第1問
次の問いに答えよ。
(1) 次の関係式を満たす数列{an}の一般項をそれぞれ求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \ a_1=\frac{1}{4}\ \ ,\ \ a_{n+1}=\frac{a_n}{3a_n+1}\ \ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \ a_1=1\ \ ,\ \ a_{n+1}=2a_n+3^n\ \ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
（計算の過程を記入しなくてよい。）
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)(ⅰ)
a1≠0よりa2≠0、a2≠0よりa3≠0、･･･・
以下、帰納的にan≠0となるので、
両辺の逆数をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{3a_n+1}{a_n}=\frac{1}{a_n}+3\end{align*}}$ ．
ここで、数列{bn}を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{1}{a_{n}}\end{align*}}$
で定めると、
b1=4 、 bn+1=bn+3
となるので、{bn}は、公差3の等差数列となる。よって、
bn=4+3(ｎ－1)=3ｎ+1
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{1}{b_{n}}=\underline{\ \frac{1}{3n+1}\ \ }\end{align*}}$
(1)(ⅱ)
両辺を3n+1で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{a_n}{3^n}+\frac{1}{3}\end{align*}}$．
ここで、数列{cn}を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_n=\frac{a_n}{3^n}\end{align*}}$
で定めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_1=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ c_{n+1}=\frac{2}{3}\ c_n+\frac{1}{3}\end{align*}}$
これを変形すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_{n+1}-1=\frac{2}{3}\ (c_n-1)\end{align*}}$
となるので、{cn－1}は、等差数列となる。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_{n}-1=-\frac{2}{3}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\ \ \Leftrightarrow\ \ c_n=-\left(\frac{2}{3}\right)^{n}+1\end{align*}}$ ．
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=3^n\cdot c_n=\underline{\ -2^n+3^n\ \ }\end{align*}}$
途中式が要らないのであれば、ｎ=1，2，3，･･･と順に代入していって、
一般項を類推するという手も汚い手もありますがｗｗ
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- 2012/02/27(月) 12:30:56|
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第1問
次の問いに答えよ。
(2)
行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$ が、
A2－97A+2010E=Ｏ
を満たすとき、a+d、ad－bcの値の組をすべて求めよ。ただし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf E=\begin{pmatrix}\sf 1&0\\ \sf 0&1\end{pmatrix}\ \ ,\ \ O=\begin{pmatrix}\sf 0&\sf 0\\ \sf 0 &0\end{pmatrix}\end{align*}}$ とする。
（計算の過程を記入しなくてよい。）
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(2)
ｔ=a+d 、δ=ad－bc とおくと、
ハミルトン・ケーリーの定理より
A2－ｔA+δE=Ｏ
これと与式との差をとって整理すると、
(ｔ－97)A=(δ－2010)E ････①
となる。
(ア)ｔ=97のとき
Ｏ=(δ－2010)E
となり、両辺の(1，1)成分を比較すると、
0=δ－2010 ⇔ δ=2010
(イ)ｔ≠97のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{\delta-2010}{t-97}\ E\end{align*}}$
と変形できるので、Aは実数ｋを用いて
A=ｋE
と表せる。これを与式に代入すると、
(ｋE)2－97ＫE+2010E=Ｏ
⇔ (ｋ2－97ｋ+2010)E=Ｏ
両辺の(1，1)線分を比較すると、
ｋ2－97ｋ+2010=0
⇔ ｋ=30、67
⇔ A=30E または A=67E
ここで、ｔ=2ｋ、 δ=ｋ2なので、
(ｔ，δ)=(60，900) または (ｔ，δ)=(134，4489)
以上より、
(a+d，ad－bc)=(97，2010)、(60，900)、(134，4489)
教科書の例題にありますよね。
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- 2012/02/27(月) 12:33:56|
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第1問
次の問いに答えよ。
(3)
aを正の実数とするとき、極限値、
$\small\sf{\begin{align*} \sf b=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{(n+1)^a+(n+2)^a+\ldots+(n+n)^a}{1^a+2^a+\ldots+n^a}\end{align*}}$
を求めよ。
（計算の過程を記入しなくてよい。）
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(3)
まず、与式の分子・分母をｎaで割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{(1+\frac{1}{n})^a+(1+\frac{2}{n})^a+\ldots+(1+\frac{n}{n})^a}{\left(\frac{1}{n}\right)^a+\left(\frac{2}{n}\right)^a+\ldots+\left(\frac{n}{n}\right)^a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{\sum_{k=1}^n\ (1+\frac{k}{n})^a}{\sum_{k=1}^n\ \left(\frac{k}{n}\right)^a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\ \sum_{k=1}^n\ (1+\frac{k}{n})^a}{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\ \sum_{k=1}^n\ \left(\frac{k}{n}\right)^a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\int_0^1\ (1+x)^a \ dx}{\int_0^1\ x^a\ dx}\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\ (1+x)^a \ dx=\left[\frac{1}{a+1}(1+x)^{a+1}\right]_0^1=\frac{2^{a+1}-1}{a+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\ x^a\ dx=\left[\frac{1}{a+1}\ x^{a+1}\right]_0^1=\frac{1}{a+1}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{\frac{2^{a+1}-1}{a+1}}{\frac{1}{a+1}}=\underline{\ 2^{a+1}-1\ \ }\end{align*}}$
いわゆる区分求積法ってヤツです。教科書に載ってますよね。
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- 2012/02/27(月) 12:34:56|
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第2問
平面上に4点O、A、B、Cがあり、点Oを始点とするそれぞれの
位置ベクトルを $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ とし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=\sqrt2\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf b}|=\sqrt{10}\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=2\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}=8\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=20\end{align*}}$
が成り立つとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) 点Cから直線ABに下ろした垂線と直線ABの交点をHとする。
このとき、ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。
また$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CH}|\end{align*}}$ を求めよ。
(3) 実数s、tに対して、点Pを
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=s\ \overrightarrow{\sf a}+t\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
で定める。s、tが条件
(x+t－1)(s+3t－3)≦0
を満たしながら変化するとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|\end{align*}}$ の最小値を求めよ。
（2の(1)については計算の過程を記入しなくてよい。）
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=\sqrt2\ ,\ \ |\overrightarrow{\sf b}|=\sqrt{10}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=2\ ,\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}=8\ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=20\end{align*}}$ ････(※)
(1)
2つのベクトル $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ のなす角を$\scriptsize\sf{\theta}$ とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos \theta=\frac{\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}}{|\overrightarrow{\sf a}|\ |\overrightarrow{\sf b}|}=\frac{2}{\sqrt2\ \sqrt{10}}\ \ne\pm1\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ は一次独立である。
よって $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ は、実数p、qを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}=p\overrightarrow{\sf a}+ q\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
と一意的に表すことができる。
(※)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}=p\ |\overrightarrow{\sf a}|^2+q\ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 8=2p+2q\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=p\ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+q\ |\overrightarrow{\sf b}|^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 20=2p+10q\end{align*}}$
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{5}{2}\ ,\ q=\frac{3}{2}\end{align*}}$
が得られるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\overrightarrow{\sf c}=\frac{5}{2}\overrightarrow{\sf a}+ \frac{3}{2}\overrightarrow{\sf b}\ \ }\end{align*}}$
(2)
点Hは直線AB上の点なので、実数ｋを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=k\overrightarrow{\sf a}+ (1-k)\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
と表すことができ、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CH}=\overrightarrow{\sf OH}-\overrightarrow{\sf OC}=\left(k-\frac{5}{2}\right)\overrightarrow{\sf a}- \left(\frac{1}{2}+k\right)\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ ････①
CHとABは垂直なので、その内積を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CH}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=\bigg\{\left(k-\frac{5}{2}\right)\overrightarrow{\sf a}- \left(\frac{1}{2}+k\right)\overrightarrow{\sf b}\bigg\}\cdot\left(\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}\right)=0\end{align*}}$
これを展開し、(※)を用いて計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=-\frac{1}{2}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\overrightarrow{\sf OH}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}+ \frac{3}{2}\overrightarrow{\sf b}\ \ }\end{align*}}$
このとき、①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CH}|=|-3\overrightarrow{\sf a}|=\underline{\ 3\sqrt2\ \ }\end{align*}}$
（3）
与えられた領域
(s+ｔ－1)(s+3ｔ－3)≦0
をDとする。
これに
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{5}{2}\ ,\ t=\frac{3}{2}\end{align*}}$
を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{5}{2}+\frac{3}{2}-1\right)\left(\frac{5}{2}+3\cdot\frac{3}{2}-3\right)=12>0\end{align*}}$
となるので、点Cは領域D内に含まれない。
よって、D内を動くPに対して、CPが最小になるのは、
PがDの境界線上にあるときである。
すなわち、
(s+ｔ－1)(s+3ｔ－3)=0
となるときである。
(ⅰ) s+ｔ－1=0を満たすとき
ｔを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=s\overrightarrow{\sf a}+ (1-s)\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
となり、このとき点Pは直線AB上を動く。
CPが最小になるのは、AB⊥CPのときなので、
Pは(2)で求めたHと一致する。
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|=3\sqrt2\end{align*}}$
(ⅱ) s+3ｔ－3=0を満たすとき
sを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=(3-3t)\overrightarrow{\sf a}+ t\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|^2=\left|\left(\frac{1}{2}-3t\right)\overrightarrow{\sf a}+ \left(t-\frac{3}{2}\right)\overrightarrow{\sf b}\right|^2\end{align*}}$ ．
これを(※)を用いて整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|=\sqrt{16t^2-16+20}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{16\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+16}\end{align*}}$
となるので、CPの最小値は4となる。
(ⅰ)、(ⅱ)において、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3\sqrt2=\sqrt{18}>\sqrt{16}=4\end{align*}}$
なので、CPの最小値は4である。
例によって、各大問の最後は難しいですね。
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- 2012/02/28(火) 22:57:00|
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第3問
座標平面上において、点(x，y)から点(x+1，y)または点(x，y+1)への
移動をＮ型移動といい、点(x，y)から点(x+1，y+1)への移動をS型移動
という。ｎを3以上の整数とする。原点Ｏから出発し、2ｎ－2回のＮ型移動と
1回のS型移動を組み合わせて点(ｎ，ｎ)に到達する経路の総和をA(ｎ)とす
る。また、このような経路のうち、S型移動をｋ回目の移動として含む経路の
総数をB(ｎ，ｋ)とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) A(3)を求めよ。
(2)B(4，1)、B(4，2)をそれぞれ求めよ。
(3)B(ｎ，1)をｎを用いて表せ。
(4)一般のｋ=2，3，･･･，2ｎ－1に対して、B(ｎ，ｋ)をｎ、ｋを用いて表せ。
(5)A(ｎ)をｎを用いて表せ。
ただし、p、q、rを非負の整数とし、p≦q≦rとするとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{i=0}^p\ _P C_i\cdot _r C_{q-i}=_{p+r} C_q\end{align*}}$
が成り立つことを用いてもよい。
（3の(1)、(2)、(3)については計算の過程を記入しなくてよい）
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
以下、2つのＮ型移動のうち
点(x，y)から点(x+1，y)への移動を Ｎ1型移動
点(x，y)から点(x，y+1)への移動を Ｎ2型移動
と呼ぶことにする。
(1)
S型移動1回とＮ型移動4回の計5回の移動で、原点から点(3，3)へ
移動するためには、
S型移動を1回
Ｎ1型移動を2回
Ｎ2型移動を2回
行えばよい。
5回のうちで何番目にS型移動を行うかは5通り考えられ、
残りの4回のうちでＮ1型移動の場所は4C2通り考えられる。
よって、
A(3)=5×4C2=30
(2)
B(4，1)およびB(4，2)について、
S型移動を何回目に行おうとも、残りの6回の移動は、
Ｎ1型、Ｎ2型移動をそれぞれ3回ずつ行えばよいので、
B(4，1)=B(4，2)=6C3=20
(3)(4)
B(ｎ，ｋ)についても(2)と同様に、ｋの値すなわちS型移動を何回目に
行うかは経路の総和に影響しない。
よって、2ｎ－2回のＮ型移動は、Ｎ1型、Ｎ2型移動をそれぞれｎ－1回
ずつ行えばよいので、2ｎ－1以下の任意のｋに対して、
B(ｎ，ｋ)=2n-2Cn-1
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B\ (n,k)=\underline{\ \frac{(2n-2)!}{\{(n-1)!\}^2 }\ \ }\end{align*}}$
(5)
(3)(4)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\ (n)=(2n-1)\times\frac{(2n-2)!}{\{(n-1)!\}^2}=\underline{\ \frac{(2n-1)!}{\{(n-1)!\}^2}\ \ }\end{align*}}$
とまぁ、最後に与えられた式を使わないまま終わってしまいましたｗｗ
問題を作成した教授は、(4)で次のように解いて欲しかったんだと思います。
ｋ回目のS型移動までにｉ回(ｉ=0，1，･･･，ｋ－1)のＮ1型移動を行うとすると、
1～ｋ－1回目
Ｎ1型がｉ回
Ｎ2型がｋ－1－ｉ回
ｋ+1～2ｎ－1回目
Ｎ1型が、ｎ－1－ｉ回
Ｎ2型が、(ｎ－1)－(ｋ－1－ｉ)=ｎ－ｋ+ｉ回
となればよい。
ｉ=0，1，･･･，ｋ－1の総和を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}B\ (n,k)=\sum_{i=0}^{k-1}\ _{k-1} C_i\cdot _{2n-k-1} C_{n-1-i}}\end{align*}}$
これに与えられた式を適用して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue} B\ (n,k)=_{2n-2}C_{n-1}}\end{align*}}$
と、こんな感じの答案を想定して出題したんでしょうかね･････？
まぁ、普通に失敗作でしょｗｗ
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- 2012/02/29(水) 23:54:00|
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第4問
次の問いに答えよ。
(1) aを正の定数とするとき、関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\log\left(x+\sqrt{a+x^2}\right)\end{align*}}$
の導関数ｆ’(x)を求めよ。
(2) ｔ=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ tan$\small\sf{\theta}$ とおくことにより、定積分
$\small\sf{\begin{align*} \sf I=\int_0^1\ \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}}\end{align*}}$
を求めよ。
(3) 0≦x≦1であるすべてのxに対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^x\ \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}}\ \geqq\ k\int_0^x\ \frac{dt}{\sqrt{3+t^2}}\end{align*}}$
が成り立つための実数ｋの範囲を求めよ。
ただし、log3=1.10とする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
両辺をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{\left(x+\sqrt{a+x^2}\right)'}{x+\sqrt{a+x^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{x+\sqrt{a+x^2}}\cdot\left(1+\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{\sqrt{a+x^2}}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{x+\sqrt{a+x^2}}\cdot\frac{\sqrt{a+x^2}+x}{\sqrt{a+x^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{\sqrt{a+x^2}}\ \ }\end{align*}}$
(2)
ｔ=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ tan$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{d\theta}=\frac{\sqrt3}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3+t^2=3+3\tan^2\theta=\frac{3}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
となるので、積分区間に注意して計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I=\int_0^{\pi /6}\ \sqrt{\left(\frac{\cos^2\theta}{3}\right)^3}\cdot \frac{\sqrt3}{\cos^2\theta}\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi /6}\ \frac{\cos\theta}{3}\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3} \left[ \sin\theta \right] _0^{\pi /6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{6}\ \ }\end{align*}}$
(3)
0≦x≦1であるすべてのxに対して、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^x\ \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}}\ \geqq \ k\int_0^x\ \frac{dt}{\sqrt{3+t^2}}\end{align*}}$ ････(※)
が成り立つためには、
少なくともx=0およびx=1のときに(※)が成立する必要がある。
まず、(※)にx=0を代入すると、
左辺=右辺=0
となり、ｋの値によらず成立する。次にx=1を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\ \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}}\ \geqq \ k\int_0^1\ \frac{dt}{\sqrt{3+t^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{6}\ \geqq \ k\left[\ \log\left(x+\sqrt{a+x^2}\right)\ \right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{6}\ \geqq \ k\left(\log 3-\log\sqrt3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ k\leqq \frac{1}{3\log 3}\end{align*}}$ ････②
以下は、②の範囲で考える。
(※)の両辺の差をｇ(x)とおく。すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\int_0^x\ \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}}\ -\ k\int_0^x\ \frac{dt}{\sqrt{3+t^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^x\ \left(\frac{1}{\sqrt{(3+t^2)^3}}\ -\ \frac{k}{\sqrt{3+t^2}}\right)\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^x\ \frac{1-k(3+t^2)}{\sqrt{(3+t^2)^3}}\ dt\end{align*}}$
となり、②の範囲では、
ｇ(0)=0 かつ ｇ(1)≧0 ････③
が成り立つ。
このｇ(x)をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)=\frac{1-k(3+x^2)}{\sqrt{(3+x^2)^3}}\end{align*}}$
(ⅰ) ｋ≦0のとき
常にｇ’(x)≧0となるため、ｇ(x)は単調増加である。
よって③より、0≦x≦1で常にｇ(x)≧0となり条件を満たす。
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt k\leqq \frac{1}{3\log 3}\end{align*}}$ のとき
ｇ’(x)=0となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-k(3+x^2)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=\frac{1}{k}-3\end{align*}}$
ここで②とlog3=1.10より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{k}-3\geqq 3\log 3-3=0.3>0 \end{align*}}$
なので、0＜xの範囲では、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\sqrt{\frac{1}{k}-3}\end{align*}}$
でｇ’(x)=0となる。
この値をpとすると、pと1の大小に関わらず、0≦x≦1の範囲で
常にｇ(x)≧0となる。（下の増減表を参照してね～）
(ⅰ)、(ⅱ)より、②のもとでは常に条件を満たすことになるので、
求めるｋの範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ k\leqq \frac{1}{3\log 3}\ \ }\end{align*}}$
(3)がタイヘンでしょうね。
まぁやっていることは、普通なんですが･････
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/03/01(木) 23:51:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 中期 2010（工）
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