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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019大阪市立大 理系数学1



第1問

  座標平面上の円$\small\sf{(x-t)^2+y^2=1}$ をCt、Ctで囲まれた領域をDtとする。0≦t≦2に対し、
  D0とDtの共通部分の面積をS(t)とする。0<t<2に対し、C0とCtの交点のうちy座標
  が正の方をPtとする。座標平面の原点をOとして、半直線OPtとx軸の正の向きのなす角
  を$\small\sf{\theta}$ で表す。次の問いに答えよ。

 (1) 0<t<2のとき、S(t)の値を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (2) 0<t<2のとき、tを$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^2S(t)dt\end{align*}}$ の値を求めよ。


テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2019/05/15(水) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2019
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2019大阪市立大 理系数学2



第2問

  0でない複素数zに対して
        $\small\sf{\begin{align*}\sf w=z+\frac{1}{z}\end{align*}}$
  とおく。 i を虚数単位とし、zの極形式を$\small\sf{z=r(\cos\theta+i\sin\theta)}$ とする。また、wの実部を
    u、wの虚部をvとする。次の問いに答えよ。

 (1) u、vをそれぞれrと$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (2) 点zが条件$\small\sf{|z+1|=|z-i|\ \ (0\lt\theta\lt\pi)}$ を満たして複素数平面上を動くとき、uとvが
    満たす関係式を求め、点wが描く図形を複素数平面上に図示せよ。また、$\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{r\rightarrow\infty}u\end{align*}}$ と
    $\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{r\rightarrow 0}v\end{align*}}$ を求めよ。





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  1. 2019/05/16(木) 23:57:00|
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2019大阪市立大 理系数学3



第3問

  kは実数とする。Oを原点とする座標空間内に3点
        $\small\sf{\begin{align*}\sf A(1,\ 1,\ -1)\ ,\ \ B(4k,\ -2k+2,\ -k+1)\ ,\ \ C(4k+4,\ -2k,\ -k)\end{align*}}$
  をとり、四面体OABCを考える。次の問いに答えよ。

 (1) 大きさが1のベクトル$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$ で、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ の両方に垂直であるものをすべて求めよ。

 (2) $\small\sf{0\lt s\lt 1\ ,\ \ 0\lt t\lt 1}$ とし、辺OAを$\small\sf{s:(1-s)}$ に内分する点をP、辺BCを$\small\sf{t:(1-t)}$ に
    内分する点を$\small\sf{Q}$ とする。$\small\sf{\overrightarrow{\sf PQ}}$ をk、s、tを用いて表せ。

 (3) Pと$\small\sf{Q}$ は(2)の内分点とする。$\small\sf{\overrightarrow{\sf PQ}}$ が$\small\sf{\overrightarrow{\sf OA}}$ と$\small\sf{\overrightarrow{\sf BC}}$ の両方に垂直であるとき、Pと$\small\sf{Q}$ の
    座標を求めよ。また、そのようなPと$\small\sf{Q}$ が存在するためのkの条件を求めよ。

 (4) kは(3)で求めた範囲にあるものとする。(3)のP、$\small\sf{Q}$ と線分$\small\sf{PQ}$ 上の点Xに対し
    △XOAと△XBCの面積が一致するとき、その面積を求めよ。




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  1. 2019/05/17(金) 23:57:00|
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2019大阪市立大 理系数学4



第4問

  自然数n,s (s<n)に対して
        $\small\sf{\begin{align*}\rm I\sf _n(s)=\int_0^1x^{n-s}(1-x)^sdx \end{align*}}$
  とおく。次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{s\lt n-1}$s のとき、等式
        $\small\sf{\begin{align*}\rm I\sf _n(s)=\frac{n-s}{s+1}\ \rm I\sf _n(s+1)\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (2) $\small{\rm I\sf _n(s)}$ をnとsを用いて表せ。

 (3) 自然数n,s (s<n)に対して、等式
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{_nC_s}=\sum_{k=0}^s(-1)^k\frac{n+1}{n-s+k+1}_sC_k\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。ただし、$\small\sf{_sC_0=_sC_s=1}$ とする。





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  1. 2019/05/18(土) 23:57:00|
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