第1問
a、b、cを実数とし、a≠0とする。2次関数f(x)を
$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=ax^2+bx+c\end{align*}}$
で定める。曲線y=f(x)は点$\small\sf{\begin{align*}\sf\left(2\ ,\ 2-\frac{c}{2}\right)\end{align*}}$ を通り、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^3f(x)\ dx=\frac{9}{2}\end{align*}}$
をみたすとする。以下の問に答えよ。
(1) 関数f(x)をaを用いて表せ。
(2) 点(1，f(1))における曲線y=f(x)の接線をLとする。直線Lの方程式を
aを用いて表せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a\lt\frac{1}{2}\end{align*}}$ とする。(2)で求めた直線Lのy≧0の部分と曲線y=f(x)のx≧0
の部分およびx軸で囲まれた図形の面積Sの最大値と、そのときのaの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与えられた条件より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(2)=4a+2b+c=2-\frac{c}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ 8a+4b+3c=4 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^3f(x)\ dx&=\sf \int_{0}^3\left(ax^2+bx+c\right)dx \\ &=\sf\left[\frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2+cx\right]_0^3 \\ &=\sf 9a+\frac{9}{2}b+3c=\frac{9}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 6a+3b+2c=3 \end{align*}}$
これら2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b=-2a+1\ ,\ \ c=0\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\underline{ax^2-\left(2a-1\right)x}\end{align*}}$
(2)
（１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=2ax^2-2a+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(1)=2a-2a+1=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(1)=a-(2a-1)=-a+1\end{align*}}$
なので、点(1，f(1))における接線Lの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L:\ y-(-a+1)=1\cdot (x-1)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{y=x-a}\end{align*}}$
(3)
y=f(x)のx切片は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=ax^2-(2a-1)x=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ ,\ \frac{2a-1}{a}\end{align*}}$
であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a\lt\frac{1}{2}\end{align*}}$ なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2a-1}{a}\lt 0\end{align*}}$ である。
また、Lのx切片は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0=x-a\ \ \Leftrightarrow\ \ x=a\end{align*}}$
なので、y=f(x)とLの位置関係は下図のようになる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf\int_0^1\big\{ax^2-\left(2a-1\right)x\big\}dx-\frac{1}{2}(1-a)^2 \\ &=\sf \left[\frac{a}{3}x^3-\frac{2a-1}{2}x^2\right]_0^1-\frac{1}{2}(1-a)^2\\ &=\sf -\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{3}a\\ &=\sf -\frac{1}{2}\left(a-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{1}{18}\end{align*}}$
となるので、Sは$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{a=\frac{1}{3}}\end{align*}}$ のとき最大値$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\underline{\frac{1}{18}}\end{align*}}$ をとる。
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第2問
次のように1，3，4を繰り返し並べて得られる数列を{an}とする。
1，3，4，1，3，4，1，3，4，…
すなわち、a1=1，a2=3，a3=4で、4以上の自然数に対し、an=an-3とする。
この数列の初項から第n項までの和をSnとする。以下の問に答えよ。
(1) Snを求めよ。
(2) Sn=2019となる自然数nは存在しないことを示せ。
(3) どのような自然数kに対しても、Sn=k2となる自然数nが存在することを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
mを自然数とする。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (i)\ n=3m\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n&=\sf (1+3+4)m \\ &=\sf 8m\\ &=\sf \underline{\frac{8n}{3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (ii)\ n=3m-1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n&=\sf (1+3+4)m-4 \\ &=\sf 8m-4\\ &=\sf 8\cdot\frac{n+1}{3}-4\\ &=\sf \underline{\frac{8n-4}{3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (iii)\ n=3m-2\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n&=\sf (1+3+4)m-4-3 \\ &=\sf 8m-7\\ &=\sf 8\cdot\frac{n+2}{3}-7\\ &=\sf \underline{\frac{8n-5}{3}}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (i)\ n=3m\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=\frac{8n}{3}=2019\ \ \Leftrightarrow\ \ n=\frac{6057}{8}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (ii)\ n=3m-1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=\frac{8n-4}{3}=2019\ \ \Leftrightarrow\ \ n=\frac{6061}{8}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (iii)\ n=3m-2\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=\frac{8n-5}{3}=2019\ \ \Leftrightarrow\ \ n=\frac{3031}{4}\end{align*}}$
いずれの場合も$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=2019\end{align*}}$ となる自然数nが存在しない。
(3)
Lを自然数とする。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cdot k=4L\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=k^2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{8n}{3}=(4L)^2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf n=6L^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cdot k=4L-1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=k^2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{8n-5}{3}=(4L-1)^2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf n=6L^2-3L+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cdot k=4L-2\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=k^2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{8n-4}{3}=(4L-2)^2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf n=6L^2-6L+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cdot k=4L-3\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=k^2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{8n-5}{3}=(4L-3)^2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf n=6L^2-9L+1\end{align*}}$
よって、どのような自然数kに対しても、Sn=k2となる自然数nが存在する。
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第3問
$\small\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf AB}|=2 \end{align*}}$ をみたす△PABを考え、辺ABの中点をM、△PABの重心をGとする。
以下の問に答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf PM}|^2 \end{align*}}$ を内積$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PA}\cdot\overrightarrow{\sf PB}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \angle AGB=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PA}\cdot\overrightarrow{\sf PB}\end{align*}}$ の値を求めよ。
(3) 点Aと点Bを固定し、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PA}\cdot\overrightarrow{\sf PB}=\frac{5}{4}\end{align*}}$ をみたすように点Pを動かすとき、∠ABGの
最大値を求めよ。ただし、$\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt \angle ABG\lt \pi\end{align*}}$ とする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf PB}=\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
とおくと、題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf AB}|^2&=\sf |\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}|^2 \\ &=\sf |\overrightarrow{\sf a}|^2+|\overrightarrow{\sf b}|^2-2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=4\\ &=\sf \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf a}|^2+|\overrightarrow{\sf b}|^2=2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+4\ \ \ \cdots\cdots\cdots (*)\end{align*}}$
(1)
点Mは辺ABの中点なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf AM}|^2&=\sf\left|\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}{2}\right|^2 \\ &=\sf \frac{1}{4}\left(|\overrightarrow{\sf a}|^2+|\overrightarrow{\sf b}|^2+2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\right)\\ &=\sf \frac{1}{4}\left\{\left(2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+4\right)+2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\right\}\ \ \ \ \left(\because\ (*)\right)\\ &=\sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+1\\ &=\sf\underline{\overrightarrow{\sf PA}\cdot\overrightarrow{\sf PB}+1}\end{align*}}$
(2)
点Gは線分PMを2:1の比に内分するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf PM}=\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}{3} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf GA}\bot\overrightarrow{\sf GB}\end{align*}}$ なので、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf GA}\cdot\overrightarrow{\sf GB}&=\sf \left(\overrightarrow{\sf a}-\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}{3}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf b}-\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}{3}\right) \\ &=\sf \frac{1}{9}\left(2\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}\right)\cdot\left(-\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -2\left(|\overrightarrow{\sf a}|^2+|\overrightarrow{\sf b}|^2\right)+5\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -2\left(2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+4\right)+5\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf PA}\cdot\overrightarrow{\sf PB}=\underline{8}\end{align*}}$
(3)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf PM}|=\sqrt{\frac{5}{4}+1}=\frac{3}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf PG}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{\sf PM}|=\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BG=x\end{align*}}$ とおいて、△BMGに余弦定理を用いると、
相加・相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\angle MBG&=\sf\frac{-\left(\frac{1}{2}\right)^2+1^2+x^2}{2\cdot 1\cdot x} \\ &=\sf \frac{3}{8x}+\frac{x}{2}\\ &\geqq\sf 2\sqrt{\frac{3}{8x}\cdot\frac{x}{2}}\\ &=\sf \frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
となるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\angle ABG\end{align*}}$ の最小値は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\sqrt3}{2} \end{align*}}$ である。
このとき、∠ABGは最大となり、その大きさは $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\frac{\pi}{6}}\end{align*}}$ である。
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- 2019/05/05(日) 23:57:00|
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