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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019大阪市立大 文系数学1



第1問

  原点Oとは異なる2点$\small\sf{P(a ,\ b)\ ,\ Q(c,\ d)}$ が与えられていて、$\small\sf{\begin{align*}\sf\overrightarrow{\sf OQ}=k\overrightarrow{\sf OP}\ \ \ \left(k\gt 0\right)\end{align*}}$ とする。
    また、$\small\sf{OP\cdot OQ=4}$ とする。次の問いに答えよ。

 (1) kをc、dを用いて表せ。

 (2) 点Pが直線$\small\sf{2x+y-6=0}$ 上を動くとき、点$\small\sf{Q}$ はある円C上を動く。
    円Cの方程式を求めよ。

 (3) (2)において、点Pが直線$\small\sf{2x+y-6=0}$ 上を$\small\sf{(0,\ 6)}$ から$\small\sf{(3,\ 0)}$ まで動くとき、
    円C上で点$\small\sf{Q}$ の動く範囲を図示せよ。






テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2019/05/11(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 文系 2019
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2019大阪市立大 文系数学2



第2問

  放物線$\small\sf{\begin{align*}\sf C:\ y=x^2\end{align*}}$ 上に2点$\small\sf{\begin{align*}\sf A(a,\ a^2)\ ,\ B(b,\ b^2)\ \ \ (-b\lt a\lt 0\lt b)\end{align*}}$ をとる。点A、Bに
  おける放物線Cの接線をそれぞれL、mとしLとmの交点をPとする。また、直線ABと
  x軸のなす角を$\small\sf{\begin{align*}\sf \alpha\end{align*}}$ 、接線mとx軸のなす角を$\small\sf{\begin{align*}\sf\beta \end{align*}}$ とする。
  ただし、$\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}\ ,\ \ 0\lt\beta\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とする。次の問いに答えよ。

 (1) 直線ABと接線mの方程式をa、bを用いて表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \beta=\alpha+\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ のとき、aをbを用いて表せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*}\sf \beta=\alpha+\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ かつ$\small\sf{\begin{align*}\sf\angle BAP=\frac{\pi}{2} \end{align*}}$ のとき、a,bの値を求めよ。





テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2019/05/12(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 文系 2019
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2019大阪市立大 文系数学3



第3問

  kは実数とする。Oを原点とする座標空間内に3点
        $\small\sf{\begin{align*}\sf A(1,\ 1,\ -1)\ ,\ \ B(4k,\ -2k+2,\ -k+1)\ ,\ \ C(4k+4,\ -2k,\ -k)\end{align*}}$
  をとり、四面体OABCを考える。次の問いに答えよ。

 (1) 大きさが1のベクトル$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$ で、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ の両方に垂直であるものをすべて求めよ。

 (2) $\small\sf{0\lt s\lt 1\ ,\ \ 0\lt t\lt 1}$ とし、辺OAを$\small\sf{s:(1-s)}$ に内分する点をP、辺BCを$\small\sf{t:(1-t)}$ に
    内分する点を$\small\sf{Q}$ とする。$\small\sf{\overrightarrow{\sf PQ}}$ をk、s、tを用いて表せ。

 (3) Pと$\small\sf{Q}$ は(2)の内分点とする。$\small\sf{\overrightarrow{\sf PQ}}$ が$\small\sf{\overrightarrow{\sf OA}}$ と$\small\sf{\overrightarrow{\sf BC}}$ の両方に垂直であるとき、Pと$\small\sf{Q}$ の
    座標を求めよ。




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  1. 2019/05/13(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 文系 2019
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2019大阪市立大 文系数学4



第4問

   aは実数とする。$\small\sf{y=x^3-2x^2+x}$ が定める曲線Cと$\small\sf{y=ax}$ が定める直線Lを考える。
  次の問いに答えよ。

 (1) 曲線Cと直線Lが異なる3点で交わるためのaの条件を求めよ。

 (2) 曲線Cと直線Lが異なる3点で交わるとき、それらのx座標を$\small\sf{0,\ \alpha,\ \beta}$ として、
    $\small\sf{0\lt\alpha\lt\beta}$ が成り立っているとする。$\small\sf{\alpha\leqq x\leqq\beta}$ の範囲で曲線Cと直線Lで囲まれた
    部分の面積Sをaを用いて表せ。





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  1. 2019/05/14(火) 23:57:00|
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