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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019大阪府立大 理系数学1



第1問

  nを自然数とする。2つの数列{an}と{Sn}を次のように定める。$\small\sf{a_1=1}$ とし、
  xが$\small\sf{0\lt x\lt a_n}$ の範囲を動くとき、座標平面上の4点$\small\sf{(a_n,\ 0)\ ,\ (x,\ 0)\ ,\ (x,\ x^2)\ ,\ (a_n,\ x^2)}$
  を頂点とする長方形の
  面積が最大となるxの値を$\small\sf{a_{n+1}}$ とし、そのときの長方形の面積をSnとする。このとき、
  以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{a_{n+1}\ ,\ S_n}$ をそれぞれ$\small\sf{a_n}$ の式で表せ。

 (2) $\small\sf{a_n\ ,\ S_n}$ をそれぞれnの式で表せ。

 (3) $\small\sf{S_1+S_2+\cdots +S_n}$ をnの式で表せ。

 (4) $\small\sf{S_1+S_2+\cdots +S_n\gt 0.2105}$ となる最小のnの値を求めよ。ただし、
    $\small\sf{\log_{10}2=0.3010\ ,\ \log_{10}3=0.4771}$ とする。



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  1. 2019/05/23(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2019(理系)
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2019大阪府立大 理系数学2



第2問

  四面体OABCにおいて、辺OAの中点をD、辺ACの中点をEとし、線分OEと線分CDの
  交点をFとする。三角形OBC上の点Pに対して、線分APと三角形OBEとの交点をQとする。
  $\small\sf{\overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf OE}=\overrightarrow{\sf e}}$ とおくとき、以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ および$\small\sf{\overrightarrow{\sf OF}}$ を$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf e}}$ の式で表せ。

 (2) 点Pが三角形OBCの重心であるとき、AP:AQを答えよ。

 (3) 点PがAP:AQ=3:2を満たしながら三角形OBCの内部(境界を含む)を動く。
    $\small\sf{\overrightarrow{\sf OQ}=x\overrightarrow{\sf b}+y\overrightarrow{\sf e}}$ とおくとき、点(x,y)が動く範囲を座標平面上に図示せよ。
 
         2019府大01





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  1. 2019/05/24(金) 23:57:00|
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2019大阪府立大 理系数学3



第3問

  aを実数の定数とし、直線$\small\sf{L:\ y=x}$ と曲線$\small\sf{C:\ y=x^2+a}$ は、ある点で接しているとする。
  このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) aの値と、直線Lと曲線Cの接点の座標を求めよ。

 (2) 原点をOとする。x座標がtである曲線C上の点をPとし、Pから直線Lに下した垂線を
    PHとする。線分PHの長さと線分OHの長さをそれぞれtの式で表せ。

 (3) 直線Lと曲線Cおよび直線$\small\sf{\begin{align*}\sf y=-x\end{align*}}$ で囲まれた図形を直線Lのまわりに1回転して
    できる立体の体積を求めよ。





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  1. 2019/05/25(土) 23:57:00|
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2019大阪府立大 理系数学4



第4問

  座標平面上の点(1,0)を中心として半径1の円をCとする。実数tは0≦t≦$\small\sf{\pi}$ の範囲
  を動くとし、C上の点$\small\sf{P(\cos t+1\ ,\ \sin t)}$ における接線をLとする。Lに垂直で原点を通る
  直線をmとし、Lとmの交点をHとするとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 点Hの座標を求めよ。

 (2) 0<t<$\small\sf{\pi}$ のとき、原点、H、Pを頂点とする三角形の面積をS(t)とし、t=0または
    t=$\small\sf{\pi}$ のとき、S(t)=0とする。tの関数S(t)の最大値を求めよ。

 (3) S(t)が最大値をとるtの値をt0とする、tが0からt0まで動いたときに点Hが通過する
    道のりを求めよ。ここで、「点Hが通過する道のり」とは、tが0からt0まで動くときに点H
    が描く曲線の長さのことである。





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  1. 2019/05/26(日) 23:57:00|
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