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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019大阪府立大 文系数学1



第1問

  nを自然数とする。2つの数列{an}と{Sn}を次のように定める。$\small\sf{a_1=1}$ とし、
  xが$\small\sf{0\lt x\lt a_n}$ の範囲を動くとき、座標平面上の4点$\small\sf{(a_n,\ 0)\ ,\ (x,\ 0)\ ,\ (x,\ x^2)\ ,\ (a_n,\ x^2)}$
  を頂点とする長方形の
  面積が最大となるxの値を$\small\sf{a_{n+1}}$ とし、そのときの長方形の面積をSnとする。このとき、
  以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{a_{n+1}\ ,\ S_n}$ をそれぞれ$\small\sf{a_n}$ の式で表せ。

 (2) $\small\sf{a_n\ ,\ S_n}$ をそれぞれnの式で表せ。

 (3) $\small\sf{S_1+S_2+\cdots +S_n}$ をnの式で表せ。

 (4) $\small\sf{S_1+S_2+\cdots +S_n\gt 0.2105}$ となる最小のnの値を求めよ。ただし、
    $\small\sf{\log_{10}2=0.3010\ ,\ \log_{10}3=0.4771}$ とする。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2019/05/19(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2019(文系)
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2019大阪府立大 文系数学2



第2問

  四面体OABCにおいて、辺OAの中点をD、辺ACの中点をEとし、線分OEと線分CDの
  交点をFとする。三角形OBC上の点Pに対して、線分APと三角形OBEとの交点をQとする。
  $\small\sf{\overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf OE}=\overrightarrow{\sf e}}$ とおくとき、以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ および$\small\sf{\overrightarrow{\sf OF}}$ を$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf e}}$ の式で表せ。

 (2) 点Pが三角形OBCの重心であるとき、AP:AQを答えよ。

 (3) 点PがAP:AQ=3:2を満たしながら三角形OBCの内部(境界を含む)を動く。
    $\small\sf{\overrightarrow{\sf OQ}=x\overrightarrow{\sf b}+y\overrightarrow{\sf e}}$ とおくとき、点(x,y)が動く範囲を座標平面上に図示せよ。
 
         2019府大01





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  1. 2019/05/20(月) 23:57:00|
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2019大阪府立大 文系数学3



第3問

  以下の問いに答えよ。

 (1) 自然数nで、$\small\sf{\begin{align*}\sf n^2-1\end{align*}}$ が素数になるものをすべて求めよ。

 (2) 0≦n≦mを満たす整数m,nの組(m,n)で、$\small\sf{3m^2+mn-2n^2}$ が素数になるものを
    すべて求めよ。

 (3) 0以上の整数m,nの組(m,n)で、$\small\sf{m^4-3m^2n^2-4n^4-6m^2-16n^2-16}$ が素数に
    なるものをすべて求めよ。





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  1. 2019/05/21(火) 23:57:00|
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2019大阪府立大 文系数学4



第4問

  aを正に実数の定数とし、曲線$\small\sf{y=x^3-3a^2x}$ をCとする。正の実数tに対し、曲線C上の
  点$\small\sf{P(t\ ,\ t^3-3a^2t)}$ における接線をLとし、CとLの共有点でP以外の点を$\small\sf{Q}$ とするとき、
  以下の問いに答えよ。

 (1) 点$\small\sf{Q}$ の座標を求めよ。

 (2) 曲線Cと接線Lによって囲まれた部分の面積を求めよ。

 (3) 条件「点$\small\sf{Q}$ における曲線Cの接線がLに垂直である」を満たす正の実数tがただ1つ
    存在するとき、正の実数aの値を求めよ。また、そのときの正の実数tの値を求めよ。




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  1. 2019/05/22(水) 23:57:00|
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