第1問
以下の問に答えよ。
(1) 関数
$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\frac{\log x}{x}\end{align*}}$
のx＞0における最大値とそのときのxの値を求めよ。
(2) aをa≠1をみたす正の実数とする。曲線y=exと曲線y=xa （x＞0）が
共有点Pをもち、さらに点Pにおいて共通の接線をもつとする。点Pのx座標
をtとするとき、aとtの値を求めよ。
(3) aとtを(2)で求めた実数とする。xをx≠tをみたす正の実数とするとき、
exとxaの大小を判定せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-1\cdot \log x}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=e\end{align*}}$
であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)\end{align*}}$ の符号は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=e\end{align*}}$ の前後で正から負に変化するので、
f(x)の最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)_{max}=f(e)=\underline{\frac{1}{e}}\end{align*}}$
(2)
x＞0において、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)=e^x\ ,\ \ h(x)=x^a\end{align*}}$
とおくと、それぞれの導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g'(x)=e^x\ ,\ \ h'(x)=ax^{a-1} \end{align*}}$
2曲線$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=g(x)\ ,\ y=h(x)\end{align*}}$ が点Pを共有し、Pにおいて共通の接線をもつので
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)=h(x)\ \ \Leftrightarrow\ \ e^t=t^a \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g'(x)=h'(x)\ \ \Leftrightarrow\ \ e^t=at^{a-1} \end{align*}}$
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{t=a=e}\end{align*}}$
(3)
(1)より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x\gt 0\ ,\ \ x\ne e\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\frac{\log x}{x}\lt \frac{1}{e}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x\gt e\log x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log e^x\gt \log x^e\end{align*}}$
底e＞1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{e^x\gt x^e}\end{align*}}$
である。
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第2問
$\small\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf AB}|=2 \end{align*}}$ をみたす△PABを考え、辺ABの中点をM、△PABの重心をGとする。
以下の問に答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf PM}|^2 \end{align*}}$ を内積$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PA}\cdot\overrightarrow{\sf PB}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \angle AGB=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PA}\cdot\overrightarrow{\sf PB}\end{align*}}$ の値を求めよ。
(3) 点Aと点Bを固定し、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PA}\cdot\overrightarrow{\sf PB}=\frac{5}{4}\end{align*}}$ をみたすように点Pを動かすとき、∠ABGの
最大値を求めよ。ただし、$\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt \angle ABG\lt \pi\end{align*}}$ とする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf PB}=\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
とおくと、題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf AB}|^2&=\sf |\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}|^2 \\ &=\sf |\overrightarrow{\sf a}|^2+|\overrightarrow{\sf b}|^2-2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=4\\ &=\sf \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf a}|^2+|\overrightarrow{\sf b}|^2=2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+4\ \ \ \cdots\cdots\cdots (*)\end{align*}}$
(1)
点Mは辺ABの中点なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf AM}|^2&=\sf\left|\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}{2}\right|^2 \\ &=\sf \frac{1}{4}\left(|\overrightarrow{\sf a}|^2+|\overrightarrow{\sf b}|^2+2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\right)\\ &=\sf \frac{1}{4}\left\{\left(2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+4\right)+2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\right\}\ \ \ \ \left(\because\ (*)\right)\\ &=\sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+1\\ &=\sf\underline{\overrightarrow{\sf PA}\cdot\overrightarrow{\sf PB}+1}\end{align*}}$
(2)
点Gは線分PMを2:1の比に内分するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf PM}=\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}{3} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf GA}\bot\overrightarrow{\sf GB}\end{align*}}$ なので、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf GA}\cdot\overrightarrow{\sf GB}&=\sf \left(\overrightarrow{\sf a}-\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}{3}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf b}-\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}{3}\right) \\ &=\sf \frac{1}{9}\left(2\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}\right)\cdot\left(-\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -2\left(|\overrightarrow{\sf a}|^2+|\overrightarrow{\sf b}|^2\right)+5\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -2\left(2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+4\right)+5\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf PA}\cdot\overrightarrow{\sf PB}=\underline{8}\end{align*}}$
(3)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf PM}|=\sqrt{\frac{5}{4}+1}=\frac{3}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf PG}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{\sf PM}|=\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BG=x\end{align*}}$ とおいて、△BMGに余弦定理を用いると、
相加・相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\angle MBG&=\sf\frac{-\left(\frac{1}{2}\right)^2+1^2+x^2}{2\cdot 1\cdot x} \\ &=\sf \frac{3}{8x}+\frac{x}{2}\\ &\geqq\sf 2\sqrt{\frac{3}{8x}\cdot\frac{x}{2}}\\ &=\sf \frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
となるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\angle ABG\end{align*}}$ の最小値は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\sqrt3}{2} \end{align*}}$ である。
このとき、∠ABGは最大となり、その大きさは $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\frac{\pi}{6}}\end{align*}}$ である。
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第3問
nを2以上の整数とする。2個のさいころを同時に投げるとき、出た目の数の積を
で割った余りが1となる確率をPnとする。以下の問に答えよ。
(1) P2、P3、P4を求めよ。
(2) n≧36のとき、Pnを求めよ。
(3) Pn=$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{18}\end{align*}}$ となるnをすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
2つのサイコロの出た目をそれぞれa，bとし、x(a,b)=ab$\scriptsize\sf{-}$1とおくと、
「出た目の積abをnで割った余りが1である」ことは、 「x(a，b)がnの倍数である」
ことと同値である。
(1)
・n=2のとき
x(a，b)が2の倍数となるのは、
x(1，1)=0
x(1，3)=x(3，1)=2
x(1，5)=x(5，1)=4
x(3，3)=8
x(3，5)=x(5，3)=14
x(5，5)=24
の9通り。2つのさいころの目の出方の総数は62通りなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_2=\frac{9}{6^2}=\underline{\frac{1}{4}}\end{align*}}$
・n=3のとき
x(a，b)が3の倍数となるのは、
x(1，1)=0
x(1，4)=x(4，1)=x(2，2)=3、
x(3，5)=x(5，3)=9
x(4，4)=15
x(5，5)=24
の8通りなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_3=\frac{8}{6^2}=\underline{\frac{2}{9}}\end{align*}}$
・n=4のとき
x(a，b)が4の倍数となるのは、
x(1，1)=0
x(1，5)=x(5，1)=4
x(3，3)=8
x(5，5)=24
の5通りなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_4=\frac{5}{6^2}=\underline{\frac{5}{36}}\end{align*}}$
(2)
n≧36のとき
x(a，b)がnの倍数となるのは、x(1，1)=0の1通りなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_n=\frac{1}{6^2}=\underline{\frac{1}{36}}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_n=\frac{1}{18}\end{align*}}$ のとき、nの倍数となるx(a，b)の個数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 6^2\times\frac{1}{18}=2\end{align*}}$ 個
である。
・n=6，12，24のとき、x(1，1)=0とx(5，5)=24の2個
・n=15のとき、x(1，1)=0とx(4，4)=15の2個
・n=35のとき、x(1，1)=0とx(6，6)=35の2個
以上より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_n=\frac{1}{18}\end{align*}}$ となるようなnは
n=6，12，15，24，35
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第4問
次のように1，3，4を繰り返し並べて得られる数列を{an}とする。
1，3，4，1，3，4，1，3，4，…
すなわち、a1=1，a2=3，a3=4で、4以上の自然数に対し、an=an-3とする。
この数列の初項から第n項までの和をSnとする。以下の問に答えよ。
(1) Snを求めよ。
(2) Sn=2019となる自然数nは存在しないことを示せ。
(3) どのような自然数kに対しても、Sn=k2となる自然数nが存在することを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
mを自然数とする。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (i)\ n=3m\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n&=\sf (1+3+4)m \\ &=\sf 8m\\ &=\sf \underline{\frac{8n}{3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (ii)\ n=3m-1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n&=\sf (1+3+4)m-4 \\ &=\sf 8m-4\\ &=\sf 8\cdot\frac{n+1}{3}-4\\ &=\sf \underline{\frac{8n-4}{3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (iii)\ n=3m-2\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n&=\sf (1+3+4)m-4-3 \\ &=\sf 8m-7\\ &=\sf 8\cdot\frac{n+2}{3}-7\\ &=\sf \underline{\frac{8n-5}{3}}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (i)\ n=3m\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=\frac{8n}{3}=2019\ \ \Leftrightarrow\ \ n=\frac{6057}{8}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (ii)\ n=3m-1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=\frac{8n-4}{3}=2019\ \ \Leftrightarrow\ \ n=\frac{6061}{8}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (iii)\ n=3m-2\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=\frac{8n-5}{3}=2019\ \ \Leftrightarrow\ \ n=\frac{3031}{4}\end{align*}}$
いずれの場合も$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=2019\end{align*}}$ となる自然数nが存在しない。
(3)
Lを自然数とする。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cdot k=4L\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=k^2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{8n}{3}=(4L)^2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf n=6L^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cdot k=4L-1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=k^2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{8n-5}{3}=(4L-1)^2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf n=6L^2-3L+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cdot k=4L-2\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=k^2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{8n-4}{3}=(4L-2)^2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf n=6L^2-6L+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cdot k=4L-3\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=k^2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{8n-5}{3}=(4L-3)^2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf n=6L^2-9L+1\end{align*}}$
よって、どのような自然数kに対しても、Sn=k2となる自然数nが存在する。
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第5問
媒介変数表示
$\small\sf{\begin{align*}\sf x=\sin t\ ,\ \ y=(1+\cos t)\sin t\ \ \ (0\leqq t\leqq \pi)\end{align*}}$
で表される曲線をCとする。以下の問に答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{dy}{dx}\end{align*}}$ および$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{d^2y}{dx^2}\end{align*}}$ をtの関数として表せ。
(2) Cの凹凸を調べ、Cの概形を描け。
(3) Cで囲まれる領域の面積Sを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{dx}{dt}=\cos t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dy}{dt}&=\sf (-\sin t)\sin t+(1+\cos t)\cos t \\ &=\sf 2\cos^2t+\cos t-1\ \ \ \ \ \ \left(\because\ \sin^2t+\cos^2t=1\right)\\ &=\sf (2\cos t-1)(\cos t+1)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dy}{dx}&=\sf\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx} \\ &=\sf \underline{\frac{2\cos^2t+\cos t-1}{\cos t}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{d^2y}{dx^2}&=\sf\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\cdot\frac{dt}{dx} \\ &=\sf \frac{\big\{4\cos t\cdot (-\sin t)-\sin t\big\}\cos t-(2\cos^2t+\cos t-1)\cdot (-\sin t)}{\cos^2t}\cdot\frac{1}{\cos t}\\ &=\sf\underline{-\frac{\sin t(2\cos^2t+1)}{\cos^3t}} \end{align*}}$
(2)
(3)
Cの$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq t\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ に対応する部分を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=f_1(x)\end{align*}}$ 、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{2}\leqq t\leqq\pi\end{align*}}$ に対応する部分を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=f_2(x)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf\int_0^1f_1(x)dx-\int_0^1f_2(x)dx \\ &=\sf \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\cos t\right)\sin t\cdot \cos tdt-\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\cos t\right)\sin t\cdot \cos tdt\\ &=\sf \int_0^{\pi}\left(1+\cos t\right)\sin t\cos tdt\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s=\cos t\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dt}{ds}=-\sin t\end{align*}}$
であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t:\ 0\rightarrow \pi\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s:\ 1\rightarrow -1\end{align*}}$ と対応するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_1^{-1}(s+s^2)\cdot (-ds) \\ &=\sf 2\int_0^1s^2ds\\ &=\sf 2\left[\frac{1}{3}s^3\right]_0^1\\ &=\sf \underline{\frac{2}{3}}\end{align*}}$
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- 2019/05/10(金) 23:57:00|
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