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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012同志社 理工学部1



第1問
 (1) 数列{an}をa1=1、an+1=3an+4n(n=1,2,3,・・・)によって
    定める。数列{bn}をbn=an+1-an(n=1,2,3,・・・)によって定め
    ると数列{bn}は、漸化式
        bn+1= ア  bn+ イ  (n=1,2,3,・・・)
    を満たす。したがって、数列bnの一般項は、 ウ  であり、数列an
    一般項は エ   である。

 (2) 座標平面において、媒介変数$\small\sf{\theta}$ を用いて、x=(1+cos$\small\sf{\theta}$ )cos$\small\sf{\theta}$ 、
    y=(1+cos$\small\sf{\theta}$ )sin$\small\sf{\theta}$ (0≦$\small\sf{\theta}$ ≦$\small\sf{\pi}$ )と表される曲線Cを考える。
    xは$\small\sf{\theta}$ = オ  のとき最小値 カ  をとり、yは$\small\sf{\theta}$ = キ  のとき
    最大値 ク  をとる。
    曲線C上の動点(x,y)=((1+cos$\small\sf{\theta}$ )cos$\small\sf{\theta}$ ,(1+cos$\small\sf{\theta}$ )sin$\small\sf{\theta}$ )
    と原点との距離rは、媒介変数$\small\sf{\theta}$ を用いて ケ  と表される。
    したがって、rの最大値は コ  である。




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  1. 2012/02/11(土) 12:00:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2012(理工)
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2012同志社 理工学部2



第2問

  四面体OABCにおいて、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ とする。
  次の問いに答えよ。

 (1) △OAB、△OBC、△OCAの重心をそれぞれP、Q、Rとする。
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OQ}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$ をそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ で表せ。

 (2) △PQRの面積は△ABCの面積の何倍になっているかを求めよ。

 (3) △ABCの重心をSとする。四面体PQRSの体積は四面体OABC
    の体積の何倍になっているかを求めよ。



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  1. 2012/02/11(土) 14:00:00|
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2012同志社 理工学部3



第3問

  次式がすべての実数xについて成り立つとき、次の問いに答えよ。
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^x\ (x-t)\ f\ (t)\ dt=\log\ (1+x^2)\end{align*}}$

 (1) 関数f(x)を求め、そのグラフの概形を描け

 (2) 曲線y=f(x)とx軸との交点をP(a,0)、Q(b,0) (a<b)とする。
    aとbの値を求めよ。

 (3) a≦x≦bにおいて、曲線y=f(x)とx軸で囲まれる部分の面積S1
    求めよ。

 (4) 関数g(x)、h(x)を
      $\small\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=x\int_0^x\ f\ (t)\ dt\ \ ,\ \ h\ (x)=\frac{2}{1+x^2}\end{align*}}$
    とする。このとき、曲線y=g(x)と曲線y=h(x)で囲まれる部分の
    面積S2を求めよ。


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  1. 2012/02/11(土) 15:00:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2012(理工)
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2012同志社 理工学部4



第4問

  -2<$\small\sf{\alpha}$ <2とし、座標平面において、点P($\small\sf{\alpha}$ ,0)を通るy軸と平行な
  直線をL、直線Lと楕円 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{4}+y^2=1\end{align*}}$ の交点をQ、Rとする。ただし、Qの
  y座標はRのy座標より大きいとする。次の問いに答えよ。

 (1) 点Q、Rの座標を$\small\sf{\alpha}$ を用いて表せ。

 (2) 線分QRを直径とする円Cの方程式を求めよ。

 (3) $\small\sf{\alpha}$ が-2<$\small\sf{\alpha}$ <2を動くとき、円Cの通りうる範囲Dを図示せよ。

 (4) (3)で求めた範囲D内において、x座標が最大となる点を求め、
    この点を通る円Cの方程式を求めよ。


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  1. 2012/02/11(土) 16:00:00|
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