第1問
xy平面において、連立不等式
$\small\sf{0\leqq x\leqq \pi\ ,\ \ 0\leqq y\leqq\pi\ ,\ \ 2\sin(s+y)-2\cos(x+y)\geqq\sqrt2}$
の表す領域をDとする。このとき以下の問いに答えよ。
(1) Dを図示せよ。
(2) 点(x，y)が領域Dを動くとき、2x+yの最大値と最小値を求めよ。
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【解答】
(1)
合成すると与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\sqrt2\sin\left(x+y-\frac{\pi}{4}\right)\geqq\sqrt2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\left(x+y-\frac{\pi}{4}\right)\geqq\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{0\leqq x\leqq\pi\ \ ,\ \ 0\leqq y\leqq \pi}$ より$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{\pi}{4}\leqq x+y-\frac{\pi}{4}\leqq\frac{7}{4}\pi\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{6}\leqq x+y-\frac{\pi}{4}\leqq\frac{5}{6}\pi \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ -x+\frac{5}{12}\pi\leqq y\leqq -x+\frac{13}{12}\pi \end{align*}}$
これを図示すると、下図のようになる。
（境界上の点を含む）
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2x+y=k\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-2x+k\end{align*}}$ とおくと、
これは傾き$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -2\end{align*}}$ 、切片kの直線を表す。
これがDと共有点をもつように動くとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\pi\ ,\ y=\frac{\pi}{12}\end{align*}}$ でkは最大値$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\frac{25}{12}\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=0\ ,\ y=\frac{5}{12}\pi\end{align*}}$ でkは最小値$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\frac{5}{12}\pi}\end{align*}}$
をとる。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/05/31(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 文系 2019
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