第1問

　　

解答はこちら↓

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【解答】

　　ア　
　　　　② 1ラジアンとは、半径が1、弧の長さが1の扇形の中心角の大きさである。

　　イ　 ～　カ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 144^{\circ}=\frac{144}{180}\pi\ (rad)=\underline{\frac{4}{5}\pi\ (rad)} \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{23}{12}\pi\ (rad)=180^{\circ}\times \frac{23}{12}=\underline{345^{\circ}}\end{align*}}$

　　キ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\theta+\frac{\pi}{5}\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta+\frac{\pi}{30}=x-\frac{\pi}{6}\end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　① $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\sin x-2\cos\left(x-\frac{\pi}{30}\right)=1\end{align*}}$

　　ク　 ～　コ　
　　　　加法定理より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)&=\sf\cos x\cos\frac{\pi}{6}+\sin x\sin\frac{\pi}{6} \\ &=\sf \frac{\sqrt3}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x\end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\sin x-2\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x\right)=1\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sin x-\sqrt3\cos x=1}\ \ \ \cdots\cdots(*) \end{align*}}$　　　
　　　　さらに
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{1^2+\left(\sqrt3\right)^2}=2\end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2\left(\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)=1 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}}\ \ \ \cdots\cdots(**)\end{align*}}$

　　サ　 ～　セ　
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\theta+\frac{\pi}{5}\ ,\ \frac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\pi \end{align*}}$ なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{11}{30}\pi\leqq x-\frac{\pi}{3}\leqq\frac{13}{15}\pi\end{align*}}$
　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (**)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x-\frac{\pi}{3}=\frac{5}{6}\pi \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=\frac{7}{6}\pi\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf\theta= \underline{\frac{29}{30}\pi}\end{align*}}$

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第1問

　　

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【解答】

　　ソ　 ～　タ　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log_3x^{\log_3x}\geq\log_3\left(\frac{x}{c}\right)^3\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\log_3x\right)^2\geqq 3\left(\log_3x-\log_3c\right)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\log_3x\right)^2-3\log_3x+3\log_3c\geqq 0\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{t^2-3t+3\log_3c\geqq 0} \end{align*}}$　　　･･････③

　　チ　 ～　ナ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3\log_3\sqrt[3]{9}=3\log_33^{\frac{2}{3}}=2\end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　③ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t^2-3t+2=(t-1)(t-2)\geqq 0 \end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{t\leqq 1\ ,\ \ 2\leqq t} \end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_3x\log_33\ ,\ \ \log_39\leqq\log_3x\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{0\lt x\leqq 3\ ,\ \ x\geqq 9}\ \ \left(\because\ 3\gt 1\right)\end{align*}}$

　　ニ　
　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x\gt 0 \end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=\log_3x\end{align*}}$ はすべての実数値を取り得る。

　　ヌ　 ～　ヒ　
　　　　　　　　③ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(t-\frac{3}{2}\right)^2+3\log_3c-\frac{9}{4}\geqq 0 \end{align*}}$
　　　　なので、これが常に成り立つためには
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3\log_3c-\frac{9}{4}\geqq 0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \log_3C\geqq\underline{\frac{3}{4}}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf c\geqq 3^{\frac{3}{4}}=\underline{\sqrt[4]{27}}\ \ \ (\because\ 3\gt 1) \end{align*}}$

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第2問

　　

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【解答】

　　ア　
　　　　直線 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ell :\ y=2x-1\end{align*}}$ の傾きは2

　　イ　 ～　エ　
　　　　導関数は $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y'=2px+q \end{align*}}$ なので、A(1，1)におけるCの接線の傾きを考えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2p+q=2\ \ \Leftrightarrow\ \ q=\underline{-2p+2} \end{align*}}$
　　　　さらに、CはAを通るので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1=p+q+r\ \ \Leftrightarrow\ \ r&=\sf 1-p-q \\ &=\sf 1-p-(-2p+2)\\ &=\sf\underline{p-1} \end{align*}}$

　　カ　 ～　ケ　
　　　　Cと $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ell\end{align*}}$ の位置関係は図のようになるので、
　　　　(Sは水色部分の面積）
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf\int_1^v\left\{\left(px^2+qx+r\right)-\left(2x-1\right)\right\}dx \\ &=\sf \int_1^v\left\{px^2+(q-2)x+r+1\right\}dx\\ &=\sf \int_1^v\left(px^2-2px+p\right)dx\\ &=\sf p\int_1^v(x-1)^2dx\\ &=\sf p\left[\frac{1}{3}(x-1)^3\right]_1^v\\ &=\sf \frac{p}{3}(v-1)^3\\ &=\sf \underline{\frac{p}{3}(v^3-3v^2+3v-1)}\end{align*}}$

　　コ　
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ell\end{align*}}$ とx軸の位置関係は図のようになるので、
　　　　(Tはピンク色部分の面積）
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T&=\sf\int_1^v(2x-1)dx \\ &=\sf \big[\ x^2-x\ \big]_1^v\\ &=\sf \underline{v^2-v}\end{align*}}$

　　サ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf U&=\sf S-T \\ &=\sf \frac{p}{3}(v^3-3v^2+3v-1)-(v^2-v)\\ &=\sf \frac{p}{3}v^3-(p+1)v^2+(p+1)v-\frac{p}{3}\end{align*}}$
　　　　vで微分すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dU}{dv}=\sf pv^2-2(p+1)v+p+1 \end{align*}}$
　　　　これが$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf v=2 \end{align*}}$ で0になればよいので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dU}{dv}\bigg| _{v=2}=4p-4(p+1)+p+1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\underline{3} \end{align*}}$
　　　　（十分性を調べる必要がありますが無視です笑）


　　シ　 ～　ソ　
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=3\end{align*}}$ のとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf U&=\sf v^3-4v^2+4v-1 \\ &=\sf (v-1)(v^2-3v+1) \end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf U=0\ \ \Leftrightarrow\ \ v=1\ ,\ \frac{3\pm\sqrt5}{2}\end{align*}}$
　　　　であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf v_0\gt 1\end{align*}}$ より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf v_0=\underline{\frac{3+\sqrt5}{2}}\end{align*}}$
　　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{3-\sqrt5}{2}\lt 1\lt\frac{3+\sqrt5}{2}\end{align*}}$
　　　　なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1\lt v\lt v_0 \end{align*}}$ の範囲でUは常に負の値のみをとる。③
　　　　

　　タ　 ～　チ　
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=3\end{align*}}$ のとき、Uをvで微分すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dU}{dv}=3v^2-8v+4=(3v-2)(v-2)\end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1\lt v\lt 2 \end{align*}}$ の範囲で $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dU}{dv}\lt 0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf v=2 \end{align*}}$ で $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dU}{dv}=0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\lt v \end{align*}}$ の範囲で $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dU}{dv}\gt 0\end{align*}}$
　　　　よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf v=2\end{align*}}$ のときUは最小となり、その値は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf U_{min}=2^3-4\cdot 2^2+4\cdot 2-1=\underline{-1 }\end{align*}}$

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第2問

　　

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【解答】

　　ツ　
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F(x)\end{align*}}$ は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)\end{align*}}$ の不定積分なので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F'(x)=\underline{f(x)}\end{align*}}$
　　　　よって、⑦

　　テ　
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x\geqq 1\end{align*}}$ の範囲で常に $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)\leqq 0 \end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf W&=\sf -\int_1^tf(x)\ dx \\ &=\sf -\bigg[\ F(x)\ \bigg]_1^t\\ &=\sf \underline{-F(t)+F(1)}\end{align*}}$
　　　　よって、④

　　ト　 ～　ヌ　
　　　　二等辺三角形の高さは
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{(t^2+1)^2-(t^2-1)^2}&=\sf \sqrt{(t^4+2t^2+1)-(t^4-2t^2+1)} \\ &=\sf \sqrt{4t^2}\\ &=\sf 2t\ \ \ (\because\ t\gt 0)\end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf W=-F(t)+F(1)&=\sf \frac{1}{2}\cdot 2t\cdot (2t^2-2) \\ &=\sf 2t^3-2t \end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ F(t)=-2t^3+2t+F(1)\end{align*}}$
　　　　両辺をtで微分すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F'(t)=f(t)=\underline{-6t^2+2} \end{align*}}$

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第3問

　　

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【解答】

　　ア　 ～　キ　
　　　　初項をa、公差をdとおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_4=a+3d=30&=\sf \\ &=\sf \\ &=\sf \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_8=\frac{1}{2}\cdot 8(2a+7d)=288\end{align*}}$
　　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{a=-6\ ,\ \ d=12} \end{align*}}$
　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=\frac{1}{2}n\left\{2\cdot (-6)+12(n-1)\right\}=\underline{6n^2-12n} \end{align*}}$

　　ク　 ～　ス　
　　　　初項をb、公比をr （＞1）とおくと、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_2=br=36\ \ \Leftrightarrow\ \ b=\frac{36}{r} \end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T_3=b+br+br^2=156\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{36}{r}(1+r+r^2)=156\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ 3r^2-10r+3=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ r=3\ ,\ \frac{1}{3}\end{align*}}$
　　　　r＞1なので
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r=\underline{3}\ ,\ \ b=\frac{36}{3}=\underline{12}\end{align*}}$


　　セ　 ～　チ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf d_n&=\sf c_{n+1}-c_n \\ &=\sf \sum_{k=1}^{n+1}\left\{(n+1)-k+1\right\}(a_k-b_k)-\sum_{k=1}^{n}(n-k+1)(a_k-b_k)\\ &=\sf \left\{\sum_{k=1}^{n}(n-k+2)(a_k-b_k)\right\}+(a_{n+1}-b_{n+1})-\sum_{k=1}^{n}(n-k+1)(a_k-b_k)\\ &=\sf \left\{\sum_{k=1}^{n}(a_k-b_k)\right\}+(a_{n+1}-b_{n+1})\ \ \ \ \ \ \bigg(\because\ (n-k+2)-(n-k+1)=1\bigg)\\ &=\sf \sum_{k=1}^{n+1}(a_k-b_k)\\ &=\sf \sum_{k=1}^{n+1}a_k-\sum_{k=1}^{n+1}b_k\\ &=\sf \underline{S_{n+1}-T_{n+1}}\\ &=\sf \left\{6(n+1)^2-12(n+1)\right\}-6(3^{n+1}-1)\\ &=\sf \underline{6n^2-2\cdot 3^{n+2}} \end{align*}}$


　　ツ　 ～　ネ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c_1&=\sf a_1-b_1 \\ &=\sf -6-12\\ &=\sf \underline{-18}\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n\geqq 2\end{align*}}$ のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c_n&=\sf c_1+\sum_{k=1}^{n-1}d_k \\ &=\sf -18+\sum_{k=1}^{n-1}\left(6k^2-2\cdot 3^{k+2}\right)\\ &=\sf -18+\frac{6}{6}n(n-1)(2n-1)-\frac{2\cdot 3^3(3^{n-1}-1)}{3-1}\\ &=\sf \underline{2n^3-3n^2+n+9-3^{n+2}}\end{align*}}$
　　　　これは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n=1\end{align*}}$ のときも成り立つ。

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第4問

　　

解答はこちら↓

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【解答】

　　ア　 ～　イ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AB}=\overrightarrow{\sf FB}-\overrightarrow{\sf FA}=\underline{\overrightarrow{\sf q}-\overrightarrow{\sf p}} \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf AB}|^2=|\overrightarrow{\sf q}-\overrightarrow{\sf p}|^2=\underline{|\overrightarrow{\sf p}|^2-2\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}+|\overrightarrow{\sf q}|^2} \end{align*}}$

　　ウ　 ～　カ　
　　　　Dは辺ABを1：3に内分する点なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf FD}=\underline{\frac{3}{4}\overrightarrow{\sf p}+\frac{1}{4}\overrightarrow{\sf q}} \end{align*}}$

　　キ　 ～　ケ　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf FD}=\frac{3}{4}\overrightarrow{\sf p}+\frac{1}{4}\overrightarrow{\sf q}=s\overrightarrow{\sf r} \end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf q}=\underline{-3\overrightarrow{\sf p}+4s\overrightarrow{\sf r}}\end{align*}}$

　　コ　 ～　シ　
　　　　　Eは辺BCを $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a:(1-a)\end{align*}}$ に内分する点なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf FE}=(1-a)\overrightarrow{\sf q}+a\overrightarrow{\sf r}=t\overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf q}=\underline{\frac{t}{1-a}\overrightarrow{\sf p}-\frac{a}{1-a}\overrightarrow{\sf r}}\end{align*}}$

　　ス　 ～　チ　
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf q}\end{align*}}$ は一次独立なので、係数を比較すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -3=\frac{t}{1-a}\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\underline{-3(1-a)} \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4s=-\frac{a}{1-a}\ \ \Leftrightarrow\ \ s=\underline{\frac{-a}{4(1-a)}}\end{align*}}$

　　ツ　 ～　テ　
　　　　③より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}&=\sf \frac{1}{4s}\left(3\overrightarrow{\sf p}+\overrightarrow{\sf q}\right) \\ &=\sf -\frac{1-a}{a}\left(3\overrightarrow{\sf p}+\overrightarrow{\sf q}\right)\end{align*}}$
　　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf BE}|^2&=\sf |a\overrightarrow{\sf BC}|^2 \\ &=\sf a^2\left|\overrightarrow{\sf r}-\overrightarrow{\sf q}\right|^2\\ &=\sf a^2\left|-\frac{1-a}{a}\left(3\overrightarrow{\sf p}+\overrightarrow{\sf q}\right)-\overrightarrow{\sf q}\right|^2\\ &=\sf \left|3(1-a)\overrightarrow{\sf p}+\overrightarrow{\sf q}\right|^2\\ &=\sf \underline{9(1-a)^2+6(1-a)\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}+|\overrightarrow{\sf q}|^2}\ \ \ \ \left(\because\ |\overrightarrow{\sf p}|=1\right) \end{align*}}$


　　ト　 ～　ヌ　
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf AB}|^2=|\overrightarrow{\sf BE}|^2\end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-2\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}+|\overrightarrow{\sf q}|^2=9(1-a)^2+6(1-a)\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}+|\overrightarrow{\sf q}|^2\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ (6a-8)\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}=9a^2-18a+8\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ 2(3a-4)\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}=(3a-4)(3a-2)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}=\underline{\frac{3a-2}{2}}\end{align*}}$

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