



第1問

  次の文章中の    に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号の
  ついた    の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。

 (1) 複素数 $\small\sf{z=\sqrt3+i}$ の絶対値は ア  である。その偏角$\small\sf{\theta}$ は、$\small\sf{0\leqq\theta\lt 2\pi}$ の範囲で考えると、
    $\small\sf{\theta=}$  イ  である。また、$\small\sf{z^6=}$  ウ  、$\small\sf{\begin{align*}\sf z^3+\frac{1}{z^3}=\end{align*}}$  エ  である。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{-7x^2+11x-16}{x(x-1)^2}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{(x-1)^2}\end{align*}}$ がxについての恒等式となるように定数a、b、cを
    定めると、a= オ  、b= カ  、c= キ  である。

 (3) |x|<1のとき $\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^n+3}{x^{n+1}+1}=\end{align*}}$  ク  であり、|x|>1のとき$\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^n+3}{x^{n+1}+1}=\end{align*}}$  ケ 
    ある。また、極限$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)\end{align*}}$ の値は コ  である。



2019関西学院大 理系(全学日程) 数学2



第2問

  次の文章中の    に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号の
  ついた    の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。

   一片の長さが1の正五角形ABCDEにおいて、$\small\sf{\overrightarrow{\sf AB}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf AE}=\overrightarrow{\sf b}}$ とし、対角線の長さをxとする。
   各対角線は5つの辺のうちどれかと平行である。
   BD=xより$\small\sf{\overrightarrow{\sf AD}}$ を$\small\sf{\overrightarrow{\sf a },\ \overrightarrow{\sf b},\ x}$ で表すと、$\small\sf{\overrightarrow{\sf AD}=\overrightarrow{\sf a}+}$  ア  であり、BE=xより、内積 $\small\sf{\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}}$ をxで表すと、
   $\small\sf{\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=}$  イ  である。以上のこととAD=xを合わせて用いると、xは3次方程式
        $\small\sf{x^3-}$  ウ  $\small\sf{x-1=0}$
   を満たすことが分かる。ゆえにx= エ  である。また、x2= オ  、x3= カ  、(x+2)3= キ 
   である。
   $\small\sf{\begin{align*}\sf\cos\frac{3\pi}{5}=\frac{\mbox{ ク}}{4}\ ,\ \ \sin\frac{3\pi}{5}=\frac{\sqrt{\mbox{ ケ}}}{4}\end{align*}}$ であり、正五角形ABCDEの面積は $\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{\sqrt{\mbox{ コ}}}{4}\end{align*}}$ である。




2019関西学院大 理系(全学日程) 数学3



第3問

  次の文章中の    に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号の
  ついた    の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。

   1つの箱の中に、1からnまでの数が1つずつ書かれたn個の球が入っている。この箱から、
   球を1個ずつ無作為にn個すべて取り出す。1≦i≦nのときi個目に取り出した球に書かれた
   数をNiとする。すべてのiに対してNi≠iであるような球の取り出し方の総数をYnとする。

 (1) n=2のとき、N1=1、N2=2となる確率は ア  であり、n=3のとき、N1=1、
    N2=2、N3=3となる確率は イ  である。

 (2) Y2= ウ  、Y3= エ  である。

 (3) n=4とする。N4≠4であるN4 オ  通りある。
    Nk≠k (k=1,2)、N3=4、N4=3となる取り出し方は(2)より カ  通りあり、
    Nk≠k (k=1,2)、N3≠4、N4=3となる取り出し方の個数は、 Nk≠k (k=1,2)、
    N3=3、N4≠4となる取り出し方の個数と同じであり、(2)と同様に キ  通りある。
    N4=3以外の場合も同様に考えることができるので、Y4= ク  である。

 (4) n≧3のとき、YnをYn-1とYn-2で表すと、Yn= ケ  である。

 (5) n=7のとき、ちょうど1つのiに対してNi=iとなる確率は コ  である。



2019関西学院大 理系(全学日程) 数学4



第4問

  関数$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\frac{\log x}{x}\ \ (x\gt 0)\end{align*}}$ について次の問いに答えよ。

 (1) f(x)の極値を求めよ。また、曲線y=f(x)の変曲点の座標を求めよ。

 (2) 原点から曲線y=f(x)に引いた接線の方程式を求めよ。

 (3) 不定積分 $\small\sf{\begin{align*}\sf \int f(x)dx\ ,\ \ \int\frac{\log x}{x}\ dx\ ,\ \ \int\frac{\left(\log x\right)^2}{x^2}dx\end{align*}}$ を求めよ。

 (4) 上の(2)で求めた接線、曲線y=f(x)およびx軸で囲まれた部分をTとするとき、
    Tの面積Sを求めよ。また、Tをx軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2019/02/04(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西学院大 理系 2019(全学)
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