第1問
原点Oとは異なる2点$\small\sf{P(a ,\ b)\ ,\ Q(c,\ d)}$ が与えられていて、$\small\sf{\begin{align*}\sf\overrightarrow{\sf OQ}=k\overrightarrow{\sf OP}\ \ \ \left(k\gt 0\right)\end{align*}}$ とする。
また、$\small\sf{OP\cdot OQ=4}$ とする。次の問いに答えよ。
(1) kをc、dを用いて表せ。
(2) 点Pが直線$\small\sf{2x+y-6=0}$ 上を動くとき、点$\small\sf{Q}$ はある円C上を動く。
円Cの方程式を求めよ。
(3) (2)において、点Pが直線$\small\sf{2x+y-6=0}$ 上を$\small\sf{(0,\ 6)}$ から$\small\sf{(3,\ 0)}$ まで動くとき、
円C上で点$\small\sf{Q}$ の動く範囲を図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k\ne 0\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OQ}=k\overrightarrow{\sf OP}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(c\ ,\ d\right)=k\left(a\ ,\ b\right) \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a=\frac{c}{k}\ ,\ \ b=\frac{d}{k}\ \ \ \ \cdots\cdots\cdots\cdots(*)\sf \end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}&=\sf ac+bd \\ &=\sf \frac{c^2}{k}+\frac{d^2}{k}=4 \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{k=\frac{4}{c^2+d^2}}\end{align*}}$
(2)
Pが$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2x+y-6=0\end{align*}}$ 上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf 2a+b-6=0\\\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf \frac{2c}{k}+\frac{d}{k}-6=0\ \ \ \left(\because\ (*)\right)\\ \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf k=\frac{2c+d}{6}\end{align*}}$
これと(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf &\sf \frac{4}{c^2+d^2}=\frac{2c+d}{6} \\ \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf c^2-\frac{4}{3}c+d^2-\frac{2}{3}d=0\\ \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf \left(c-\frac{2}{3}\right)^2+\left(d-\frac{1}{3}\right)^2=\frac{5}{9}\end{align*}}$
よって、点$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q \end{align*}}$ は、
円$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\underline{ \left(x-\frac{2}{3}\right)^2+\left(y-\frac{1}{3}\right)^2=\frac{5}{9}}\end{align*}}$
上を動く。
(3)
点Pが直線$\scriptsize\sf{2x+y-6=0}$ 上を$\scriptsize\sf{(0,\ 6)}$ から$\scriptsize\sf{(3,\ 0)}$ まで動くので、
$\scriptsize\sf{a\geqq 0\ ,\ \ b\geqq 0}$
これと$\scriptsize\sf{k\gt 0}$ より、$\scriptsize\sf{c\geqq 0\ ,\ \ d\geqq 0}$
よって、点$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q \end{align*}}$ は、(2)の円の$\scriptsize\sf{x\geqq 0\ ,\ \ y\geqq 0}$ の部分を動くので、
これを図示すると、下図のようになる。
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第2問
放物線$\small\sf{\begin{align*}\sf C:\ y=x^2\end{align*}}$ 上に2点$\small\sf{\begin{align*}\sf A(a,\ a^2)\ ,\ B(b,\ b^2)\ \ \ (-b\lt a\lt 0\lt b)\end{align*}}$ をとる。点A、Bに
おける放物線Cの接線をそれぞれL、mとしLとmの交点をPとする。また、直線ABと
x軸のなす角を$\small\sf{\begin{align*}\sf \alpha\end{align*}}$ 、接線mとx軸のなす角を$\small\sf{\begin{align*}\sf\beta \end{align*}}$ とする。
ただし、$\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}\ ,\ \ 0\lt\beta\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とする。次の問いに答えよ。
(1) 直線ABと接線mの方程式をa、bを用いて表せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \beta=\alpha+\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ のとき、aをbを用いて表せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*}\sf \beta=\alpha+\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ かつ$\small\sf{\begin{align*}\sf\angle BAP=\frac{\pi}{2} \end{align*}}$ のとき、a，bの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
直線AB
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y-a^2=\frac{b^2-a^2}{b-a}(x-a)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{y=(a+b)x-ab} \end{align*}}$
接線mについては、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(x^2\right)'=2x\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y-b^2=2b(x-b)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{y=2bx-b^2}\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tan\alpha=a+b\ ,\ \ \tan\beta=2b\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf \tan\beta=\tan\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tan\alpha+\tan\frac{\pi}{4}}{1-\tan\alpha\tan\frac{\pi}{4}}\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf 2b=\frac{a+b+1}{1-(a+b)} \\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf 2b-2ab-2b^2=a+b+1\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf \underline{a=\frac{-2b^2+b-1}{2b+1}}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(x^2\right)'=2x\end{align*}}$ より、接線Lの傾きは$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2a\end{align*}}$ であり、L⊥ABなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf 2a(a+b)=-1\\\ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf \frac{2(-2b^2+b-1)}{2b+1}\left(\frac{-2b^2+b-1}{2b+1}+b\right)=-1 \\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf 2(-2b^2+b-1)(2b-1)=-(2b+1)^2\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf 8b^3-12b^2+2b-3=0\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf (2b-3)(4b^2+1)=0\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf \underline{b=\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=\frac{-\frac{9}{2}+\frac{3}{2}-1}{3+1}=\underline{-1}\end{align*}}$
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第3問
kは実数とする。Oを原点とする座標空間内に3点
$\small\sf{\begin{align*}\sf A(1,\ 1,\ -1)\ ,\ \ B(4k,\ -2k+2,\ -k+1)\ ,\ \ C(4k+4,\ -2k,\ -k)\end{align*}}$
をとり、四面体OABCを考える。次の問いに答えよ。
(1) 大きさが1のベクトル$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$ で、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ の両方に垂直であるものをすべて求めよ。
(2) $\small\sf{0\lt s\lt 1\ ,\ \ 0\lt t\lt 1}$ とし、辺OAを$\small\sf{s:(1-s)}$ に内分する点をP、辺BCを$\small\sf{t:(1-t)}$ に
内分する点を$\small\sf{Q}$ とする。$\small\sf{\overrightarrow{\sf PQ}}$ をk、s、tを用いて表せ。
(3) Pと$\small\sf{Q}$ は(2)の内分点とする。$\small\sf{\overrightarrow{\sf PQ}}$ が$\small\sf{\overrightarrow{\sf OA}}$ と$\small\sf{\overrightarrow{\sf BC}}$ の両方に垂直であるとき、Pと$\small\sf{Q}$ の
座標を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OA}=(1,\ 1,\ -1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf BC}=(4k+4,\ -2k,\ -k)-(4k,\ -2k+2,\ -k+1)=(4,\ -2,\ -1)\end{align*}}$
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf n}=(x,\ y,\ z)\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf n}\right|^2=x^2+y^2+z^2=1\ \ \ \cdots\cdots\cdots (i)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf n}\bot\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf n}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=x+y-z=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf n}\bot\overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf n}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=4x-2y-z=0\end{align*}}$
これら2式を連立させてy、zについて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=x\ ,\ \ z=2x \end{align*}}$
(ⅰ)に代入すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2+x^2+(2x)^2=1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm\frac{1}{\sqrt6}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\overrightarrow{\sf n}=\pm\frac{1}{\sqrt6}\left(1,\ 1,\ 2\right)}\end{align*}}$
(2)
Pは辺OAを$\small\sf{s:(1-s)}$ に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\overrightarrow{\sf OP}=s\overrightarrow{\sf OA}=(s,\ s,\ -s)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\end{align*}}$は辺BCを$\small\sf{t:(1-t)}$ に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OQ}&=\sf (1-t)\overrightarrow{\sf OB}+t\overrightarrow{\sf OC} \\ &=\sf (1-t)(4k,\ -2k+2,\ -k+1)+t(4k+4,\ -2k,\ -k)\\ &=\sf (4t+4k,\ -2t-2k+2,\ -t-k+1)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PQ}&=\sf \overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OP} \\ &=\sf(4t+4k,\ -2t-2k+2,\ -t-k+1) -(s,\ s,\ -s)\\ &=\sf \underline{(-s+4t+4k,\ -s-2t-2k+2,\ s-t-k+1)}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PQ}//\overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$ より、実数uを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PQ}=u\overrightarrow{\sf n}\ \ \Leftrightarrow\ \ (-s+4t+4k,\ -s-2t-2k+2,\ s-t-k+1)=u(1,\ 1,\ 2)\end{align*}}$
と表すことができる。
成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -s+4t+4k=-s-2t-2k+2=\frac{s-t-k+1}{2}\ (=u) \end{align*}}$
となり、これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s=\frac{2}{3}\ ,\ \ t=-k+\frac{1}{3} \end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{P\left(\frac{2}{3}\ ,\ \frac{2}{3}\ ,\ -\frac{2}{3}\right)\ ,\ \ Q\left(\frac{4}{3}\ ,\ \frac{4}{3}\ ,\ \frac{2}{3}\right)}\end{align*}}$
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第4問
aは実数とする。$\small\sf{y=x^3-2x^2+x}$ が定める曲線Cと$\small\sf{y=ax}$ が定める直線Lを考える。
次の問いに答えよ。
(1) 曲線Cと直線Lが異なる3点で交わるためのaの条件を求めよ。
(2) 曲線Cと直線Lが異なる3点で交わるとき、それらのx座標を$\small\sf{0,\ \alpha,\ \beta}$ として、
$\small\sf{0\lt\alpha\lt\beta}$ が成り立っているとする。$\small\sf{\alpha\leqq x\leqq\beta}$ の範囲で曲線Cと直線Lで囲まれた
部分の面積Sをaを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^3-2x^2+x=ax\ \ \Leftrightarrow\ \ x(x^2-2x+1-a)=0 \end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=x^2-2x+1-a\end{align*}}$ とおくと、曲線Cと直線Lが異なる3点で交わるとき、
方程式$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=0\end{align*}}$ は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x\ne 0\end{align*}}$ である異なる2つの実数解をもつので、
判別式 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4=1-(1-a)\gt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt a\ \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(0)=1-a\ne 0\ \ \Leftrightarrow\ \ a\ne 1 \end{align*}}$
よって、求めるaの条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{0\lt a\lt 1\ ,\ \ 1\lt a}\end{align*}}$
(2)
CとLの位置関係は図のようになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_{\alpha}^{\beta} \big\{ax-(x^3-2x^2+x)\big\}dx\\ &=\sf -\int_{\alpha}^{\beta} x(x-\alpha)(x-\beta)dx \\ &=\sf -\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha+\alpha)(x-\alpha)(x-\alpha+\alpha-\beta)dx\\ &=\sf -\int_{\alpha}^{\beta}\big\{(x-\alpha)^3+(2\alpha-\beta)(x-\alpha)^2-\alpha(\beta-\alpha)(x-\alpha)\big\}dx \\ &=\sf -\left[\frac{1}{4}(x-\alpha)^4+\frac{2\alpha-\beta}{3}(x-\alpha)^3-\frac{\alpha(\beta-\alpha)}{2}(x-\alpha)^2\right]_{\alpha}^{\beta}\\ &=\sf -\frac{1}{4}(\beta-\alpha)^4-\frac{2\alpha-\beta}{3}(\beta-\alpha)^3+\frac{\alpha}{2}(\beta-\alpha)^3\\ &=\sf \frac{1}{12}(\beta-\alpha)^3(\alpha+\beta)\end{align*}}$
ここで解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha+\beta=2\ ,\ \ \alpha\beta=1-a \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \beta-\alpha&=\sf\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta} \\ &=\sf \sqrt{4-4(1-a)}\\ &=\sf 2\sqrt{a}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\frac{1}{12}\cdot \left(2\sqrt{a}\right)^3\cdot 2=\underline{\frac{4}{3}a\sqrt{a}} \end{align*}}$
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- 2019/05/14(火) 23:57:00|
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