第1問
△ABCと点Pが
$\small\sf{4\overrightarrow{\sf AP}-6\overrightarrow{\sf BP}+\overrightarrow{\sf CP}=\overrightarrow{\sf 0}}$
を満たしているとき、次の問いに答えよ。
(1) 直線ABと直線PCの交点を$\small\sf{Q}$ とするとき、$\small\sf{\overrightarrow{\sf AQ}}$ を$\small\sf{\overrightarrow{\sf AB}}$ を用いて表せ。
(2) 三角形の面積比△PBC：△PCA：△PABを求めよ。
(3) 直線ABと直線PCが直交し、かつ直線ACと直線PBが直交するとき、cos∠BACを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4\overrightarrow{\sf AP}-6\overrightarrow{\sf BP}+\overrightarrow{\sf CP}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\left(\overrightarrow{\sf CP}-\overrightarrow{\sf CA}\right)-6\left(\overrightarrow{\sf CP}-\overrightarrow{\sf CB}\right)+\overrightarrow{\sf CP}=\overrightarrow{\sf 0} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf CP}&=\sf -4\overrightarrow{\sf CA}+6\overrightarrow{\sf CB} \\ &=\sf 2\cdot\frac{-2\overrightarrow{\sf CA}+3\overrightarrow{\sf CB}}{-2+3}\ \ \cdots\cdots\cdots(*)\end{align*}}$
点$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\end{align*}}$ は2直線AB、CPの交点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CQ}=\frac{-2\overrightarrow{\sf CA}+3\overrightarrow{\sf CB}}{-2+3}\end{align*}}$
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\end{align*}}$ は線分ABを3:2の比に外分する点なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB:AQ=1:3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\overrightarrow{\sf AQ}=3\overrightarrow{\sf AB}}\end{align*}}$
(2)
(1)より 
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle PBC=\frac{2}{3}\triangle PCA\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf CP}=2\overrightarrow{\sf CQ} \end{align*}}$
より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf CQ=PQ\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle PAB&=\sf\frac{1}{3}\triangle PAQ \\ &=\sf \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\triangle PCA\\ &=\sf\frac{1}{6}\triangle PCA \end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB=\frac{2}{3}: 1:\frac{1}{6}=\underline{4:6:1} \end{align*}}$
(3)
2直線PB、ACの交点をRとすると、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle AQC=\angle PRC=90^{\circ}\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle AQC\backsim\triangle PRC\backsim\triangle PQB\end{align*}}$ なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB=x\ ,\ \ BQ=2x\ ,\ \ PQ=CQ=y\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf AQ:QC=PQ:QB\\\ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf 3x:y=y:2x \\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf y=\sqrt6\ x\ \ \ \left(\because\ x,y\gt 0\right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AC&=\sf\sqrt{AQ^2+CQ^2} \\ &=\sf \sqrt{(3x)^2+\left(\sqrt{15}\ x\right)^2}\\ &=\sf \sqrt{15}\ x\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\angle BAC=\frac{AQ}{AC}=\frac{3x}{\sqrt{15}\ x}=\underline{\frac{\sqrt{15}}{5}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/05/27(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2019
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第2問
次の問いに答えよ。
(1) a、b、cは実数とする。
(ⅰ) 不等式$\small\sf{\begin{align*}\sf 3(a^2+b^2+c^2)\geqq (a+b+c)^2\end{align*}}$ を示せ。
(ⅱ) (ⅰ)の不等式で等号が成立するための必要十分条件を求めよ。
(2) a、bは正の実数で、$\small\sf{ab\geqq 1+a+b}$ を満たしている。
(ⅰ) 不等式$\small\sf{a+b\geqq 2\left(1+\sqrt2\right)}$ を示せ。
(ⅱ) (ⅰ)の不等式で等号が成立するための必要十分条件を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf 3(a^2+b^2+c^2)-2(a+b+c)^2\\ =&\sf 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca \\ =&\sf (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\\ =&\sf (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\\ \geqq&\sf 0\end{align*}}$
より、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3(a^2+b^2+c^2)\geqq (a+b+c)^2 \end{align*}}$
が成り立つ。
等号成立は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a-b=b-c=c-a\end{align*}}$ すなわち、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{a=b=c}\end{align*}}$ のときである。
(2)
a、bは正の実数なので、相加・相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\geq ab \end{align*}}$
これと、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf ab\geqq 1+a+b\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\geq 1+a+b&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf (a+b)^2-4(a+b)-4\geqq 0 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a+b\geqq 2(1+\sqrt2)\ \ \ \ \left(\because\ a+b\gt 0\right) \end{align*}}$
が成り立つ。
相加・相乗平均の等号が成立するのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=b\end{align*}}$ なので、不等式$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a+b\geqq 2(1+\sqrt2) \end{align*}}$
の等号が成立するのは、
$\scriptsize\sf{\underline{a=b=1+\sqrt2}}$
のときである。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/05/28(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2019
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第3問
次の問いに答えよ。
(1) 720を素因数分解せよ。
(2) 720の正の約数の個数を求めよ。
(3) 720の正の約数の総和を求めよ。
(4) 720の正の約数の組(a，b)の中で、aとbが互いに素となるものの個数を求めよ。
ただし、a＜bとする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{720=\underline{2^4\times 3^2\times 5}}$
(2)
$\scriptsize\sf{(4+1)\times (2+1)\times (1+1)=\underline{30}}$ 個
(3)
$\scriptsize\sf{(1+2+2^2+2^3+2^4)\times (1+3+3^2)\times (1+5)=\underline{2418}}$
(4)
(ⅰ)a=1のとき、bは1以外であればよいので、29個
(ⅱ)a≠1のとき
2つの自然数m=1，2，3，4、 n=1，2を考えると、720の2つの正の約数が
互いに素になるのは、2数が
・2mと3n ･･･・・4×2=8組
・2mと5 ･･･・・4組
・3nと5 ･･･・・2組
・2mと3n×5 ･･･・・4×2=8組
・2m×5と3n ･･･・・4×2=8組
・5と2m×3n ･･･・・4×2=8組
以上より、
$\scriptsize\sf{29+8+4+2+8+8+8=\underline{67}}$ 個
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/05/29(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2019
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問
関数$\small\sf{f(x)=e^x\sin x\ \ \left(0\leqq x\leqq\pi\right)}$ に対して、次の問いに答えよ。
(1) 関数$\small\sf{\begin{align*}\sf y=f(x)\end{align*}}$ の増減、極値、グラフの凹凸および変曲点を調べて、
そのグラフを描け。
(2) 関数$\small\sf{\begin{align*}\sf y=f(x)\end{align*}}$ とx軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
(3) (2)の図形をx軸の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)の第1次および第2次導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)&=\sf e^x+\sin x+e^x\cos x \\ &=\sf\sqrt2\ e^x\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f''(x) &=\sf \sqrt2\ e^x\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt2\ e^x\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) \\ &=\sf 2e^x\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\\ &=\sf 2e^x\cos x\end{align*}}$
となるので、f(x)の増減、凹凸は次のようになる。
[極値]
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{3}{4}\pi\end{align*}}$ のとき極大値$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\frac{\sqrt2}{2}e^{\frac{3}{4}\pi}}\end{align*}}$
極小値なし
[グラフの凹凸]
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲で下に凸
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{2}\leqq x\leqq\pi\end{align*}}$ の範囲で上に凸
[変曲点]
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\left(\frac{\pi}{2}\ ,\ e^{\frac{\pi}{2}}\right)}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{0\leqq x\leqq \pi}$ の範囲で常に$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)\geqq 0\end{align*}}$ なので、求める面積をSとおくと、
部分積分法より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_0^{\pi}e^x\sin xdx \\ &=\sf \bigg[e^x\sin x\bigg]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}e^x\cos xdx\\ &=\sf 0-\bigg[e^x\cos x\bigg]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}e^x(-\sin x)dx\\ &=\sf e^{\pi}+1-S\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ S=\underline{\frac{1}{2}\left(e^{\pi}+1\right)}\end{align*}}$
(3)
求める回転体の体積をVとおくと、半角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf\pi\int_0^{\pi}\left(e^x\sin x\right)^2dx \\ &=\sf\pi\int_0^{\pi}e^{2x}\sin^2 xdx \\ &=\sf\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}\left(e^{2x}-e^{2x}\cos2x\right)dx \end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T=\int_0^{\pi}e^{2x}\cos2xdx \end{align*}}$
とおくと、部分積分法より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T&=\sf\left[\frac{1}{2}e^{2x}\cos 2x\right]_0^{\pi}-\frac{1}{2}\int_0^{\pi}2^{2x}\cdot\left(-2\sin 2x\right)dx \\ &=\sf\frac{1}{2}\left(e^{2\pi}-1\right)+\int_0^{\pi}e^{2x}\sin 2xdx \\ &=\sf\frac{1}{2}\left(e^{2\pi}-1\right)+\left[\frac{1}{2}e^{2x}\sin 2x\right]_0^{\pi}-\frac{1}{2}\int_0^{\pi}2^{2x}\cdot\left(2\cos2x\right)dx \\ &=\sf\frac{1}{2}\left(e^{2\pi}-1\right)-T\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ T=\frac{1}{4}\left(e^{2\pi}-1\right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf\frac{\pi}{2}\left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_0^{\pi}-\frac{\pi}{2}\cdot T \\ &=\sf \underline{\frac{\pi}{8}\left(e^{2\pi}-1\right)}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/05/30(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2019
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
