第2問
定数a、bはa＞bとする。座標平面上で、3つの関数$\small\sf{y=e^{-x}\ ,\ y=a\sin x\ ,\ y=b\sin x}$ に対する
それぞれのグラフの$\small\sf{0\leqq x\leqq 2\pi}$ の部分を、それぞれ曲線C、D、Eとする。さらに、2曲線C、Dは
共有点Pをもち、点Pで共通の接線をもつとする。また、2曲線C、Eは共有点Qをもち、点Qで
共通の接線をもつとする。この2点P、Qのx座標をそれぞれp、qとする。次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{0\leq x\leqq 2\pi}$ のとき、方程式$\small\sf{\sin x+\cos x=0}$ を解け。
(2) a、b、p、qの値を求めよ。
(3) 曲線Cのp≦x≦qの部分をC1、曲線Dの0≦x≦pの部分をD1、曲線Eの$\small\sf{\pi}$ ≦x≦qの部分を
E1とする。これら3曲線C1、D1、E1とx軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解説】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos x=0\end{align*}}$ のときは$\scriptsize\sf{\sin x+\cos x=0}$ は成り立たないので、
両辺を$\scriptsize\sf{\cos x}$ で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{x=\frac{3}{4\pi}\ ,\ \frac{7}{4}\pi}\ \ \ \ \left(\because\ 0\leqq x\leqq 2\pi\right)\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}}$ なので、点PにおけるCの接線の傾きは、$\scriptsize\sf{-e^{-p}}$ .
また、$\scriptsize\sf{\left(a\sin x\right)'=a\cos x}$ なので、点PにおけるDの接線の傾きは、$\scriptsize\sf{a\cos p}$ .
2曲線C、Dは共有点Pをもち、点Pで共通の接線をもつこれら2接線が一致するので、
$\scriptsize\sf{e^{-p}=a\sin p}$ かつ $\scriptsize\sf{-e^{-p}=a\cos p}$
これらを連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a\sin p+a\cos p=0\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\frac{3}{4}\pi\ ,\ \frac{7}{4}\pi\ \ \ \left(\because\ (1)\right)\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=\frac{3}{4}\pi\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=\frac{e^{-p}}{\sin p}=\sqrt2 e^{-\frac{3}{4}\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=\frac{7}{4}\pi\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=\frac{e^{-p}}{\sin p}=-\sqrt2 e^{-\frac{7}{4}\pi}\end{align*}}$
一方、2曲線C、Eは共有点Qをもち、点Qで共通の接線をもつこれら2接線が一致するので、
同様に考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q=\frac{3}{4}\pi\ ,\ \frac{7}{4}\pi\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q=\frac{3}{4}\pi\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b=\frac{e^{-p}}{\sin p}=\sqrt2 e^{-\frac{3}{4}\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q=\frac{7}{4}\pi\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b=\frac{e^{-p}}{\sin p}=-\sqrt2 e^{-\frac{7}{4}\pi}\end{align*}}$
a＞bなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{a=\sqrt2 e^{-\frac{3}{4}\pi}\ ,\ \ b=-\sqrt2 e^{-\frac{7}{4}\pi}\ ,\ \ p=\frac{3}{4}\ ,\ \ q=\frac{7}{4}}\end{align*}}$
(3)
求める面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_0^p a\sin xdx+\int_p^q e^{-x}dx-\int_{\pi}^q b\sin xdx \\ &=\sf \bigg[-a\cos x\bigg]_0^p+\bigg[-e^{-x}\bigg]_p^q-\bigg[-b\cos x\bigg]_{\pi}^q\\ &=\sf -a\cos p+a\cos 0-e^{-q}+e^{-p}+b\cos q-b\cos \pi\\ &=\sf 2e^{-p}-2e^{-q}+a+b\\ &=\sf 2e^{-\frac{3}{4}\pi}-2e^{-\frac{7}{4}\pi}+\sqrt2e^{-\frac{3}{4}\pi}-\sqrt2e^{-\frac{7}{4}\pi}\\ &=\sf \underline{\left(2+\sqrt2\right)\left(e^{-\frac{3}{4}\pi}-e^{-\frac{7}{4}\pi}\right)}\end{align*}}$
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第3問
xyz空間において、原点Oを中心とするxy平面上の半径1の円をCとする。
円C上にy座標の値が正であるような点Pを考え、点Pのx座標をpとする。
zx平面上に2点$\small\sf{\begin{align*}\sf A\left(1,\ 0,\ 1\right)\ ,\ B\left(\frac{2}{5},\ 0,\ \frac{4}{5}\right)\end{align*}}$ をとる。次の問いに答えよ。
(1) 直線ABとxy平面の交点をEとする。点Eの座標を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*}\sf p\ne -\frac{1}{2}\end{align*}}$ とする。(1)の点Eに対して、直線EPと円Cの交点で、点Pと
異なる点をQとするとき、点Qのy座標をpを用いて表せ。
(3) 2点F、Gは円C上にあり、点Fのy座標の値は正とする。$\small\sf{\overrightarrow{\sf BG}=t\overrightarrow{\sf AF}}$ を満たす
実数tが存在するとき、点Fのx座標の値を求めよ。
(4) $\small\sf{\begin{align*}\sf p\ne -\frac{1}{2}\end{align*}}$ とし、点Pは(3)の点Fと異なるとする。円C上に点Pと異なる点Rを
考える。2点A、Pと直線BR上の点Uの3点が一直線上にあるとき、2点R、U
のy座標をそれぞれpを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解説】
(1)
点Eは、zx平面とxy平面の交線上、すなわちx軸上の点なので、
E(e，0，0)と表すことができる。
3点A、B、Eは一直線上にあるので、実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AE}=k\overrightarrow{\sf AB}\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(e-1,\ 0,\ -1\right)=k\left(-\frac{3}{5},\ 0,\ -\frac{1}{5}\right)\end{align*}}$
と表すことができる。成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k=5\ ,\ e=-2\end{align*}}$
より、点Eの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{E\left(-2,\ 0,\ 0\right)}\end{align*}}$
(2)
Qのy座標も正となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(p,\ \sqrt{1-p^2}\right)\ ,\ \ Q\left(q,\ \sqrt{1-q^2}\right)\end{align*}}$
とおくと、3点P、Q、Eは一直線上にあるので、実数k’を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf EQ}=k'\overrightarrow{\sf EP}\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(p+2\ ,\ \sqrt{1-p^2}\right)=k'\left(q+2\ ,\ \sqrt{1-q^2}\right)\end{align*}}$
成分を比較すると、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q\ne -2\ ,\pm 1\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k=\frac{p+2}{q+2}=\frac{\sqrt{1-p^2}}{\sqrt{1-q^2}}\end{align*}}$
両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{p^2+4p+4}{q^2+4q+4}=\frac{1-p^2}{1-q^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(p^2+4p+4\right)\left(1-q^2\right)=\left(q^2+4q+4\right)\left(1-p^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4p^2q-4pq^2+5p^2-5q^2+4p-4q=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4pq(p-q)-5(p-q)(p+q)+4(p-q)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (p-q)(4pq+5p+5q+4)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p\ne q\end{align*}}$ であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -1\lt p\lt 1\end{align*}}$ より$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4p+q\ne 0\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q=-\frac{5p+4}{4p+5}\end{align*}}$
よって、点Qのy座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{1-q^2}=\sqrt{1-\left(-\frac{5p+4}{4p+5}\right)^2}=\frac{\sqrt{(4p+5)^2-(5p+4)^2}}{4p+5}=\underline{\frac{3\sqrt{1-p^2}}{4p+5}}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf BG}=t\overrightarrow{\sf AF}\end{align*}}$ より、2直線BGとAFは平行なので、4点A、B、F、Gは同一平面
（$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha\end{align*}}$ とする）上にある。
また、(1)で求めた点Eは直線AB上にあるので、Eも$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha\end{align*}}$ 上にあり、3点E、F、Gは
すべてxy平面上にあるので、3点E、F、Gはすべて、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha\end{align*}}$ とxy平面の交線上にある。
よって、Fのx座標をfとおくと、（２）と同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F\left(f\ ,\ \sqrt{1-f^2}\ ,\ 0\right)\ ,\ \ G\left(-\frac{5f+4}{4f+5}\ ,\ \frac{3\sqrt{1-f^2}}{4f+5}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
と表すことができる。
BG//AFより、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf EA:EB=EF:EG\end{align*}}$ なので、x座標を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left\{1-(-2)\right\}:\left\{\frac{2}{5}-(-2)\right\}=\left\{f-(-2)\right\}:\left\{-\frac{5f+4}{4f+5}-(-2)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 16f^2+37f+10=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(16f+5\right)\left(f+2\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ne -2\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f=\underline{-\frac{5}{16}}\end{align*}}$
(4)
2直線AP、BRが点Uで交わるので、5点A、B、P、R、Uは同一平面上にあり、
(3)と同様に考えると、3点E、P、Rは同一直線上にある。
よって、P、Rの座標は(2)と同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(p\ ,\ \sqrt{1-p^2}\ ,\ 0\right)\ ,\ \ \underline{R\left(-\frac{5p+4}{4p+5}\ ,\ \frac{3\sqrt{1-p^2}}{4p+5}\ ,\ 0\right)}\end{align*}}$
と表すことができる。
また、Uは2直線AP、BRの交点なので、実数m、nを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AU}=m\overrightarrow{\sf AP}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf BU}=n\overrightarrow{\sf BR}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OU}=m\overrightarrow{\sf AP}+\overrightarrow{\sf OA}=n\overrightarrow{\sf BR}+\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ m\left(p-1, \sqrt{1-p^2}, -1\right)+\left(1,0,1\right)=n\left(-\frac{5p+4}{4p+5}-\frac{2}{5} , \frac{3\sqrt{1-p^2}}{4p+5} , -\frac{4}{5}\right)+\left(\frac{2}{5},0,\frac{4}{5}\right)\end{align*}}$
z成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -m+1=-\frac{4}{5}n+\frac{4}{5}\ \ \Leftrightarrow\ \ n=\frac{5m-1}{4}\end{align*}}$ ･･････(*)
y成分を比較すると、(*)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m\sqrt{1-p^2}=\frac{3\sqrt{1-p^2}}{4p+5}\cdot\frac{5m-1}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ m=-\frac{3}{16p+5}\end{align*}}$
となり、この値はx成分についても両辺が等しくなる。
以上より、点Uのy座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m\sqrt{1-p^2}=\underline{-\frac{3\sqrt{1-p^2}}{16p+5}}\end{align*}}$
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第4問
nを9以上の自然数とする。区間0＜x＜1で定義された関数$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\frac{1}{x\left(\log x\right)^n}\end{align*}}$ を考える。
次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{f'(x)=0}$ となるxの値を$\small\sf{a_n}$ とする。$\small\sf{a_n,\ f(a_n)}$ を求めよ。また、$\small\sf{f(a_n)}$ が極大値であるか
極小値であるかを判定せよ。
(2) f(x)は2つの変曲点をもつことを示せ。また、それら2つの変曲点を
$\small\sf{\left(b_n\ ,\ f(b_n)\right)\ ,\ \left(c_n\ ,\ f(c_n)\right)\ \ \left(b_n\lt c_n\right)}$ とするとき、$\small\sf{b_n}$ を求めよ。
(3) (1)の$\small\sf{a_n}$ と(2)の$\small\sf{b_n}$ は、9以上のすべての自然数nに対して、次の不等式を満たす
ことを示せ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf 1-\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2}\leqq\frac{\log b_n}{\log a_n}\leqq 1-\frac{1}{n}\end{align*}}$
(4) 不定積分$\small\sf{\int f(x)dx}$ を求めよ。
(5) 曲線$\small\sf{y=f(x)\ \ (0\lt x\lt 1)}$ と2直線$\small\sf{x=a_n\ ,\ x=b_n}$ 、およびx軸で囲まれた図形の面積を
Snとするとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{n\rightarrow\infty}n^nS_n\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解説】
(1)
f(x)の第1次導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)&=\sf -\frac{\left\{x(\log x)^n\right\}'}{x^2(\log x)^{2n}} \\ &=\sf -\frac{(\log x)^n+x\cdot n(\log x)^{n-1}\cdot\frac{1}{x}}{x^2(\log x)^{2n}}\\ &=\sf \frac{n+\log x}{x^2(\log x)^{n+1}}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \log x=-n\ \ \Leftrightarrow\ \ x=e^{-n}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n=\underline{e^{-n}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(a_n)=\frac{1}{a_{n}\left(\log a_n\right)^n}=\underline{\left(-\frac{e}{n}\right)^n} \end{align*}}$
また、f(x)の第2次導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f''(x)&=\sf \frac{\frac{1}{x}\cdot x^2(\log x)^{n+1}-(n+\log x)\cdot \left\{2x(\log x)^{n+1}+x^2\cdot (n+1)(\log x)^n\cdot\frac{1}{x}\right\}}{x^4(\log x)^{2n+2}} \\ &=\sf \frac{-(\log x)+(n+\log x)(2\log x+n+1)}{x^3(\log x)^{n+2}}\\ &=\sf \frac{2(\log x)^2+3n\log x+n^2+n}{x^3(\log x)^{n+2}}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f''(a_n)=\frac{2n^2-3n^2+n^2+n}{e^{-3n}(-n)^{n+2}}=\frac{1}{n}\cdot\left(-\frac{e^3}{n}\right)^n \end{align*}}$
よって、
nが偶数のときは$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(a_n)=0\ ,\ \ f''(a_n)\gt 0 \end{align*}}$ より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(a_n) \end{align*}}$ は極大値
nが奇数のときは$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(a_n)=0\ ,\ \ f''(a_n)\lt 0 \end{align*}}$ より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(a_n) \end{align*}}$ は極小値
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f''(x)=0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \log x=\frac{-3n\pm\sqrt{n(n-8)}}{4}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \beta=\frac{-3n-\sqrt{n(n-8)}}{4}\ ,\ \ \gamma=\frac{-3n-\sqrt{n(n-8)}}{4}\end{align*}}$
とおくと、n≧9より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \beta\lt\gamma=\frac{-8n^2-8n}{4\left\{3n+\sqrt{n(n-8)}\right\}}\lt 0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf e\gt 1\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt e^{\beta}\lt e^{\gamma}\lt 1\end{align*}}$
を満たし、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f''\left(e^{\beta}\right)=f''\left(e^{\gamma}\right)=0\end{align*}}$ .
また、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt x\lt 1\end{align*}}$ の範囲では、常に$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log x\lt 0\end{align*}}$ であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log x\end{align*}}$ は単調に増加するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f''(x)\end{align*}}$ の符号は、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=e^{\beta}\ ,\ x=e^{\gamma}\end{align*}}$ の前後でそれぞれ変化する。
よって、2点$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(e^{\beta},\ f\left(e^{\beta}\right)\right)\ ,\ \left(e^{\gamma},\ f\left(e^{\gamma}\right)\right)\end{align*}}$ はCの変曲点となり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n\lt c_n\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n=e^{\beta}=\underline{e^{\frac{-3n-\sqrt{n(n-8)}}{4}}}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\log b_n}{\log a_n}=\frac{\beta}{-n}=\frac{3n+\sqrt{n^2-8n}}{4n}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-\frac{1}{n}-\frac{\log b_n}{\log a_n}&=\sf\frac{4n-4-\left(3n-\sqrt{n^2-8n}\right)}{4n} \\ &=\sf \frac{n-4-\sqrt{n^2-8n}}{4n}\\ &=\sf \frac{(n-4)^2-(n^2-8n)}{4n\left(n-4+\sqrt{n^2-8n}\right)}\\ &=\sf \frac{4}{n\left(n-4+\sqrt{n^2-8n}\right)}\\ &\gt \sf 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\log b_n}{\log a_n}-\left(1-\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2}\right)&=\sf \frac{n\left(3n+\sqrt{n^2-8n}\right)-4n^2+4n+20}{4n^2} \\ &=\sf \frac{n\sqrt{n^2-8n}-(n^2-4n-20)}{4n^2}\\ &=\sf \frac{n^2(n^2-8n)-(n^2-4n-20)^2}{4n^2\left(n\sqrt{n^2-8n}+n^2-4n-20\right)}\\ &=\sf \frac{2n(3n-20)-100}{n^2\left\{n\sqrt{n^2-8n}+n(n-4)-20\right)}\end{align*}}$
ここで、n≧9より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2n(3n-20)-100\geqq 2\cdot 9\cdot (3\cdot 9-20)-100=26\gt 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n(n-4)-20\geqq 9\cdot (9-4)-20=25\gt 0 \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\log b_n}{\log a_n}-\left(1-\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2}\right)=\frac{2n(3n-20)-100}{n^2\left\{n\sqrt{n^2-8n}+n(n-4)-20\right)}\gt 0 \end{align*}}$
以上より、n≧9のとき、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2}\leqq\frac{\log b_n}{\log a_n}\leqq 1-\frac{1}{n}\end{align*}}$
が成り立つ。
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int f(x)dx&=\sf \int\frac{1}{x(\log x)^n}dx \\ &=\sf \int\left(\log x\right)'\left(\log x\right)^{-n}dx\\ &=\sf \frac{1}{-n+1}\left(\log x\right)^{-n+1}+C\\ &=\sf \underline{-\frac{1}{\left(n-1\right)\left(\log x\right)^{n-1}}+C} \end{align*}}$
（C：積分定数）
(5)
f(x)の符号は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt x\lt 1\end{align*}}$ の範囲では変化しないので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n^2S_n&=\sf n^n\left|\int_{a_n}^{b_n}f(x)dx\right| \\ &=\sf n^n\left|\left[-\frac{1}{\left(n-1\right)\left(\log x\right)^{n-1}}\right]_{a_n}^{b_n}\right|\\ &=\sf \frac{n^n}{n-1}\left|\frac{1}{\left(\log b_n\right)^{n-1}}-\frac{1}{\left(\log a_n\right)^{n-1}}\right|\\ &=\sf \frac{n^n}{n-1}\left|\frac{1}{\left(\log a_n\right)^{n-1}}\right|\left|\frac{1}{\left(\frac{\log b_n}{\log a_n}\right)^{n-1}}-1\right|\end{align*}}$
(4)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(1-\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2}\right)^{n-1}\leqq\left(\left(\frac{\log b_n}{\log a_n}\right)^{n-1}\right)^{n-1}\leqq\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-1}\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-1}&=\sf\lim_{n\rightarrow\infty} \left\{\left(1+\frac{1}{-n}\right)^{-n}\right\}^{-\frac{n-1}{n}}\\ &=\sf\lim_{n\rightarrow\infty} \left\{\left(1+\frac{1}{-n}\right)^{-n}\right\}^{-1+\frac{1}{n}}\\ &=\sf e^{-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2}\right)^{n-1}&=\sf\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1-\frac{n+5}{n^2}\right)^{n-1} \\ &=\sf\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\left(1+\frac{1}{-\frac{n^2}{n+5}}\right)^{-\frac{n^2}{n+5}}\right\}^{-\frac{(n-1)(n+5)}{n^2}} \\ &=\sf\lim_{n\rightarrow\infty} \left\{\left(1+\frac{1}{-n+5-\frac{25}{n+5}}\right)^{-n+5-\frac{25}{n+5}}\right\}^{-1-\frac{4}{n}+\frac{5}{n^2}}\\ &=\sf e^{-1} \end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^n}{n-1}\left|\frac{1}{\left(\log a_n\right)^{n-1}}\right|&=\sf\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^n}{n-1}\left|\frac{1}{\left(-n\right)^{n-1}}\right| \\ &=\sf\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n-1}\\ &=\sf\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n-1}\right) \\ &=\sf 1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}n^nS_n=1\cdot \left|\frac{1}{e^{-1}}-1\right|=\underline{e-1}\end{align*}}$
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