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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019同志社大 理系(全学部) 数学1(1)



第1問

  次の    に適する数または式を、解答用紙の同じ記号のついた    の中に記入せよ。

 (1) i を虚数単位とする。等式$\small\sf{\left(2+\sqrt3+i\right)\alpha+\left(1-i\right)\gamma=\left(3+\sqrt3\right)\beta}$ を満たす相異なる3つの
    複素数$\small\sf{\alpha,\ \beta,\ \gamma}$ を考え、複素数平面上の3点$\small\sf{A(\alpha),\ B(\beta),\ C(\gamma)}$ を考える。△ABCにおいて、
    ∠A、∠Bの大きさを度数法で求めると、∠A= ア  °、∠B= イ  °であり、2辺の比
    AB:ACはAB:AC=$\small\sf{\sqrt2}$ : ウ  である。$\small\sf{\alpha=1+i\ ,\ \beta=3+i}$ のとき、点Aを中心として
    点Bを60°だけ反時計回りに回転した点Dを表す複素数は エ  であり、直線ACに関して
    点Dと対称な位置にある点を表す複素数は オ  である。




2019同志社大 理系(全学部) 数学1(2)



第1問

  次の    に適する数または式を、解答用紙の同じ記号のついた    の中に記入せよ。

 (2) nを5以上の自然数とする。箱にコインがn枚入っており、その内訳は1枚が表と裏の両面が白、
    2枚が両面が黒、残り(n-3)枚が表が白裏が黒である。この箱から2枚のコインを同時に取り
    出して同時に投げたとき、出た面の色が異なる事象をA、出た面の色がともに白の事象をB、
    出ていない面の色がともに黒の事象をC、出ていない面の色が異なる事象をDとする。コインは
    投げた時に表と裏が同じ確率で出るとすると、確率P(A)= カ  、P(B)= キ  であり、
    条件付き確率PB(C)= ク  、PB(D)= ケ  である。PB(C)=PB(D)となるのは
    n= コ  のときである。



2019同志社大 理系(全学部) 数学2



第2問

  定数a、bはa>bとする。座標平面上で、3つの関数$\small\sf{y=e^{-x}\ ,\ y=a\sin x\ ,\ y=b\sin x}$ に対する
  それぞれのグラフの$\small\sf{0\leqq x\leqq 2\pi}$ の部分を、それぞれ曲線C、D、Eとする。さらに、2曲線C、Dは
  共有点Pをもち、点Pで共通の接線をもつとする。また、2曲線C、Eは共有点Qをもち、点Qで
  共通の接線をもつとする。この2点P、Qのx座標をそれぞれp、qとする。次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{0\leq x\leqq 2\pi}$ のとき、方程式$\small\sf{\sin x+\cos x=0}$ を解け。

 (2) a、b、p、qの値を求めよ。

 (3) 曲線Cのp≦x≦qの部分をC1、曲線Dの0≦x≦pの部分をD1、曲線Eの$\small\sf{\pi}$ ≦x≦qの部分を
    E1とする。これら3曲線C1、D1、E1とx軸で囲まれた図形の面積を求めよ。





テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2019/02/14(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2019(全学部)
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2019同志社大 理系(全学部) 数学3



第3問

  xyz空間において、原点Oを中心とするxy平面上の半径1の円をCとする。
  円C上にy座標の値が正であるような点Pを考え、点Pのx座標をpとする。
  zx平面上に2点$\small\sf{\begin{align*}\sf A\left(1,\ 0,\ 1\right)\ ,\ B\left(\frac{2}{5},\ 0,\ \frac{4}{5}\right)\end{align*}}$ をとる。次の問いに答えよ。

 (1) 直線ABとxy平面の交点をEとする。点Eの座標を求めよ。
 
 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf p\ne -\frac{1}{2}\end{align*}}$ とする。(1)の点Eに対して、直線EPと円Cの交点で、点Pと
    異なる点をQとするとき、点Qのy座標をpを用いて表せ。

 (3) 2点F、Gは円C上にあり、点Fのy座標の値は正とする。$\small\sf{\overrightarrow{\sf BG}=t\overrightarrow{\sf AF}}$ を満たす
    実数tが存在するとき、点Fのx座標の値を求めよ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*}\sf p\ne -\frac{1}{2}\end{align*}}$ とし、点Pは(3)の点Fと異なるとする。円C上に点Pと異なる点Rを
    考える。2点A、Pと直線BR上の点Uの3点が一直線上にあるとき、2点R、U
    のy座標をそれぞれpを用いて表せ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2019/02/15(金) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2019(全学部)
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2019同志社大 理系(全学部) 数学4



第4問

  nを9以上の自然数とする。区間0<x<1で定義された関数$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\frac{1}{x\left(\log x\right)^n}\end{align*}}$ を考える。
  次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{f'(x)=0}$ となるxの値を$\small\sf{a_n}$ とする。$\small\sf{a_n,\ f(a_n)}$ を求めよ。また、$\small\sf{f(a_n)}$ が極大値であるか
    極小値であるかを判定せよ。

 (2) f(x)は2つの変曲点をもつことを示せ。また、それら2つの変曲点を
    $\small\sf{\left(b_n\ ,\ f(b_n)\right)\ ,\ \left(c_n\ ,\ f(c_n)\right)\ \ \left(b_n\lt c_n\right)}$ とするとき、$\small\sf{b_n}$ を求めよ。

 (3) (1)の$\small\sf{a_n}$ と(2)の$\small\sf{b_n}$ は、9以上のすべての自然数nに対して、次の不等式を満たす
    ことを示せ。
        $\small\sf{\begin{align*}\sf 1-\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2}\leqq\frac{\log b_n}{\log a_n}\leqq 1-\frac{1}{n}\end{align*}}$
   
 (4) 不定積分$\small\sf{\int f(x)dx}$ を求めよ。

 (5) 曲線$\small\sf{y=f(x)\ \ (0\lt x\lt 1)}$ と2直線$\small\sf{x=a_n\ ,\ x=b_n}$ 、およびx軸で囲まれた図形の面積を
    Snとするとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{n\rightarrow\infty}n^nS_n\end{align*}}$ を求めよ。



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  1. 2019/02/16(土) 23:57:00|
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