第1問

　　

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【解答】

　　ア　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (x+n)(n+5-x)&=\sf 5x-x^2+n^2+5n \\ &=\sf \underline{x(5-x)+n^2+5n}\end{align*}}$

　　イ　 ～　エ　
　　　　上式において$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n=1,\ 2\end{align*}}$ とするとそれぞれ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (x+1)(6-x)=x(5-x)+1^2+5\cdot 1=X+6 \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (x+2)(7-x)=x(5-x)+2^2+5\cdot 2=X+14 \end{align*}}$
　　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A&=\sf x(5-x)\cdot (x+1)(6-x)\cdot (x+2)(7-x) \\ &=\sf \underline{X(X+6)(X+14)}\end{align*}}$

　　オ　 ～　カ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf X&=\sf \frac{5+\sqrt{17}}{2}\cdot\left(5-\frac{5+\sqrt{17}}{2}\right) \\ &=\sf \frac{5+\sqrt{17}}{2}\cdot\frac{5-\sqrt{17}}{2}\\ &=\sf \underline{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf X&=\sf 2\cdot (2+6)\cdot (2+14) \\ &=\sf 2\cdot 2^3\cdot 2^4\\ &=\sf \underline{2^8}\end{align*}}$

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第1問

　　

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【解答】

　　キ　
　　　　要素を書きあげると　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{A=\{1,2,4,5,10,20\}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{B=\{3,6,9,12,15,18\}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{C=\{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20\}}$
　　　　$\scriptsize\sf{(a)\ 1\in A\ ,\ \ 1\notin C}$ なので誤っている。
　　　　$\scriptsize\sf{(b)\ A\cap B=\varnothing}$ なので正しい。
　　　　よって、②

　　ク　
　　　　要素を書きあげると　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{A\cup C=\{1,2,4,5,6,8,10,12,14,16,18,20\}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{(A\cup C)\cap B=\{6,12,18\}}$
　　　　となり、(c)は正しい。
　　　　一方、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\overline{A}\cap C=\{6,8,12,14,16,18\}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{B\cup C=\{2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20\}}$
　　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{(\overline{A}\cap C)\cup B=\{3,6,8,9,12,14,15,16,18\}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\overline{A}\cap (B\cup C)=\{3,6,8,9,12,14,15,16,18\}}$
　　　　となるので、(d)は正しい。
　　　　よって、⓪

　　ケ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p:\ |x-2|\gt 2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x-2\lt -2\ \ or\ \ 2\gt x-2 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x\lt\ \ or\ \ 4\lt x \end{align*}}$
　　　　なので、qまたはrであることは、pであるための必要十分条件である。②

　　ケ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s:\ \sqrt{x^2}\gt 4&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2\gt 16 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x\lt -4\ \ or\ \ 4\lt x\end{align*}}$
　　　　なので、sはrであるための必要条件であるが、十分条件ではない。⓪

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第1問

　　

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【解答】

　　サ　 ～　シ　
　　　　$\scriptsize\sf{a\gt 0}$ より、与式を平方完成すると、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)&=\sf ax^2-2(a+3)x-3a+21\\ &=\sf a\left(x-\frac{a+3}{a}\right)^2-\frac{(a+3)^2}{a}-3a+21\\ &=\sf a\left\{x-\left(1+\frac{3}{a}\right)\right\}^2-4a-\frac{3}{a}+15\end{align*}}$　
　　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=\underline{1+\frac{3}{a}}\end{align*}}$

　　ス　
　　　　$\scriptsize\sf{a\gt 0}$ より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4\leqq p=1+\frac{3}{a}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{1}{a}\geqq 1\\ &=\sf \underline{0\lt a\leqq 1}\end{align*}}$

　　セ　
　　　　$\scriptsize\sf{a\gt 0}$ より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq p\leqq 4&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 0\leqq 1+\frac{3}{a}\leqq 4\\ &=\sf -\frac{1}{3}\leqq \frac{1}{a}\leqq 1\\ &=\sf \underline{1\leqq a}\end{align*}}$

　　ソ　 ～　タ　
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a\leqq 1 \end{align*}}$ のとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(4)=16a-8(a+3)-3a+21=1\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\underline{\frac{4}{5}} \end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1\leqq a\end{align*}}$ のとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(p)=-4a-\frac{3}{a}+15=1&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 4a^2-14a+3=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a=\underline{\frac{7+\sqrt{37}}{4}\ \ \left(\because\ a\geqq 1\right)}\end{align*}}$

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第2問

　　

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【解答】

　　ア　 ～　オ　
　　　　△ABCで余弦定理
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\angle ABC=\frac{5^2+9^2-6^2}{2\cdot 5\cdot 9}=\underline{\frac{7}{9}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\sin\angle ABC =\sqrt{1-\left(\frac{7}{9}\right)^2}=\underline{\frac{4\sqrt2}{9}}\end{align*}}$

　　カ　 ～　キ　
　　　　AからBCに下した垂線の足をEとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AE=AB\cdot\sin\angle ABC=\frac{20\sqrt2}{9}\end{align*}}$
　　　　AD//BCのとき、AE≦CDである必要があるが
　　　　なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3\lt \frac{20\sqrt2}{9}\ \ \Leftrightarrow\ \ CD\lt AB\cdot\sin\angle ABC\end{align*}}$ 　　　
　　　　より、辺ADと辺BCは平行にならない。
　　　　よって、辺ABと辺CDが平行である。

　　ク　 ～　コ　
　　　　Dから直線BCに下した垂線の足をHとすると、∠ABC=∠DCHなので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf DH=DC\sin\angle ABC=\frac{4\sqrt2}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf CH=DC\cos\angle ABC=\frac{7}{3}\end{align*}}$
　　　　△DBHで三平方の定理
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BD=\sqrt{\left(\frac{4\sqrt2}{3}\right)^2+\left(3+\frac{7}{3}\right)^2}=\underline{2\sqrt{33}}\end{align*}}$

　　　　　　　　　　　

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第2問

　　

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【解答】

　　サ　 ～　シ　
　　　　⓪ 範囲が最も大きいのは男子短距離グループなので誤り
　　　　① 正しい
　　　　② 度数が最大なのは170～180の階級だが、中央値は176なので誤り
　　　　③ 度数が最大なのは165～170の階級だが、第1四分位数は170なので誤り
　　　　④ 最も身長が高いのは男子短距離の選手なので誤り
　　　　⑤ 最も身長が低いのは女子短距離の選手なので誤り
　　　　⑥ 正しい

　　ス　 ～　セ　
　　　　⓪ 4つのグループすべてにおいて、XとWには正の相関があるので誤り
　　　　① Zの中央値が最大なのは(a)の箱ひげ図であり、これは男子長距離なので誤り
　　　　② Zの範囲が最小なのは(d)の箱ひげ図であり、これは女子長距離なので誤り
　　　　③ 男子短距離の箱ひげ図は(a)であるが、Zの四分位範囲が最小ではないので誤り
　　　　④ 正しい
　　　　⑤ 正しい

　　ソ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(x_1-\overline{x}\right)\left(w_1-\overline{w}\right)+\left(x_2-\overline{x}\right)\left(w_2-\overline{w}\right)+\cdots \left(x_n-\overline{x}\right)\left(w_n-\overline{w}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{=x_1w_1+x_2w_2+\cdots +x_nw_n-\left(x_1+x_2+\cdots x_n\right)\overline{w}-\left(w_1+w_2+\cdots +w_n\right)\overline{x}+n\overline{x}\ \overline{w}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{=x_1w_1+x_2w_2+\cdots +x_nw_n-\left(n\overline{x}\right)\overline{w}-\left(n\overline{w}\right)\overline{x}+n\overline{x}\ \overline{w}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{=\underline{x_1w_1+x_2w_2+\cdots +x_nw_n-n\overline{x}\ \overline{w}}}$

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第3問

　　

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【解答】

　　　　以下、大小2個のさいころの目を(大のさいころの目，小のさいころの目)の
　　　　ように表すことにする。

　　ア　 ～　イ　
　　　　大の目が4になる確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(A)=\underline{\frac{1}{6}} \end{align*}}$

　　ウ　 ～　エ　
　　　　事象Bは、(1，6)、(2，5)、(3，4)、(4，3)、(5，2)、(6，1)
　　　　の6通りの場合があるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(B)=\frac{6}{6^2}=\underline{\frac{1}{6}} \end{align*}}$

　　オ　 ～　カ　
　　　　事象Cは、(3，6)、(4，5)、(5，4)、(6，3)の4通りの場合があるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(C)=\frac{4}{6^2}=\underline{\frac{1}{9}} \end{align*}}$

　　キ　 ～　コ　
　　　　事象A∩Cは、(4，5)の1通りの場合があるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(A\cap C)=\frac{1}{36}\end{align*}}$
　　　　よって、求める条件付き確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_C(A)=\frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{9}}=\underline{\frac{1}{4}} \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_A(C)=\frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{6}}=\underline{\frac{1}{6}} \end{align*}}$

　　サ　
　　　　事象A∩Bは、(4，3)の1通りの場合があるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(A\cap B)=\frac{1}{36}\end{align*}}$
　　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(A)\ P(B)=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36} \end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(A\cap B)=P(A)\ P(B)\end{align*}}$

　　シ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(A)\ P(C)=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{9}=\frac{1}{54} \end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(A\cap C)\gt P(A)\ P(C)\end{align*}}$

　　ス　 ～　タ　
　　　　事象A∩Cは、(3，6)、(5，4)、(6，3)の3通りの場合があるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(\overline{A}\cap C\right)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\end{align*}}$
　　　　よって、求める確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(A\cap B)\cdot P\left(\overline{A}\cap C\right)=\frac{1}{36}\cdot\frac{1}{12}=\underline{\frac{1}{432}}\end{align*}}$

　　チ　 ～　テ　
　　　　事象A∩Bは、(1，6)、(2，5)、(3，4)、(5，2)、(6，1)の5通りの場合があるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(\overline{A}\cap B\right)=\frac{5}{36}\end{align*}}$
　　　　よって、1回目に事象A∩Cが起こり、2回目に事象A∩Bが起こる確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(A\cap C)\cdot P\left(\overline{A}\cap B\right)=\frac{1}{36}\cdot\frac{5}{36}=\frac{5}{1296}\end{align*}}$
　　　　これらより、3つの事象A、B、Cがいずれもちょうど1回ずつ起こる確率は、
　　　　順序も考慮に入れると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\left\{P(A\cap B)\cdot P\left(\overline{A}\cap C\right)+P(A\cap C)\cdot P\left(\overline{A}\cap B\right)\right\}&=2\left(\frac{1}{432}+\frac{5}{1296}\right)=\underline{\frac{1}{81}} \end{align*}}$

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第4問

　　

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【解答】

　　ア　 ～　エ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{144=\underline{2^4\times 3^2}}$
　　　　144の正の約数の個数は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{(4+1)\times (2+1)=\underline{15}}$ 個

　　カ　 ～　ク　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{144\cdot 2-7\cdot 41=1}$　　･･････①
　　　　なので、求めるx、yは
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\underline{x=2\ ,\ y=41}}$

　　 ケ　 ～　シ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{144x-7y=1}$　　　･･････②
　　　　と①の差をとると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{144(x-2)-7(y-41)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 144(x-2)=7(y-41)}$
　　　　144と7は互いに素なので、整数kを用いて
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{x-2=7k\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\underline{7k+2}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{144\cdot 7k=7(y-41)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\underline{144k+41}}$

　　 ス　
　　　　144の倍数で、7で割ったら余りが1となる自然数をPとすると、
　　　　Pは整数x、yを用いて
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{P=144x=7y+1}$
　　　　と表すことができ、このx、yは②を満たすので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{P=144(7k+2)}$　
　　　　$\scriptsize\sf{k=0}$ のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{P=144\times 2=2^5\times 3^2}$
　　　　となり、Pの約数の個数は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{(5+1)\times (2+1)=18}$ 個
　　　　となるので、最小のものは$\scriptsize\sf{\underline{144\times 2}}$

　　 セ　～　ソ　
　　　　$\scriptsize\sf{k=1}$ のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{P=144\times 9=2^4\times 3^4}$
　　　　となり、Pの約数の個数は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{(4+1)\times (4+1)=25}$ 個

　　　　$\scriptsize\sf{k=2}$ のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{P=144\times 16=2^8\times 3^2}$
　　　　となり、Pの約数の個数は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{(8+1)\times (2+1)=27}$ 個

　　　　$\scriptsize\sf{k=3}$ のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{P=144\times 23=2^4\times 3^2\times 23}$
　　　　となり、Pの約数の個数は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{(4+1)\times (2+1)\times (1+1)=30}$ 個

　　　　以上より、求めるPの値は $\scriptsize\sf{￥underline{144\times 23}}$

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第5問

　　

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【解答】

　　ア　 ～　ウ　
　　　　線分ADは∠BACを二等分するので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{BD:CD=AB:AC=2:1}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BD=\frac{2}{2+1}BC=\frac{2}{3}\sqrt{2^2+1^2}=\underline{\frac{2\sqrt5}{3}} \end{align*}}$

　　エ　 ～　ケ　
　　　　方べきの定理より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB\cdot BE=BD^2=\left(\frac{2\sqrt5}{3}\right)^2=\underline{\frac{20}{9}} \end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB=2\end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB\cdot BE=2BE=\frac{20}{9}\ \ \Leftrightarrow\ \ BE=\underline{\frac{10}{9}} \end{align*}}$

　　コ　 ～　サ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{BE}{BD}=\frac{\frac{10}{9}}{\frac{2\sqrt5}{3}}=\frac{\sqrt5}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{AB}{BC}=\frac{2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}\end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\frac{BE}{BD}\lt\frac{AB}{BC}}\end{align*}}$
　　　　よって、直線ABと直線DEは辺ACの端点C側の延長上にある。

　　シ　 ～　ソ　
　　　　メネラウスの定理より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{CF}{AF}\cdot\frac{BD}{CD}\cdot\frac{EA}{BE}=\frac{CF}{AF}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2-\frac{10}{9}}{\frac{10}{9}}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{CF}{AF}=\underline{\frac{5}{8}}\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AC=1\end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{CF}{AF}=\frac{CF}{1+CF}=\frac{5}{8}\ \ \Leftrightarrow\ \ 8CF=5CF+5\ \ \Leftrightarrow\ \ CF=\underline{\frac{5}{3}} \end{align*}}$

　　タ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{CF}{AC}=\frac{BF}{AB} \end{align*}}$
　　　　なので、BCは∠ABFを二等分する。また、ADは∠BAFを二等分するので、
　　　　Dは△ABFの内心である。

　　　　　

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