第1問
nを自然数とする。2つの数列$\small\sf{\{a_n\}}$ と$\small\sf{\{S_n\}}$ を次のように定める。$\small\sf{a_1=1}$ とし、
xが$\small\sf{0\lt x\lt a_n}$ の範囲を動くとき、座標平面上の4点$\small\sf{(a_n,\ 0)\ ,\ (x,\ 0)\ ,\ (x,\ x^2)\ ,\ (a_n,\ x^2)}$
を頂点とする長方形の
面積が最大となるxの値を$\small\sf{a_{n+1}}$ とし、そのときの長方形の面積をSnとする。このとき、
以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{a_{n+1}\ ,\ S_n}$ をそれぞれ$\small\sf{a_n}$ の式で表せ。
(2) $\small\sf{a_n\ ,\ S_n}$ をそれぞれnの式で表せ。
(3) $\small\sf{S_1+S_2+\cdots +S_n}$ をnの式で表せ。
(4) $\small\sf{S_1+S_2+\cdots +S_n\gt 0.2105}$ となる最小のnの値を求めよ。ただし、
$\small\sf{\log_{10}2=0.3010\ ,\ \log_{10}3=0.4771}$ とする。
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【解答】
(1)
4点$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (a_n,\ 0)\ ,\ (x,\ 0)\ ,\ (x,\ x^2)\ ,\ (a_n,\ x^2)\end{align*}}$ を頂点とする長方形の面積を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T_n(x)\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt x\lt a_n\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T_n(x)=(a_n-x)x^2=-x^3+a_nx^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T_n'(x)=-3x^3+2a_nx=x(-3x+2a_n)\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt x\lt\frac{2}{3}a_n\end{align*}}$ の範囲で $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T_n'(x)\gt 0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{2}{3}a_n\end{align*}}$ で $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T_n'(x)=0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{3}a_n\lt x\lt a_n\end{align*}}$ の範囲で $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T_n'(x)\lt 0 \end{align*}}$
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T_n(x)\end{align*}}$ は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{2}{3}a_n \end{align*}}$ のときに最大となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{a_{n+1}=\frac{2}{3}a_n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n&=\sf T_n\left(\frac{2}{3}a_n\right)\\ &=\sf -\left(\frac{2}{3}a_n\right)^3+a_n\left(\frac{2}{3}a_n\right)^2\\ &=\sf\underline{\frac{4}{27}a_n^3} \end{align*}}$
(2)
(1)より数列$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\{a_n\}\end{align*}}$ は公比$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{3} \end{align*}}$ の等比数列をなすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}a_1=\underline{\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=\frac{4}{27}\left\{\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\right\}^3=\underline{\frac{4}{27}\left(\frac{8}{27}\right)^{n-1}}\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_1+S_2+\cdots +S_n&=\sf \frac{\frac{4}{27}\left\{1-\left(\frac{8}{27}\right)^n\right\}}{1-\frac{4}{27}} \\ &=\sf \underline{\frac{4}{19}\left\{1-\left(\frac{8}{27}\right)^n\right\}} \end{align*}}$
(4)
(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_1+S_2+\cdots +S_n=\frac{4}{19}\left\{1-\left(\frac{8}{27}\right)^n\right\}\gt 0.2105\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{8}{27}\right)^n\lt\frac{1}{8000}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{2}{3}\right)^n\lt\frac{1}{20}\end{align*}}$
両辺の常用対数をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log_{10}\left(\frac{2}{3}\right)^n\lt\log_{10}\frac{1}{20}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\log_{10}2-\log_{10}3\right)n\lt -\log_{10}2-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0.1761n\gt 1.3010\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n\gt 7.38\cdots\end{align*}}$
これを満たす最小の自然数は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{n=8}\end{align*}}$ である。
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- 2019/05/19(日) 23:57:00|
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第3問
以下の問いに答えよ。
(1) 自然数nで、$\small\sf{\begin{align*}\sf n^2-1\end{align*}}$ が素数になるものをすべて求めよ。
(2) 0≦n≦mを満たす整数m，nの組(m，n)で、$\small\sf{3m^2+mn-2n^2}$ が素数になるものを
すべて求めよ。
(3) 0以上の整数m，nの組(m，n)で、$\small\sf{m^4-3m^2n^2-4n^4-6m^2-16n^2-16}$ が素数に
なるものをすべて求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A=n^2-1=(n-1)(n+1) \end{align*}}$
が素数であるとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n+1\lt 1 \end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n-1=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{n=2} \end{align*}}$
このとき確かに
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A=2^2-1=3 \end{align*}}$
は素数となる。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf B&=\sf 3m^2+mn-2n^2 \\ &=\sf (3m-2n)(m+n) \end{align*}}$
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m+n=1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq n\leqq m\end{align*}}$ より、$\scriptsize\sf{(m,\ n)=(1,\ 0)}$
このとき、$\scriptsize\sf{B=3}$ となりこれは素数である。
・$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3m-2n=1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq n\leqq m\end{align*}}$ より、
$\scriptsize\sf{1=3m-2n\geqq 3n-2n=n\geqq 0}$
・$\scriptsize\sf{n=1}$ のときは、$\scriptsize\sf{m=1}$ となり、$\scriptsize\sf{B=2}$ は素数
・$\scriptsize\sf{n=0}$ のときは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m=\frac{1}{3}\end{align*}}$ となり不適
以上より、Bが素数となるのは
$\scriptsize\sf{\underline{(m,\ n)=(1,\ 0)\ ,\ \ (1,\ 1)}}$
のときである。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C&=\sf m^4+-3m^2n^2-4n^4-6m^2-16n^2-16 \\ &=\sf m^4-3(n^2+2)-4(n^2+2)^2\\ &=\sf (m^2+n^2+2)(m^2-4n^2-8)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m^2+n^2+2\geqq 2\end{align*}}$ より、
$\scriptsize\sf{m^2-4n^2-8=1\ \ \Leftrightarrow\ \ (m-2n)(m+2n)=9}$
$\scriptsize\sf{m-2n\leqq m+2n}$ かつ$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m+2n\geqq 0\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (m-2n\ ,\ m+2n)=(1,\ 9)\ ,\ (3,\ 3)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ (m\ ,\ n)=(5,\ 2)\ ,\ (3,\ 0)}$
$\scriptsize\sf{(m, n)=(5,\ 2)}$ のときは、$\scriptsize\sf{C=31}$
$\scriptsize\sf{(m, n)=(3,\ 3)}$ のときは、$\scriptsize\sf{C=11}$
となり、ともに素数なので、
$\scriptsize\sf{\underline{(m,\ n)=(5,\ 2)\ ,\ \ (3,\ 3)}}$
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- 2019/05/21(火) 23:57:00|
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第4問
aを正に実数の定数とし、曲線$\small\sf{y=x^3-3a^2x}$ をCとする。正の実数tに対し、曲線C上の
点$\small\sf{P(t\ ,\ t^3-3a^2t)}$ における接線をLとし、CとLの共有点でP以外の点を$\small\sf{Q}$ とするとき、
以下の問いに答えよ。
(1) 点$\small\sf{Q}$ の座標を求めよ。
(2) 曲線Cと接線Lによって囲まれた部分の面積を求めよ。
(3) 条件「点$\small\sf{Q}$ における曲線Cの接線がLに垂直である」を満たす正の実数tがただ1つ
存在するとき、正の実数aの値を求めよ。また、そのときの正の実数tの値を求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=x^3-3a^2+x\end{align*}}$
とおくと、導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=3x^2-3a^2 \end{align*}}$
となるので、接線Lの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L:y=(t^3-3a^2t)=(3t^2-3a^2)(x-t)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=(3t^2-3a^2)x-2t^3\end{align*}}$
CとLの共有点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf x^3-3a^2+x=(3t^2-3a^2)x-2t^3\\ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf x^3-3t^2x+2t^3=0\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf (x-t)^2(2x+2t)=0\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf x=t\ ,\ \ -2t\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{Q(-2t\ ,\ -8t^3+6a^2t)}\end{align*}}$
(2)
CとLの位置関係は図のようになるので、求める面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf\int_{-2t}^t\left[x^3-3a^2x-\left\{(3t^2-3a^2)x-2t^3\right\}\right]dx \\ &=\sf\int_{-2t}^t(x-t)^2(x+2t)dx\\ &=\sf\int_{-2t}^t(x-t)^2\left\{(x-t)+3t\right\}dt\\ &=\sf\int_{-2t}^t\left\{(x-t)^3+3t(x-t)^2\right\}dt\\ &=\sf\left[\frac{1}{4}(x-t)^4+t(x-t)^3\right]_{-2t}^t \\ &=\sf \underline{\frac{27}{4}t^4}\end{align*}}$
(3)
Pにおける接線⊥$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\end{align*}}$ における接線 なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf f'(t)\cdot f'(-2t)=-1\\\ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf (3t^2-3a^2)(12t^2-3a^2)=-1 \\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf 36t^4-45a^2t^2+9a^4+1=0\ \ \ \cdots\cdots\cdots (*)\end{align*}}$
ここで関数$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)&=\sf 36x^2-45a^2x+9a^2+1\\ &=\sf 36\left(x-\frac{5}{8}a^2\right)^2-\frac{81}{16}a^4+1\end{align*}}$
とおくと、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)\end{align*}}$ の実数解のうちでt＞0を満たすものがただ1つになるためには、
方程式$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)=0\end{align*}}$ の実数解のうちでx＞0を満たすものがただ1つであればよい。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{5}{8}a^2\gt 0\ ,\ \ \ g(0)=9a^4+1\gt 0\end{align*}}$
より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)=0\end{align*}}$ がx＞0の範囲で重解をもてばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{81}{16}a^4+1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{a=\frac{2}{3}\ (\gt 0)}\end{align*}}$
このとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 36t^4-20t^2+\frac{25}{9}=0 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(6t^2-\frac{5}{3}\right)^2=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf t^2=\frac{5}{18}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{t=\frac{\sqrt{10}}{6}\ (\gt 0)}\end{align*}}$
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- 2019/05/22(水) 23:57:00|
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