第2問
pを実数の定数とする。xの2次方程式
$\small\sf{\begin{align*}\sf x^2-\left(2p+|p|-|p+1|+1\right)x+\frac{1}{2}\left(2p+3|p|-|p+1|-1\right)=0\end{align*}}$
について以下の問いに答えよ。
(1) この2次方程式は実数解をもつことを示せ。
(2) この2次方程式が異なる2つの実数解$\small\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ をもち、かつ$\small\sf{\alpha^2+\beta^2\leqq 1}$ となるような
定数pの値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与式を(A)とおく。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (i)\ 0\leqq p\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |p|=p\ ,\ \ |p+1|=p+1\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (A)\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-2px+2p-1=0\end{align*}}$
判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4=p^2-(2p-1)=(p-1)^2\geqq 0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (ii)\ -1\leqq p\lt 0\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |p|=-p\ ,\ \ |p+1|=p+1\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (A)\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-(p+1)=0\end{align*}}$
判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4=p+1\geqq 0 \ \ \left(\because\ -1\leqq p\lt 0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (iii)\ p\lt -1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |p|=-p\ ,\ \ |p+1|=-(p+1)\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (A)\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-2(p+1)x=0\end{align*}}$
判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4=(p+1)^2\gt 0 \ \ \left(\because\ p\lt -1\right)\end{align*}}$
いずれの場合も$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D\geqq 0\end{align*}}$ となるので、(A)は実数解をもつ。
(2)
$\scriptsize\sf{\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\leqq 1\ \ \ \cdots\cdots (B)}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (i)\ 0\leqq p\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D\gt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ p\ne 1\end{align*}}$
解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha+\beta=2p\ ,\ \ \alpha\beta=2p-1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (B)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf (2p)^2-2(2p-1)\leqq 1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 4p^2-4p+1=(2p-1)^2\leqq 0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf p=\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (ii)\ -1\leqq p\lt 0\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D\gt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ -1\lt p\end{align*}}$
解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha+\beta=0\ ,\ \ \alpha\beta=-(p+1)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (B)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 0+2(p+1)\leqq 1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf p\leqq -\frac{1}{2}\end{align*}}$
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -1\lt p\leqq -\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (iii)\ p\lt -1\end{align*}}$ のとき
常に$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D\gt 0\end{align*}}$ なので、異なる2つの実数解をもつ。
解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha+\beta=2p+2\ ,\ \ \alpha\beta=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (B)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf (2p+2)^2\leqq 1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf p-\frac{3}{2}\leqq p\leqq -\frac{1}{2}\end{align*}}$
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{3}{2}\leqq p\leqq -\frac{1}{2}\end{align*}}$
以上より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{-\frac{3}{2}\leqq p\lt -1\ ,\ \ -1\lt p\leqq -\frac{1}{2}\ ,\ \ p=\frac{1}{2}}\end{align*}}$
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第3問
座標空間内の2つの球面
$\small\sf{S_1:\ (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=7}$
と
$\small\sf{S_2:\ (x-2)^2+(y-3)^2+(z-3)^2=1}$
を考える。S1とS2の共通部分をCとする。このとき以下の問いに答えよ。
(1) S1との共通部分がCとなるような球面のうち、半径が最小となる球面の方程式を求めよ。
(2) S1との共通部分がCとなるような球面のうち、半径が$\small\sf{\sqrt3}$ となる球面の方程式を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
2つの球S1、S2の共通部分Cは円である。
(1)
S1、S2の中心をそれぞれ$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A_1(1,1,1)\ ,\ \ A_2(2,3,3)\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A_1A_2=\sqrt{(2-1)^2+(3-1)^2+(3-1)^2}=3\end{align*}}$
図の対称性より、S1との共通部分がCとなるような球面の中心は直線A1A2上にある。
C上に点Bをとり、求める球の中心をPとおくと、半径BPが最小となるのはBP⊥A1A2と
なるときである。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A_1P=x\ ,\ \ A_2P=3-x\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf BA_1^2-A_1P^2=BA_2^2-A_2P^2\ (=BP^2)\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf \left(\sqrt7\right)^2-x^2=1-(3-x)^2\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf x=\frac{5}{2} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BP=\sqrt{7-\left(\frac{5}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
Pは線分A1A2を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A_1P:A_2P=\frac{5}{2}:\left(3-\frac{5}{2}\right)=5:1\end{align*}}$
の比に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(\frac{1+10}{5+1},\ \frac{1+15}{5+1},\ \frac{1+15}{5+1}\right)=\left(\frac{11}{6},\ \frac{8}{3},\ \frac{8}{3}\right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\left(x-\frac{11}{6}\right)^2+\left(y-\frac{8}{3}\right)^2+\left(z-\frac{8}{3}\right)^2=\frac{3}{4}}\end{align*}}$
(2)
求める球の中心を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\end{align*}}$ とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PQ&=\sf\sqrt{BQ^2-BP^2} \\ &=\sf\sqrt{\left(\sqrt3\right)^2-\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}\\ &=\sf \frac{3}{2} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A_1Q=A_1P+PQ=\frac{5}{2}+\frac{3}{2}=4\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\end{align*}}$ は線分A1A2を1:2に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\left(\frac{2+2}{1+2},\ \frac{2+3}{1+2},\ \frac{2+3}{1+2}\right)=\left(\frac{4}{3},\ \frac{5}{3},\ \frac{5}{3}\right)\end{align*}}$
よって
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\left(x-\frac{4}{3}\right)^2+\left(y-\frac{5}{3}\right)^2+\left(z-\frac{5}{3}\right)^2=3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A_1Q=A_1P-PQ=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\end{align*}}$ は線分A1A2を4:1に外分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\left(\frac{-1+8}{4-1},\ \frac{-1+12}{4-1},\ \frac{-1+12}{4-1}\right)=\left(\frac{7}{3},\ \frac{11}{3},\ \frac{11}{3}\right)\end{align*}}$
よって
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\left(x-\frac{7}{3}\right)^2+\left(y-\frac{11}{3}\right)^2+\left(z-\frac{11}{3}\right)^2=3}\end{align*}}$
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第1問
以下の問いに答えよ。ただし、$\small{\sf\log }$ は自然対数、eはその底とする。
(1) bを実数とする。関数
$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\int_x^be^{-\frac{t^2}{2}}dt-\frac{x}{x^2+1}e^{-\frac{x^2}{2}}\end{align*}}$
は単調に減少することを示せ。
(2) a≦bを満たす正の実数a、bに対し、不等式
$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{a}{a^2+1}e^{-\frac{a^2}{2}}-\frac{b}{b^2+1}e^{-\frac{b^2}{2}}\leqq\int_a^be^{-\frac{t^2}{2}}dt\leqq e^{-\frac{a^2}{2}}\left(b-a\right)\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(3) 数列$\small{\rm I_{\sf n}}$ を次のように定める。
$\small\sf{\begin{align*}\rm I_{\sf n}\sf =\int_1^2e^{-\frac{nt^2}{2}}dt\ \ \ (n=1,2,3,\cdots ) \end{align*}}$
このとき極限$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\rm I_{\sf n}\end{align*}}$
を求めよ。ただし、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log \left(n+1\right)=0\end{align*}}$
を用いてもよい。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\int_x^be^{-\frac{t^2}{2}}dt-\frac{x}{x^2+1}e^{-\frac{x^2}{2}}\end{align*}}$
(1)
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)&=\sf -e^{-\frac{x^2}{2}} -\frac{1\cdot (x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}e^{-\frac{x^2}{2}}-\frac{x}{x^2+1}\cdot\left(-xe^{-\frac{x^2}{2}}\right)\\ &=\sf \frac{-(x^2+1)^2-(x^2+1)+2x^2+x^2(x^2+1)^2}{(x^2+1)^2}e^{-\frac{x^2}{2}}\\ &=\sf -\frac{2}{(x^2+1)^2}e^{-\frac{x^2}{2}}\lt 0\end{align*}}$
となるので、f(x)は単調に減少する。
(2)
（１）より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a\leqq b&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf f(b)\leqq f(a) \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \int_b^be^{-\frac{t^2}{2}}dt-\frac{b}{b^2+1}e^{-\frac{b^2}{2}}\leqq\int_a^be^{-\frac{t^2}{2}}dt-\frac{a}{a^2+1}e^{-\frac{x^2}{2}}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{a}{a^2+1}e^{-\frac{a^2}{2}}-\frac{b}{b^2+1}e^{-\frac{b^2}{2}}\leqq\int_a^be^{-\frac{t^2}{2}}dt\end{align*}}$
一方、x＞0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(e^{-\frac{x^2}{2}}\right)'=-xe^{-\frac{b^2}{2}}\lt 0\end{align*}}$
より、関数$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf e^{-\frac{x^2}{2}}\end{align*}}$ は単調に減少するので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a\leqq t\leqq b \end{align*}}$ を満たす実数tに対して常に
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf e^{-\frac{t^2}{2}}\leqq e^{-\frac{a^2}{2}} \end{align*}}$
が成り立つ。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_a^be^{-\frac{t^2}{2}}dt&\leqq\sf \int_a^be^{-\frac{a^2}{2}}dt\\ &=\sf \left[e^{-\frac{a^2}{2}}t\right]_a^b\\ &=\sf e^{-\frac{a^2}{2}}\left(b-a\right)\end{align*}}$
以上より、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{a}{a^2+1}e^{-\frac{a^2}{2}}-\frac{b}{b^2+1}e^{-\frac{b^2}{2}}\leqq\int_a^be^{-\frac{t^2}{2}}dt\leqq e^{-\frac{a^2}{2}}\left(b-a\right) \end{align*}}$
が成り立つ。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s=\sqrt{n}\ t \end{align*}}$ と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{ds}{dt}=\sqrt{n}\end{align*}}$
であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t:1\rightarrow 2\end{align*}}$ に対して$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s:\sqrt{n}\rightarrow 2\sqrt{n} \end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\rm I_{\sf n}&=\sf \int_1^2e^{-\frac{nt^2}{2}}dt\\ &=\sf \int_{\sqrt{n}}^{2\sqrt{n}}e^{-\frac{s^2}{2}}\cdot\frac{ds}{\sqrt{n}} \\ &=\sf \frac{1}{\sqrt{n}}\int_{\sqrt{n}}^{2\sqrt{n}}e^{-\frac{s^2}{2}}ds\end{align*}}$
(2)の不等式において、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=\sqrt{n}\ (\geqq 1)\ ,\ \ b=2\sqrt{n}\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{\sqrt{n}}{n+1}e^{-\frac{n}{2}}-\frac{2\sqrt{n}}{4n+1}e^{-2n}\leqq\int_{\sqrt{n}}^{2\sqrt{n}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt\leqq e^{-\frac{n}{2}}\left(2\sqrt{n}-\sqrt{n}\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{n+1}e^{-\frac{n}{2}}-\frac{2}{4n+1}e^{-2n}\leqq \frac{1}{\sqrt{n}}\int_{\sqrt{n}}^{2\sqrt{n}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\rm I_{\sf n}\sf \leqq e^{-\frac{n}{2}} \ \ \ \cdots\cdots\cdots (*)\end{align*}}$
ここで、関数$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)\end{align*}}$ を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)=\frac{x}{x^2+1}e^{-\frac{x^2}{2}}\ \ \ (x\geqq 1)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g'(x)&=\sf \frac{1\cdot (x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}e^{-\frac{x^2}{2}}+\frac{x}{x^2+1}\cdot\left(-xe^{-\frac{x^2}{2}}\right) \\ &=\sf \frac{-x^4-2x^2+1}{(x^2+1)^2}e^{-\frac{x^2}{2}}\\ &=\sf -\frac{(x^2+1)^2-2}{(x^2+1)^2}e^{-\frac{x^2}{2}}\\ &\geqq\sf 0\ \ \ \ \left(\because\ x\geqq 1\right)\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)\end{align*}}$ は単調に減少する。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{n+1}e^{-\frac{n}{2}}-\frac{2}{4n+1}e^{-2n}=g\left(\sqrt{n}\right)-g\left(2\sqrt{n}\right)\gt 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)\end{align*}}$ の各辺の自然対数をとると、e＞1なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \log\left(\frac{1}{n+1}e^{-\frac{n}{2}}-\frac{2}{4n+1}e^{-2n}\right)\leqq \log\rm I_{\sf n}\sf \leqq -\frac{n}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{n}\log\left(\frac{1}{n+1}e^{-\frac{n}{2}}-\frac{2}{4n+1}e^{-2n}\right)\leqq \frac{1}{n}\log\rm I_{\sf n}\sf \leqq -\frac{1}{2}\end{align*}}$
この式の左辺は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf \frac{1}{n}\log\left(\frac{1}{n+1}e^{-\frac{n}{2}}-\frac{2}{4n+1}e^{-2n}\right)\\ =&\sf \frac{1}{n}\log\frac{e^{-\frac{n}{2}}}{n+1}\left\{1-\frac{2(n+1)}{4n+1}e^{-\frac{3}{2}n}\right\} \\ =&\sf \frac{1}{n}\log e^{-\frac{n}{2}}-\frac{1}{n}\log\left(n+1\right)+\frac{1}{n}\log\left\{1-\frac{2(n+1)}{4n+1}e^{-\frac{3}{2}n}\right\} \\ =&\sf -\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\log\left(n+1\right)+\frac{1}{n}\log\left\{1-\frac{2+\frac{2}{n}}{\left(4+\frac{1}{n}\right)e^{\frac{3}{2}n}}\right\} \end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\left(n+1\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\left\{1-\frac{2+\frac{2}{n}}{\left(4+\frac{1}{n}\right)e^{\frac{3}{2}n}}\right\} =0\cdot \log (1-0)=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\left(\frac{1}{n+1}e^{-\frac{n}{2}}-\frac{2}{4n+1}e^{-2n}\right)=-\frac{1}{2} \end{align*}}$
はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\rm I_{\sf n}=\underline{-\frac{1}{2}}\end{align*}}$
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第2問
自然数a、bに対し、
$\small\sf{\begin{align*}\sf w=\cos\frac{a\pi}{3+b}+i\sin\frac{a\pi}{3+b} \end{align*}}$
とおく。ただし、i は虚数単位とする。複素数$\small\sf{z_n\ (n=1,2,3,\cdots )}$ を以下のように定める。
$\small\sf{z_1=1\ ,\ \ z_2=1-w\ ,\ \ z_n=(1-w)z_{n-1}+wz_{n-2}\ \ (n=3,4,5,\cdots)}$
このとき以下の問いに答えよ。
(1) a=4、b=3のとき、複素数平面上の点$\small\sf{z_{1},\ z_2,\ z_3,\ z_4,\ z_5,\ z_6,\ z_7}$ をこの順に線分で
結んでできる図形を図示せよ。
(2) a=2、b=1のとき、$\small\sf{z_{63}}$ を求めよ。
(3) さいころを2回投げ、1回目に出た目をa、2回目に出た目をbとする。このとき
$\small\sf{z_{63}=0}$ である確率を求めよ．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
与えられた漸化式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_n-z_{n-1}=-w\left(z_{n-1}-z_{n-2}\right) \end{align*}}$
と変形できるので、数列$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left\{z_{n+1}-z_{n}\right\}\ \ (n=1,2,3,\cdots)\end{align*}}$ は等比数列をなす。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_{n+1}-z_{n}=\left(-w\right)^{n-1}\left(z_2-z_1\right)=\left(-w\right)^{n}\ \ \ \cdots\cdots\cdots (*) \end{align*}}$
これより、n≧2であるnに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_n= z_1+\sum_{k=1}^{n-1}(z_{k+1}-z_k)=1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(-w\right)^{k} \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\cdot\ w\ne -1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_n= 1+\frac{-w\left\{1-(-w)^{n-1}\right\}}{1-(-w)} =\frac{1-(-w)^n}{1-(-w)}\ \ \ \cdots\cdots\cdots (**) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\cdot\ w=-1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_n= 1+1\cdot(n-1)=n\end{align*}}$
これらはn=1のときも成り立つ。
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=4\ ,\ b=3\end{align*}}$ のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -w=-\left(\cos\frac{2}{3}\pi+i\sin\frac{2}{3}\pi\right)=\cos\frac{5}{3}\pi+i\sin\frac{5}{3}\pi\end{align*}}$
このとき、$\scriptsize\sf{(*)}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_2&=\sf 1-w \\ &=\sf 1+\left(\cos\frac{5}{3}\pi+i\sin\frac{5}{3}\pi\right)\\ &=\sf \frac{3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_3&=\sf z_2+(-w)^2 \\ &=\sf z_2+\left(\cos\frac{5}{3}\pi+i\sin\frac{5}{3}\pi\right)^2\\ &=\sf \frac{3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}i+\left(\cos\frac{10}{3}\pi+i\sin\frac{10}{3}\pi\right)\\ &=\sf 1-\sqrt3\ i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_4&=\sf z_3+\left(\cos\frac{5}{3}\pi+i\sin\frac{5}{3}\pi\right)^3\\ &=\sf 1-\sqrt3\ i+\left(\cos5\pi+i\sin5\pi\right)\\ &=\sf -\sqrt3\ i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_5&=\sf z_4+\left(\cos\frac{5}{3}\pi+i\sin\frac{5}{3}\pi\right)^4\\ &=\sf -\sqrt3\ i+\left(\cos\frac{20}{3}\pi+i\sin\frac{20}{3}\pi\right)\\ &=\sf -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\ i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_6&=\sf z_5+\left(\cos\frac{5}{3}\pi+i\sin\frac{5}{3}\pi\right)^5\\ &=\sf -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}i+\left(\cos\frac{25}{3}\pi+i\sin\frac{25}{3}\pi\right)\\ &=\sf 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_7&=\sf z_6+\left(\cos\frac{5}{3}\pi+i\sin\frac{5}{3}\pi\right)^6\\ &=\sf 0+\left(\cos10\pi+i\sin10\pi\right)\\ &=\sf 1\end{align*}}$
これらを図示すると右図のようになる。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=2\ ,\ b=1\end{align*}}$ のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -w=-\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=-i\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (-w)^4=(-i)^4=1\end{align*}}$
よって、$\scriptsize\sf{(**)}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_{63}&=\sf \frac{1-(-i)^{63}}{1+i} \\ &=\sf \frac{1-\left\{(-i)^4\right\}^{15}\cdot (-i)^3}{1+i}\\ &=\sf \frac{1-(-i)^3}{1+i}\\ &=\sf \frac{1-i}{1+i}\\ &=\sf \frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}\\ &=\sf \underline{-i}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w=-1\end{align*}}$ のときは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_{63}=63\ne 0\end{align*}}$
なので、以下は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w\ne -1\end{align*}}$ の場合を考える。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (**)\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_{63}=\frac{1-(-w)^{63}}{1-(-w)}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (-w)^{63}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ w^{63}=\left(\cos\frac{a\pi}{3+b}+i\sin\frac{a\pi}{3+b} \right)^{63}=\cos\frac{63a\pi}{3+b}+i\sin\frac{63a\pi}{3+b}= -1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{63a\pi}{3+b}=(2n-1)\pi \end{align*}}$ (n：自然数）
これを満たすようなa、bの値の組は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (a,\ b)=(1,\ 4)\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{63a\pi}{3+b}=9\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (a,\ b)=(1,\ 6)\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{63a\pi}{3+b}=7\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (a,\ b)=(2,\ 3)\ ,\ (3,\ 6)\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{63a\pi}{3+b}=21\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (a,\ b)=(3,\ 4)\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{63a\pi}{3+b}=27\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (a,\ b)=(5,\ 6)\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{63a\pi}{3+b}=35\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (a,\ b)=(5,\ 4)\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{63a\pi}{3+b}=45\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (a,\ b)=(4,\ 1)\ ,\ (5,\ 2)\ ,\ (6,\ 3)\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{63a\pi}{3+b}=63\pi\end{align*}}$
ただし、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{63a\pi}{3+b}=63\pi\end{align*}}$ のときは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w=1\end{align*}}$ となり不適。
2つのさいころの目の出方の総数は62通りなので、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{7}{6^2}=\underline{\frac{7}{36}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2019/06/09(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2019
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第3問
実数s、tが$\small\sf{s^2+t^2\leqq 6}$ を満たしながら変わるとき、xy平面上で点$\small\sf{(s+t\ ,\ st)}$ が動く領域を
Aとする。このとき以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\left(2\ ,\ \sqrt2\right)}$ が領域Aの点かどうか判定せよ。
(2) Aを図示せよ。
(3) Aをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s+t=X\ ,\ \ st=Y\end{align*}}$
とおくと、解と係数の関係より、s、tはzについての二次方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z^2-Xz+Y=0 \end{align*}}$
の2解となる。s、tは実数なので、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D=X^2-4Y\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ Y\leqq\frac{X^2}{4}\end{align*}}$ ･･････(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf X=2\ ,\ Y=\sqrt2\end{align*}}$ は(ⅰ)を満たさないので、点$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(2\ ,\ \sqrt2\right) \end{align*}}$ は領域Aの点ではない。
(2)
与えられた条件より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s^2+t^2=(s+t)^2-2st\leqq 6 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ X^2-2Y\leqq 6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ Y\geqq \frac{X^2}{2}-3\end{align*}}$ ･･････(ⅱ)
ここで、2つの放物線
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C_1:\ y=\frac{1}{4}x^2\ ,\ \ C_2:\ y=\frac{1}{2}x^2-3\end{align*}}$
の共有点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{4}x^2=\frac{1}{2}x^2-3\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm 2\sqrt3\end{align*}}$
以上より、(ⅰ)、(ⅱ)を同時に満たす領域を図示すると下図のようになる。
(3)
領域Aのy≦0の部分をx軸について対称移動させると、下図のようになる。
C2をx軸について対称に移動した放物線$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C_3:\ y=-\frac{x^2}{2}+3 \end{align*}}$ とC1との共有点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{x^2}{2}+3=\frac{x^2}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm 2\end{align*}}$
求める回転体の体積をVとすると、図の対称性より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf 2\pi\int_0^2\left(-\frac{x^2}{2}+3\right)^2dx+2\pi\int_2^{2\sqrt3}\left(\frac{x^2}{4}\right)^2dx-2\pi\int_{\sqrt6}^{2\sqrt3}\left(\frac{x^2}{2}-3\right)^2dx \end{align*}}$
となり、これを計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V=\underline{\frac{16}{5}\left(7-3\sqrt3+3\sqrt6\right)\pi}\end{align*}}$
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- 2019/06/10(月) 23:57:00|
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