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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010大阪府立大 工学部 数学1(1)





第1問

  次の問いに答えよ。

 (1) 次の関係式を満たす数列{an}の一般項をそれぞれ求めよ。
     $\small\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \ a_1=\frac{1}{4}\ \ ,\ \ a_{n+1}=\frac{a_n}{3a_n+1}\ \ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
     $\small\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \ a_1=1\ \ ,\ \ a_{n+1}=2a_n+3^n\ \ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$


 (計算の過程を記入しなくてよい。)


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  1. 2012/02/27(月) 12:30:56|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 中期 2010(工)
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2010大阪府立大 工学部 数学1(2)



第1問

  次の問いに答えよ。

 (2)
   行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$ が、
       A2-97A+2010E=O
   を満たすとき、a+d、ad-bcの値の組をすべて求めよ。ただし、
   $\small\sf{\begin{align*} \sf E=\begin{pmatrix}\sf 1&0\\ \sf 0&1\end{pmatrix}\ \ ,\ \ O=\begin{pmatrix}\sf 0&\sf 0\\ \sf 0 &0\end{pmatrix}\end{align*}}$ とする。   


 (計算の過程を記入しなくてよい。)


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  1. 2012/02/27(月) 12:33:56|
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2010大阪府立大 工学部 数学1(3)



第1問

  次の問いに答えよ。

 (3)
   aを正の実数とするとき、極限値、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf b=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{(n+1)^a+(n+2)^a+\ldots+(n+n)^a}{1^a+2^a+\ldots+n^a}\end{align*}}$
   を求めよ。


 (計算の過程を記入しなくてよい。)


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  1. 2012/02/27(月) 12:34:56|
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2010大阪府立大 工学部 数学2




第2問

  平面上に4点O、A、B、Cがあり、点Oを始点とするそれぞれの
  位置ベクトルを $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ とし、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=\sqrt2\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf b}|=\sqrt{10}\end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=2\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}=8\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=20\end{align*}}$
  が成り立つとする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (2) 点Cから直線ABに下ろした垂線と直線ABの交点をHとする。
    このとき、ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。
    また$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CH}|\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) 実数s、tに対して、点Pを
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=s\ \overrightarrow{\sf a}+t\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
    で定める。s、tが条件
         (x+t-1)(s+3t-3)≦0
    を満たしながら変化するとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|\end{align*}}$ の最小値を求めよ。


 (2の(1)については計算の過程を記入しなくてよい。)


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  1. 2012/02/28(火) 22:57:00|
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2010大阪府立大 工学部 数学3



第3問

  座標平面上において、点(x,y)から点(x+1,y)または点(x,y+1)への
  移動をN型移動といい、点(x,y)から点(x+1,y+1)への移動をS型移動
  という。nを3以上の整数とする。原点Oから出発し、2n-2回のN型移動と
  1回のS型移動を組み合わせて点(n,n)に到達する経路の総和をA(n)とす
  る。また、このような経路のうち、S型移動をk回目の移動として含む経路の
  総数をB(n,k)とする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) A(3)を求めよ。

 (2)B(4,1)、B(4,2)をそれぞれ求めよ。

 (3)B(n,1)をnを用いて表せ。

 (4)一般のk=2,3,・・・,2n-1に対して、B(n,k)をn、kを用いて表せ。

 (5)A(n)をnを用いて表せ。


   ただし、p、q、rを非負の整数とし、p≦q≦rとするとき、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{i=0}^p\ _P C_i\cdot _r C_{q-i}=_{p+r} C_q\end{align*}}$
   が成り立つことを用いてもよい。


  (3の(1)、(2)、(3)については計算の過程を記入しなくてよい)

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  1. 2012/02/29(水) 23:54:00|
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2010大阪府立大 工学部 数学4




第4問

  次の問いに答えよ。

 (1) aを正の定数とするとき、関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\log\left(x+\sqrt{a+x^2}\right)\end{align*}}$
    の導関数f’(x)を求めよ。

 (2) t=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ tan$\small\sf{\theta}$ とおくことにより、定積分
        $\small\sf{\begin{align*} \sf I=\int_0^1\ \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}}\end{align*}}$
    を求めよ。

 (3) 0≦x≦1であるすべてのxに対して、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^x\ \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}}\ \geqq\ k\int_0^x\ \frac{dt}{\sqrt{3+t^2}}\end{align*}}$
    が成り立つための実数kの範囲を求めよ。
    ただし、log3=1.10とする。


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  1. 2012/03/01(木) 23:51:00|
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