青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西学院大　理系　2019(全学)

2019関西学院大　理系（全学日程）　数学１

第1問

　　次の文章中の　　　に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号の
　　ついた　　　の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。

　(１) 複素数 $\small\sf{z=\sqrt3+i}$ の絶対値は　ア　である。その偏角$\small\sf{\theta}$ は、$\small\sf{0\leqq\theta\lt 2\pi}$ の範囲で考えると、
　　　 $\small\sf{\theta=}$ 　イ　である。また、$\small\sf{z^6=}$ 　ウ　、$\small\sf{\begin{align*}\sf z^3+\frac{1}{z^3}=\end{align*}}$ 　エ　である。

　(２) $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{-7x^2+11x-16}{x(x-1)^2}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{(x-1)^2}\end{align*}}$ がxについての恒等式となるように定数a、b、cを
　　　定めると、a=　オ　、b=　カ　、c=　キ　である。

　(３) |x|＜1のとき $\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^n+3}{x^{n+1}+1}=\end{align*}}$ 　ク　であり、|x|＞1のとき$\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^n+3}{x^{n+1}+1}=\end{align*}}$ 　ケ　で
　　　ある。また、極限$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)\end{align*}}$ の値は　コ　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア 2　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{\pi}{6} \end{align*}}$　　　　ウ $\scriptsize\sf{-64}$　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{63}{8}i\end{align*}}$　　　オ $\scriptsize\sf{-16}$

　　カ $\scriptsize\sf{9}$　　　　キ $\scriptsize\sf{-12}$　　　　ク 3　　　　ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{x}\end{align*}}$　　　　コ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$

　

【解説】

　(ア)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |z|=\sqrt{\left(\sqrt3\right)^2+1^2}=\underline{2}\end{align*}}$

　(イ)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z&=\sf 2\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}i\right) \\ &=\sf 2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta=\arg z=\underline{\frac{\pi}{6}}\end{align*}}$

　(ウ)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z^6&=\sf 2^6\left(\cos 6\theta+i\sin 6\theta\right) \\ &=\sf 64\left(\cos\pi+i\sin\pi\right)\\ &=\sf \underline{-64}\end{align*}}$

　(エ)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z^3&=\sf 2^3\left(\cos 3\theta+i\sin 3\theta\right) \\ &=\sf 8\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)\\ &=\sf 8i\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z^3+\frac{1}{z^3}=8i+\frac{1}{8i}=\underline{\frac{63}{8}i} \end{align*}}$

　(オ)～(キ)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{-7x^2+11x-16}{x(x-1)^2}&=\sf \frac{a(x-1)^2+bx(x-1)+cx}{x(x-1)^2}\\ &=\sf \frac{(a+b)x^2+(-2a-b+c)x+a}{x(x-1)^2} \end{align*}}$
　　　両辺の係数を比較すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{eqnarray}\begin{cases}\sf a+b=-7 \\ \sf -2a-b+c=11 \\ \sf a=-16 \end{cases}\end{eqnarray}}$
　　　となり、これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{a=-16\ ,\ \ b=9\ ,\ \ c=-12}\end{align*}}$

　(ク)
　　　|x|＜1のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}x^n=0\end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^n+3}{x^{n+1}+1}=\frac{0+3}{0+1}=\underline{3}\end{align*}}$

　(ケ)
　　　|x|＞1のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{x^n}=0\end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^n+3}{x^{n+1}+1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1+\frac{3}{x^n}}{x+\frac{1}{x^n}}=\underline{\frac{1}{x}}\end{align*}}$

　(コ)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)&=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)\left(\sqrt{n^2+n}+n\right)}{\sqrt{n^2+n}+n} \\ &=\sf\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n} \\ &=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\\ &=\sf \frac{1}{\sqrt{1+0}+1}\\ &=\sf \underline{\frac{1}{2}}\end{align*}}$

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2019/02/01(金) 23:57:00|

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2019関西学院大　理系（全学日程）　数学２

第2問

　　次の文章中の　　　に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号の
　　ついた　　　の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。

　　　一片の長さが1の正五角形ABCDEにおいて、$\small\sf{\overrightarrow{\sf AB}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf AE}=\overrightarrow{\sf b}}$ とし、対角線の長さをxとする。
　　　各対角線は5つの辺のうちどれかと平行である。
　　　BD=xより$\small\sf{\overrightarrow{\sf AD}}$ を$\small\sf{\overrightarrow{\sf a },\ \overrightarrow{\sf b},\ x}$ で表すと、$\small\sf{\overrightarrow{\sf AD}=\overrightarrow{\sf a}+}$ 　ア　であり、BE=xより、内積 $\small\sf{\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}}$ をxで表すと、
　　　$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=}$ 　イ　である。以上のこととAD=xを合わせて用いると、xは3次方程式
　　　　　　　　$\small\sf{x^3-}$ 　ウ　 $\small\sf{x-1=0}$
　　　を満たすことが分かる。ゆえにx=　エ　である。また、x²=　オ　、x³=　カ　、(x+2)³=　キ　
　　　である。
　　　$\small\sf{\begin{align*}\sf\cos\frac{3\pi}{5}=\frac{\mbox{ ク}}{4}\ ,\ \ \sin\frac{3\pi}{5}=\frac{\sqrt{\mbox{ ケ}}}{4}\end{align*}}$ であり、正五角形ABCDEの面積は $\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{\sqrt{\mbox{ コ}}}{4}\end{align*}}$ である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア $\scriptsize\sf{x}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-\frac{x^2}{2}\end{align*}}$　　　　ウ 2　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1+\sqrt5}{2} \end{align*}}$　　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3+\sqrt5}{2}\end{align*}}$

　　カ $\scriptsize\sf{2+\sqrt5}$　　　　キ $\scriptsize\sf{25+10\sqrt5}$　　　　ク $\scriptsize\sf{1-\sqrt5}$　　　　ケ $\scriptsize\sf{10+2\sqrt5}$　　　　コ $\scriptsize\sf{25+10\sqrt5}$

　

【解説】

　(ア)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AD}&=\sf \overrightarrow{\sf AB}+\overrightarrow{\sf BD} \\ &=\sf \overrightarrow{\sf AB}+\frac{BD}{AE}\overrightarrow{\sf AE}\\ &=\sf\underline{\overrightarrow{\sf a}+x\overrightarrow{\sf b}} \end{align*}}$

　(イ)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf BE}|=|\overrightarrow{\sf AE}-\overrightarrow{\sf AB}|=|\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}|\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{|\overrightarrow{\sf BE}|^2=|\overrightarrow{\sf b}|^2-2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+|\overrightarrow{\sf a}|^2}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=1-2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+1}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\underline{1-\frac{x^2}{2}}\end{align*}}$

　(ウ)
　　　(ア)より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf AD}|^2=\sf |\overrightarrow{\sf a}|^2+2x\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+x^2|\overrightarrow{\sf b}|^2 \end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=1+2x\cdot\left(1-\frac{x^2}{2}\right)+x^2\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{x^3-2x-1=0}}$

　(エ)
　　　x＞0より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^3-2x-1=(x+1)(x^2-x-1)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\underline{\frac{1+\sqrt5}{2}}\end{align*}}$

　(オ)～(キ)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2=\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^2=\underline{\frac{3+\sqrt5}{2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^3=\frac{3+\sqrt5}{2}\cdot\frac{1+\sqrt5}{2}=\underline{2+\sqrt5}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (x+2)^3&=\sf x^3+6x^2+12x+8 \\ &=\sf \left(2+\sqrt5\right)^2+6\cdot\frac{3+\sqrt5}{2}+12\cdot\frac{1+\sqrt5}{2}+8\\ &=\sf \underline{25+10\sqrt5}\end{align*}}$

　(ク)
　　　$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf a}}$ と$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf b}}$ のなす角は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3\pi}{5}\end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\frac{3\pi}{5}&=\sf\frac{\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}}{|\overrightarrow{\sf a}|\overrightarrow{\sf b}||} \\ &=\sf 1-\frac{x^2}{2}\\ &=\sf 1-\frac{1}{2}\cdot\frac{3+\sqrt5}{2}\\ &=\sf \underline{\frac{1-\sqrt5}{4}}\end{align*}}$

　(ケ)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt\frac{3\pi}{5}\lt \pi \end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\frac{3\pi}{5}&=\sf\sqrt{1-\cos^2\frac{3\pi}{5}} \ \ (\gt 0) \\ &=\sf \sqrt{1-\left(\frac{1-\sqrt5}{4}\right)^2}\\ &=\sf \underline{\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}}\end{align*}}$

　(コ)
　　　AE//BDより
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle BDE=\frac{BD}{AE}\triangle ABE=x\triangle ABE\end{align*}}$
　　　また、$\scriptsize\sf{\triangle BCD=\triangle ABE}$ なので、正五角形ABCDEの面積をSとおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \triangle ABE+\triangle BDE+\triangle BCD \\ &=\sf (2+x)\triangle ABE\\ &=\sf (2+x)\cdot \frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot\sin\frac{3\pi}{5}\\ &=\sf \left(2+\frac{1+\sqrt5}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}\\ &=\sf \frac{\sqrt{(5+\sqrt5)^2(10+2\sqrt5)}}{16}\\ &=\sf \frac{\sqrt{400+160\sqrt5}}{16}\\ &=\sf \underline{\frac{\sqrt{25+10\sqrt5}}{4}}\end{align*}}$

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2019/02/02(土) 23:57:00|

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2019関西学院大　理系（全学日程）　数学３

第3問

　　次の文章中の　　　に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号の
　　ついた　　　の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。

　　　1つの箱の中に、1からnまでの数が1つずつ書かれたn個の球が入っている。この箱から、
　　　球を1個ずつ無作為にn個すべて取り出す。1≦i≦nのときi個目に取り出した球に書かれた
　　　数をN_iとする。すべてのiに対してN_i≠iであるような球の取り出し方の総数をY_nとする。

　(１) n=2のとき、N₁=1、N₂=2となる確率は　ア　であり、n=3のとき、N₁=1、
　　　 N₂=2、N₃=3となる確率は　イ　である。

　(２) Y₂=　ウ　、Y₃=　ｴ　である。

　(３) n=4とする。N₄≠4であるN₄は　オ　通りある。
　　　 N_k≠k （k=1，2）、N₃=4、N₄=3となる取り出し方は(２)より　カ　通りあり、
　　　 N_k≠k （k=1，2）、N₃≠4、N₄=3となる取り出し方の個数は、 N_k≠k （k=1，2）、
　　　 N₃=3、N₄≠4となる取り出し方の個数と同じであり、(２)と同様に　キ　通りある。
　　　 N₄=3以外の場合も同様に考えることができるので、Y₄=　ク　である。

　(４) n≧3のとき、Y_nをY_n-1とY_n-2で表すと、Y_n=　ケ　である。

　(５) n=7のとき、ちょうど1つのiに対してN_i=iとなる確率は　コ　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{6} \end{align*}}$　　　　ウ 1　　　　エ 2　　　オ 3

　　カ 1　　　　キ 2　　　　ク 9　　　　ケ $\scriptsize\sf{(n-1)\left(Y_{n-1}+Y_{n-2}\right)}$　　　　コ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{53}{144}\end{align*}}$

　

【解説】

　(ア)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2!}=\underline{\frac{1}{2}}\end{align*}}$

　(イ)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{3!}=\underline{\frac{1}{6}}\end{align*}}$

　(ウ)
　　　　$\scriptsize\sf{(N_1,\ N_2)=(2,\ 1)}$ の1通り

　(エ)
　　　　$\scriptsize\sf{(N_1,\ N_2,\ N_3)=(3,\ 1,\ 2)\ ,\ (2,\ 3,\ 1)}$ の2通り

　(オ)
　　　　$\scriptsize\sf{N_4=1,\ 2,\ 3}$ の3通り

　(カ)
　　　　$\scriptsize\sf{(N_1,\ N_2)=(2,\ 1)}$ の1通り

　(キ)
　　　　$\scriptsize\sf{(N_1,\ N_2,\ N_4)=(4,\ 1,\ 2)\ ,\ (2,\ 4,\ 1)}$ の2通り

　(ク)
　　　　$\scriptsize\sf{Y_4=3\cdot(1+2)=\underline{9}}$

　(ケ)
　　　　$\scriptsize\sf{N_n\ne n}$ となる$\scriptsize\sf{N_n}$ は$\scriptsize\sf{n-1}$ 通りある。
　　　　・$\scriptsize\sf{N_k\ne k\ (k=1,2,\cdots , n-2)\ ,\ \ N_{n-1}=n\ ,\ \ N_n=n-1}$ となる取り出し方は、$\scriptsize\sf{Y_{n-2}}$ 通り。
　　　　・$\scriptsize\sf{N_k\ne k\ (k=1,2,\cdots , n-2)\ ,\ \ N_{n-1}\ne n\ ,\ \ N_n=n-1}$ となる取り出し方の個数は、
　　　　　$\scriptsize\sf{N_k\ne k\ (k=1,2,\cdots , n-2)\ ,\ \ N_{n-1}=n-1\ ,\ \ N_n\ne n}$ となる取り出し方の個数と等しいので、
　　　　　$\scriptsize\sf{Y_{n-1}}$ 通り。
　　　　以上より、$\scriptsize\sf{y_n=\underline{(n-1)\left(Y_{n-2}+Y_{n-1}\right)}}$

　(コ)
　　　(４)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{Y_5=4(Y_3+Y_4)=4\cdot (2+9)=44}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{Y_6=5(Y_4+Y_5)=5\cdot (9+44)=265}$
　　　$\scriptsize\sf{N_i=i}$ となるiの決め方は7通りあり、それ以外の6個の球の取り出し方はY₆通りあるので、
　　　求める確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{7Y_6}{7!}=\underline{\frac{53}{144}}\end{align*}}$

　　完全順列ってヤツです。　　

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2019/02/03(日) 23:57:00|

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2019関西学院大　理系（全学日程）　数学４

第4問

　　関数$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\frac{\log x}{x}\ \ (x\gt 0)\end{align*}}$ について次の問いに答えよ。

　(１) f(x)の極値を求めよ。また、曲線y=f(x)の変曲点の座標を求めよ。

　(２) 原点から曲線y=f(x)に引いた接線の方程式を求めよ。

　(３) 不定積分 $\small\sf{\begin{align*}\sf \int f(x)dx\ ,\ \ \int\frac{\log x}{x}\ dx\ ,\ \ \int\frac{\left(\log x\right)^2}{x^2}dx\end{align*}}$ を求めよ。

　(４) 上の(２)で求めた接線、曲線y=f(x)およびx軸で囲まれた部分をTとするとき、
　　　 Tの面積Sを求めよ。また、Tをx軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

【解説】

　(１)
　　　　f(x)の第1次導関数は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-(\log x)\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}\end{align*}}$
　　　　となるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=0\end{align*}}$ となるのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=e\end{align*}}$ のときである。
　　　　この値の前後で$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)\end{align*}}$ の符号が正から負に変わるので、
　　　　f(x)の極大値は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(e)=\underline{\frac{1}{e}}\end{align*}}$

　　　　f(x)の第2次導関数は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f''(x)=\frac{-\frac{1}{x}\cdot x^2-(1-\log x)\cdot 2x}{x^4}=\frac{2\log x-3}{x^3}\end{align*}}$
　　　　となるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f''(x)=0\end{align*}}$ となるのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log x=\frac{3}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=e^{\frac{3}{2}}=e\sqrt{e}\end{align*}}$ のときである。
　　　　この値の前後で$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f''(x)\end{align*}}$ の符号が負から正に変わるので、
　　　　y=f(x)の変曲点の座標は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\left(e\sqrt{e}\ ,\ \frac{3}{2e\sqrt{e}}\right)}\end{align*}}$

　(２)
　　　y=f(x)上の点(t，f(t))における接線の方程式は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y-\frac{\log t}{t}=\frac{1-\log t}{t^2}\left(x-t\right)\end{align*}}$
　　　これが原点を通るので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{\log t}{t}=\frac{1-\log t}{t^2}\cdot \left(-t\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \log t=\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\sqrt{e}\end{align*}}$
　　　よって、接線の方程式は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{y=\frac{1}{2e}x}\end{align*}}$

　(３)
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=\log x\end{align*}}$ とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=e^t\ ,\ \ \ \frac{dt}{dx}=\frac{1}{x} \end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\int f(x)dx &=\sf\int\frac{\log x}{x}dx \\ &=\sf\int\frac{t}{x}\cdot xdt \\ &=\sf \frac{1}{2}t^2+C_1\\ &=\sf \underline{\frac{1}{2}\left(\log x\right)^2+C_1}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int\frac{\log x}{x}dx&=\sf\int\frac{t}{x^2}\cdot xdt \\ &=\sf\int te^{-t}dt \\ &=\sf -te^{-t}+\int e^{-t}dt\\ &=\sf -(1+t)e^{-t}+C_2\\ &=\sf \underline{-\frac{1+\log x}{x}+C_2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int\frac{\left(\log x\right)^2}{x^2}dx&=\sf\int\frac{t^2}{x^2}\cdot xdt \\ &=\sf \int t^2e^{-t}dt\\ &=\sf -t^2e^{-t}+2\int te^{-t}dt\\ &=\sf -t^2e^{-t}+2\cdot\left(-\frac{1+\log x}{x}\right)+C_3\\ &=\sf \underline{-\frac{(\log x)^2+2\log x+2}{x}+C_3}\end{align*}}$
　　　　　　C₁、C₂、C₃は積分定数

　(４)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\frac{\log x}{x}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=1\end{align*}}$
　　　なので、Tの概形は右図のようになる。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \frac{1}{2}\cdot\sqrt{e}\cdot\frac{1}{2\sqrt{e}}-\int_1^{\sqrt{e}}\frac{\log x}{x}dx \\ &=\sf\frac{1}{4}-\left[\frac{1}{2}\left(\log x\right)^2\right]_1^{\sqrt{e}} \\ &=\sf \underline{\frac{1}{8}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf\frac{\pi}{3}\cdot\left(\frac{1}{2\sqrt{e}}\right)^2\cdot \sqrt{e}-\pi\int_1^{\sqrt{e}} \left(\frac{\log x}{x}\right)^2dx \\ &=\sf \frac{\pi}{12\sqrt{e}}+\pi\left[\frac{\left(\log x\right)^2+2\log x+2}{x}\right]_1^{\sqrt{e}}\\ &=\sf \underline{\left(\frac{10}{3}\sqrt{e}-2\right)\pi}\end{align*}}$

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2019/02/04(月) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西学院大　理系　2019(全学)

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