第1問
実数a、bに対し、xについての2次方程式x2－2ax+b=0は、
0≦x≦1の範囲に少なくとも一つ実数解をもつとする。このとき、
a、bがみたす条件を求め、点(a，b)の存在範囲を図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
x2－2ax+b=0 ････(※)
(※)の左辺をｆ(x)とおくと、
ｆ(x)=(x－a)2+b－a2
(ⅰ) 0＜x＜1の範囲に2つの実数解(重解も含む)をもつ場合
・(※)の判別式
D/4=a2－b≧0 ⇔ b≦a2
・y=ｆ(x)の軸
0≦a≦1
・ｆ(0)=b≧0
・ｆ(1)=1－2a+b≧0 ⇔ b≧2a－1
これらを同時に満たす点(a，b)の領域を図示したものが図の赤色部分。
(ⅱ) 0＜x＜1にただ1つの実数解をもつ、または、x=0、1を解にもつ場合
・ｆ(0)･ｆ(1)=b(1－2a+b)≦0
これを満たす点(a，b)の領域を図示したものが図の青色部分。
以上より、求める領域は、右図の赤色の部分及び青色の部分である。
（境界上の点も含む）
(ⅱ)がかなり雑ですが大丈夫でしょうか？？？
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- 2012/02/24(金) 23:30:00|
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第2問
自然数ｎに対して、an=22+1とする。
(1) すべての自然数ｍに対して、a3m+1－a1は7で割り切れることを証明せよ。
(2) anを7で割った余りを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
a1=21+1=3
(1) a3m+1－a1 が7で割り切れることを数学的帰納法で示す。
(ⅰ)ｍ=1のとき
a4－a1=(24+1)－3=14
となるのでOK
(ⅱ)ｍ=ｋのとき、成立すると仮定すると、
a3k+1－a1=7Ｍ （Ｍは自然数）
と表せる。すなわち、
23k+1+1－3=7Ｍ
⇔ 23k+1=7Ｍ+2 ････①
ｍ=ｋ+1のとき
a3(k+1)+1－a1
=(23k+4+1)－3
=23･23k+1－2
=8(7Ｍ+2)－2 ←①より
=7(8Ｍ+2)
となるので、ｍ=ｋ+1のときも条件を満たす。
以上より、すべての自然数ｍに対して、
a3m+1－a1は7で割り切れる。
(2)
(1)より、すべてのｍに対して
a3m+1－a1=a3m+1－3
が7で割り切れるので、a3m+1を7で割った余りは3である。
よって、自然数Ｎを用いて
a3m+1=7Ｎ+3
すなわち、
23m+1+1=7Ｎ+3 ⇔ 23m+1=7Ｎ+2 ････②
と表すことができる。
(ア)ｎ=3ｍ+2のとき
a3m+2=23m+2+1
=2･23m+1+1
=2(7Ｎ+2)+1 ←②より
=14Ｎ+5
よって、a3m+2を7で割ると5あまる
(イ)ｎ=3ｍ+3のとき
a3m+3=23m+3+1
=22･23m+1+1
=4(7Ｎ+2)+1 ←②より
=7(4Ｎ+1)+2
よって、a3m+3を7で割ると2あまる
以上より、anを7で割った余りは、
ｎ=3ｍ+1のとき 3
ｎ=3ｍ+2のとき 5
ｎ=3ｍ のとき 2
(1)は、
a3m+1－a1=23m+1－2
=2･8m－2
=2(7+1)m－2
として、これを二項展開するとカッコイイんでしょうけど、
まぁ普通に帰納法でOKです。
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- 2012/02/24(金) 23:51:00|
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第3問
a≧0とする。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf S\ (a)=\int_0^1\ |\ x^2-2(a+1)x+a^2+2a\ |\ dx\end{align*}}$ を求めよ。
(2) S(a)が最小となるaの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
xについての関数
ｆ(x)=x2－2(a+1)x+a2+2a
とおくと、
ｆ(x)=(x－a){x－(a+2)}
と変形できるので、
a≦x≦a+2の範囲で、
|ｆ(x)|=－ｆ(x)
x＜a、a+2＜xの範囲で、
|ｆ(x)|=ｆ(x)
となる。
(ⅰ)1＜aのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (a)=\int_0^1\ f\ (x)\ dx\ \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{3}x^3-(a+1)x^2+(a^2+2a)a\right]_0^1\end{align*}}$
これを計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (a)=a^2+a-\frac{2}{3}\end{align*}}$
(ⅱ)0≦a≦1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (a)=\int_0^a\ f\ (x)\ dx\ +\ \int_a^1\left(-f(x)\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{3}x^3-(a+1)x^2+(a^2+2a)a\right]_0^a\ -\ \left[\frac{1}{3}x^3-(a+1)x^2+(a^2+2a)a\right]_a^1\end{align*}}$
これを計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (a)=\frac{2}{3}a^3+a^2-a+\frac{2}{3}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (a)=\underline{\ \left\{ \begin{array}{ll}\sf \frac{2}{3}a^3+a^2-a+\frac{2}{3} & (\sf 0\leqq a\leqq 1) \\ \\ \sf a^2+a-\frac{2}{3} & (\sf 1\lt a) \\\end{array} \right.\ \ }\end{align*}}$
(2)
(ⅰ) 1＜aのとき、
S'(a)=2a+1
となり、常にS’(a)＞0
(ⅱ) 0≦a≦1のとき
S'(a)=2a2+2a－1
となり、S'(a)=0となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{-1\pm\sqrt3}{2}\end{align*}}$
のときである。
以上より、0≦aの範囲で増減表を書くと下の通り。
よって、S(a)が最小になるときのaの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\underline{\ \frac{-1+\sqrt3}{2}\ \ }\end{align*}}$
まぁよくある問題ですよね。
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- 2012/02/24(金) 23:54:00|
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これは旧課程の問題です。
第4問
複素数平面において、点P(z)を原点Ｏのまわりに$\small\sf{\theta}$ （0°＜$\small\sf{\theta}$ ＜180°）
だけ回転し、さらに点E(1)の周りに$\small\sf{\theta}$ だけ回転した点をQ(ｗ)とする。
このとき、点Q(ｗ)は点P(z)をある点A(a)のまわりに2$\small\sf{\theta}$ だけ回転した
点と一致する。ただし、回転はすべて反時計回りとする。
複素数$\small\sf{\gamma}$ を
$\small\sf{\gamma}$ =cos$\small\sf{\theta}$ +ｉsin$\small\sf{\theta}$
とする。
(1) 複素数ｗをzと$\small\sf{\gamma}$ を用いて表せ。
(2) 複素数$\small\sf{\alpha}$ を$\small\sf{\gamma}$ を用いて表せ。
(3) 三角形ＯEAが正三角形となるような$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
点P(z)を原点Ｏのまわりに$\scriptsize\sf{\theta}$ だけ回転した点をP'(z')とおくと、
∠PＯP’=$\scriptsize\sf{\theta}$ 、 PＯ=P’Ｏ なので、
z’=z$\scriptsize\sf{\gamma}$
点Q(ｗ)は、この点P’を点E(1)を中心に$\scriptsize\sf{\theta}$ だけ回転した点なので、
ｗ－1=(Z’－1)$\scriptsize\sf{\gamma}$
=(z$\scriptsize\sf{\gamma}$ －1)$\scriptsize\sf{\gamma}$
⇔ ｗ=z$\scriptsize\sf{\gamma}$ 2－$\scriptsize\sf{\gamma}$ +1
(2)
点Q(ｗ)はP(z)をA(a)のまわりに2$\scriptsize\sf{\theta}$ だけ回転した点と一致するので、
∠PＯQ=2$\scriptsize\sf{\theta}$ 、 ＯP=ＯQ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \frac{w-a}{z-a}=\gamma ^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ (\gamma ^2-1)a=\gamma -1\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\gamma}$ ≠+1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{1}{\gamma +1}\end{align*}}$
(3)
△ＯEAが正三角形なので、
∠EＯA=60° 、 ＯE=ＯA
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \frac{a-0}{1-0}=\cos 60^{\circ}\pm i\sin 60^{\circ}\end{align*}}$
これに(2)を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\gamma +1}=\frac{1\pm\sqrt3}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \gamma =\cos\theta+i\sin\theta=\frac{-1\mp\sqrt3}{2}\end{align*}}$
0°＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜180°より、
$\scriptsize\sf{\theta}$ =120°
雑ですが、まぁこんな感じです。
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- 2012/02/24(金) 23:57:00|
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