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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019同志社大 理工学部 数学1 (1)



第1問

  次の    に適する数または式を、解答用紙の同じ記号のついた    の中に記入
  せよ。

 (1) 座標空間内のxy平面上に3点$\small\sf{A(5,5,0)\ ,\ B(0,10,0)\ ,\ C(-4,2,0)}$ がある、このとき、
    △ABCの面積は ア  であり、△ABCの外接円の半径は イ  である。次に、
    $\small\sf{\theta}$ を実数として、点$\small\sf{D\left(10\sqrt2\cos^2\theta-5\sqrt2-9 ,\ 5\sqrt2\cos\theta\sin\theta-\frac{1}{2},\ 5\right)}$ とおく。点Dの
    x座標は$\small\sf{\cos2\theta}$ を用いて ウ  と表すことができる。四面体ABCDにおいてAB⊥CD
    が成り立つような$\small\sf{\theta}$ は$\small\sf{0\leqq\theta\lt 2\pi}$ の範囲に全部で エ  個存在する。特に、その中で
    $\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ を満たす$\small\sf{\theta}$ を$\small\sf{\theta_0}$ とおくと、$\small\sf{\theta_0=}$ オ  である。



2019同志社大 理工学部 数学1 (2)



第1問

  次の    に適する数または式を、解答用紙の同じ記号のついた    の中に記入せよ。

 (2) 2つの正の実数$\small\sf{\alpha,\beta}$ は$\small\sf{\alpha+\beta\lt 1}$ を満たすとする。金貨と銀貨が1枚ずつあり、投げたとき
    表が出る確率が金貨は$\small\sf{\alpha}$ 、銀貨は$\small\sf{\beta}$ とする。この2枚の硬貨から1枚を選んで投げる試行
    を繰り返す。ただし、この試行において、表が出たときは次の試行では同じ硬貨を選び、裏
    が出たときは別の硬貨を選ぶものとする。n回目の試行において、金貨が選ばれる確率を
    pn、選ばれる硬貨に関わらず表が出る確率をqnとし、p1=t (0<t<1)とする。
    このとき、q1= カ  、p2= キ  、pn+1=( ク  )pn+1$\small\sf{-\beta}$ 、
    $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}p_n=\frac{\mbox{ケ}}{2-\alpha-\beta}\ ,\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}q_n=\frac{\mbox{コ}}{2-\alpha-\beta}\end{align*}}$ である。


2019同志社大 理工学部 数学2



第2問

  eを自然対数の底とし、実数$\small\sf{\alpha}$ は$\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt\alpha\lt\frac{1}{e}\end{align*}}$ を満たすとする。関数$\small\sf{f(x)=xe^{-x}}$ とする。
  次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{x\gt 0}$ のとき、不等式$\small\sf{\begin{align*}\sf e^x\gt 1+x+\frac{x^2}{2}\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。

 (2) 方程式$\small\sf{f(x)=a}$ が異なる2つの正の実数解をもつことを示せ。

 (3) 不定積分$\small\sf{\begin{align*}\sf \int \left\{f(x)\right\}^2dx\end{align*}}$ を求めよ。

 (4) (2)の2つの解を$\small\sf{p,\ q\ (p\lt q)}$ とする。2直線$\small\sf{x=p\ ,\ x=q}$ と曲線$\small\sf{y=f(x)\ (p\leqq x\leqq q)}$
    およびx軸で囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる立体の体積をVとする。
    極限$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{a\rightarrow +0}V\end{align*}}$ を求めよ。



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  1. 2019/02/18(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2019(理工)
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2019同志社大 理工学部 数学3



第3問

  座標平面上の曲線$\small\sf{\left(x-y\right)^2-2\left(x+y\right)=0}$ をCとする。次の問いに答えよ。

 (1) 関数$\small\sf{\begin{align*}\sf f(t)=\log\left(t+\sqrt{t^2+1}\right)\end{align*}}$ に対して、導関数$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{d}{dt}f(t) \end{align*}}$ を求めよ。

 (2) 等式$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{d}{dt}\left(t\sqrt{t^2+1}\right)=a\sqrt{t^2+1}-\frac{b}{\sqrt{t^2+1}}\end{align*}}$ が成り立つように、定数a、bの値を定めよ。
    また、不定積分$\small\sf{\begin{align*}\sf\int\sqrt{t^2+1}dt \end{align*}}$ を求めよ。

 (3) 曲線C上の点(x,y)に対して、$\small\sf{\begin{align*}\sf x-y=t\end{align*}}$ とおいて、xとyをそれぞれtで表せ。

 (4) 曲線C上の点のうち、x座標の値が最小である点をP、y座標の値が最小である点を
    Qとする。2点P、Qの座標をそれぞれ求めよ。

 (5) 曲線Cのうち、(4)の2点P、Qの間の部分をDとする。曲線Dの長さを求めよ。




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  1. 2019/02/19(火) 23:57:00|
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2019同志社大 理工学部 数学4



第4問

  x、yを整数、nを自然数、iを虚数単位とする。x、yが整数全体を動くとき、
  (1+2i)(x+yi)と表される複素数全体の集合である無限集合をLとする。
  さらに、Lの要素のうち、実部と虚部がともに0以上かつn以下であるものの
  個数をmnとする。次の問いに答えよ。

 (1) (1+2i)(x1+y1i)=5、(1+2i)(x2+y2i)=5iを満たす整数
    x1、y1、x2、y2を求めよ。

 (2) s、tが実数のとき、(1+2i)(s+ti)の実部と虚部がともに0以上かつ
    5以下となるためのs、tの条件を求めよ。

 (3) m5を求めよ。また、(1+2i)(x+yi)の実部と虚部がともに1以上かつ
    4以下となるような整数x、y値の組(x,y)をすべて求めよ。

 (4) zを複素数とする。$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{z}{1+2i}\end{align*}}$ の実部と虚部に注目して、zがLの要素である
    とき、z+5、z+5iはともにLの要素であることを示せ。また、zがLの要素
    でないとき、z+5、z+5iはともにLの要素でないことを示せ。

 (5) m10を求めよ。また、kを自然数として、m5kをkを用いて表せ。

 (6) mn≦2019<mn+1となるnを求めよ。




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  1. 2019/02/20(水) 23:57:00|
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