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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019大阪大 文系数学2



第2問

   pを実数の定数とする。xの2次方程式
        $\small\sf{\begin{align*}\sf x^2-\left(2p+|p|-|p+1|+1\right)x+\frac{1}{2}\left(2p+3|p|-|p+1|-1\right)=0\end{align*}}$
  について以下の問いに答えよ。

 (1) この2次方程式は実数解をもつことを示せ。

 (2) この2次方程式が異なる2つの実数解$\small\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ をもち、かつ$\small\sf{\alpha^2+\beta^2\leqq 1}$ となるような
    定数pの値の範囲を求めよ。





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  1. 2019/06/01(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2019
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2019大阪大 文系数学3



第3問

  座標空間内の2つの球面
        $\small\sf{S_1:\ (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=7}$
  と
        $\small\sf{S_2:\ (x-2)^2+(y-3)^2+(z-3)^2=1}$
  を考える。S1とS2の共通部分をCとする。このとき以下の問いに答えよ。

 (1) S1との共通部分がCとなるような球面のうち、半径が最小となる球面の方程式を求めよ。

 (2) S1との共通部分がCとなるような球面のうち、半径が$\small\sf{\sqrt3}$ となる球面の方程式を求めよ。




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  1. 2019/06/02(日) 23:57:00|
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2019大阪大 理系数学1



第1問

  以下の問いに答えよ。ただし、$\small{\sf\log }$ は自然対数、eはその底とする。

 (1) bを実数とする。関数
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\int_x^be^{-\frac{t^2}{2}}dt-\frac{x}{x^2+1}e^{-\frac{x^2}{2}}\end{align*}}$
    は単調に減少することを示せ。

 (2) a≦bを満たす正の実数a、bに対し、不等式
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{a}{a^2+1}e^{-\frac{a^2}{2}}-\frac{b}{b^2+1}e^{-\frac{b^2}{2}}\leqq\int_a^be^{-\frac{t^2}{2}}dt\leqq e^{-\frac{a^2}{2}}\left(b-a\right)\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (3) 数列$\small{\rm I_{\sf n}}$ を次のように定める。
        $\small\sf{\begin{align*}\rm I_{\sf n}\sf =\int_1^2e^{-\frac{nt^2}{2}}dt\ \ \ (n=1,2,3,\cdots ) \end{align*}}$
    このとき極限$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\rm I_{\sf n}\end{align*}}$
    を求めよ。ただし、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log \left(n+1\right)=0\end{align*}}$
    を用いてもよい。




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  1. 2019/06/08(土) 23:57:00|
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2019大阪大 理系数学2



第2問

  自然数a、bに対し、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf w=\cos\frac{a\pi}{3+b}+i\sin\frac{a\pi}{3+b} \end{align*}}$
  とおく。ただし、i は虚数単位とする。複素数$\small\sf{z_n\ (n=1,2,3,\cdots )}$ を以下のように定める。
        $\small\sf{z_1=1\ ,\ \ z_2=1-w\ ,\ \ z_n=(1-w)z_{n-1}+wz_{n-2}\ \ (n=3,4,5,\cdots)}$
  このとき以下の問いに答えよ。

 (1) a=4、b=3のとき、複素数平面上の点$\small\sf{z_{1},\ z_2,\ z_3,\ z_4,\ z_5,\ z_6,\ z_7}$ をこの順に線分で
    結んでできる図形を図示せよ。

 (2) a=2、b=1のとき、$\small\sf{z_{63}}$ を求めよ。

 (3) さいころを2回投げ、1回目に出た目をa、2回目に出た目をbとする。このとき
    $\small\sf{z_{63}=0}$ である確率を求めよ.




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  1. 2019/06/09(日) 23:57:00|
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2019大阪大 理系数学3



第3問

  実数s、tが$\small\sf{s^2+t^2\leqq 6}$ を満たしながら変わるとき、xy平面上で点$\small\sf{(s+t\ ,\ st)}$ が動く領域を
  Aとする。このとき以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\left(2\ ,\ \sqrt2\right)}$ が領域Aの点かどうか判定せよ。

 (2) Aを図示せよ。

 (3) Aをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。



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  1. 2019/06/10(月) 23:57:00|
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