第1問

　　

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【解答】

　　ア　 　～　エ　
　　　　cosの倍角公式より　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos2\alpha+\cos2\beta=(2\cos^2\alpha-1)+(2\cos^2\beta-1)=\frac{4}{15} \end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos^2\alpha+\cos^2\beta=\underline{\frac{17}{15}}\end{align*}}$

　　オ　
　　　　②の両辺を2乗すると
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos^2\alpha\cos^2\beta=\left(-\frac{2\sqrt{15}}{15}\right)^2=\underline{\frac{4}{15}}\end{align*}}$

　　カ　 ～　ケ　
　　　　解と係数の関係より $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos^2\alpha\ ,\ \cos^2\beta\end{align*}}$ はtについての二次方程式
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 15t^2-17t+4=0\end{align*}}$
　　　　の2解であり、③より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos^2\alpha=\underline{\frac{4}{5}}\ ,\ \ \cos^2\beta=\underline{\frac{1}{3}}\end{align*}}$

　　ソ　 ～　ソ　
　　　②と $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq \alpha\leqq\pi\ ,\ \ 0\leqq\beta\leqq\pi\ ,\ \ \alpha\lt\beta\end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\alpha=\underline{-\frac{2\sqrt5}{5}}\ ,\ \ \cos\beta=\underline{-\frac{\sqrt3}{3}}\end{align*}}$

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第1問

　　

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【解答】

　　タ　
　　　　真数条件より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{p\gt 0\ ,\ q\gt 0} \end{align*}}$

　　チ　 ～　ナ　
　　　　ABを1：2に内分する点のx座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2\cdot 0+1\cdot p}{1+2}=\underline{\frac{1}{3}p}\end{align*}}$
　　　　ABを1：2に内分する点のy座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2\cdot \frac{3}{2}+1\cdot \log_2p}{1+2}=\underline{\frac{1}{3}\log_2p+1}\end{align*}}$

　　ニ　 ～　ネ　
　　　　⑤より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\log_2p+1=\log_2q \end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_2p=3\left(\log_2q-1\right)=\log_2\left(\frac{q}{2}\right)^3\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p=\left(\frac{q}{2}\right)^3=\underline{\frac{1}{8}q^3}\end{align*}}$

　　ノ　 ～　フ　
　　　　④より $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=3q \end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{8}q^3=3q\ \ \Leftrightarrow\ \ q(q^2-24)=0\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q\gt 0\end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q=\underline{2\sqrt6}\ ,\ \ p=3q=\underline{6\sqrt6} \end{align*}}$

　　ヘ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log_22\sqrt6&=\sf 2+\frac{1}{2}\log_2(2\cdot 3)\\ &=\sf 1+\frac{1}{2}\cdot\frac{\log_{10}2+\log_{10}3}{\log_{10}2}\\ &=\sf 1+\frac{0.3010+0.4771}{2\cdot 0.3010}\\ &=\sf 2.29\cdots \end{align*}}$
　　　　なので、⑥が正解

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第2問

　　

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【解答】

　　ア　 ～　イ　
　　　　導関数は、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y'=2x\end{align*}}$ なので、接線の方程式は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y-(t^2+1)=2t(x-t) \end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{y=2tx-t^2+1} \end{align*}}$　　･･････(*)

　　ウ　 ～　ク　
　　　　(*)が点Pを通るので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2a=2at-t^2+1 \end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{t^2-2at+2a-1=0}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \{t-(2a-1)\}(t-1)=0\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=\underline{2a-1\ ,\ 1}\end{align*}}$

　　　ケ　 ～　セ　
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=2a-1\end{align*}}$ のときの接線は(*)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y&=\sf 2(2a-1)x-(2a-1)^2+1 \\ &=\sf \underline{(4a-2)x-4a^2+4a} \end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=1\end{align*}}$ のときの接線は(*)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\underline{2x} \end{align*}}$
　　　　これらが一致しないのは
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2a-1\ne 1\ \ \Leftrightarrow\ \ a\ne \underline{1}\end{align*}}$
　　　　のときである。

　　ソ　 ～　タ　 　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r=-4a^2+4a=-4a(a-1)\gt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{0\lt a\lt 1} \end{align*}}$

　　チ　 ～　テ　 　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf\frac{1}{2}ar \\ &=\sf\frac{1}{2}a(-4a^2+4a) \\ &=\sf\underline{2(a^2-a^3)} \end{align*}}$

　　ト　 ～　ネ　
　　　　Sをaで微分すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S'=2(2a-3a^2)=-2a(3a-2)\end{align*}}$
　　　　となり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a\lt 1\end{align*}}$ の範囲で増減を調べると、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=\underline{\frac{2}{3}}\end{align*}}$ でSは最大となり、その値は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_{max}=2\left\{\left(\frac{2}{3}\right)^2-\left(\frac{2}{3}\right)^3\right\}=\underline{\frac{8}{27}} \end{align*}}$

　　ノ　 ～　フ　
　　　　Cは下に凸な放物線なので、接線$\scriptsize\sf{\ell}$ はCの下側にある。
　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T&=\sf \int_0^a\left[(x^2+1)-\left\{(4a-2)x-4a^2+4a\right\}\right]dx \\ &=\sf\int_0^a\left\{x^2-2(2a-1)x+(2a-1)^2\right\}dx \\ &=\sf\int_0^a(x-2a+1)^2dx \\ &=\sf\left[\frac{1}{3}(x-2a+1)^3\right]_0^a \\ &=\sf \underline{\frac{7}{3}a^3-3a^2+a}\end{align*}}$

　　ヘ　
　　　　Tをaで微分すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T'=7a^2-6a+1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{3\pm\sqrt2}{7}\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{3}\leqq a\lt 1\end{align*}}$ の範囲で常に $\scriptsize\sf{T'\gt 0}$ となるので、Tは増加する。②

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第3問

　　

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【解答】

　　ア　 ～　イ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{s_1=1\ ,\ s_2=2\ ,\ s_3=4}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{s_1s_2s_3=\underline{8}\ ,\ \ s_1+s_2+s_3=\underline{7}}$

　　ウ　 ～　ケ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{s_1=x\ ,\ s_2=xr\ ,\ s_3=xr^2}$
　　　　なので、①より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{s_1s_2s_3=x^3r^3=a^3\ \ \Leftrightarrow\ \ xr=\underline{a}}$
　　　　これと②より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{s_1+s_2+s_3=x(1+r+r^2)=b}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a}{r}(1+r+r^2)=b\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{ar^2+(a-b)r+a=0}}$
　　　　これが実数解をもてばよいので、判別式を考えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{D=(a-b)^2-4a^2\geqq 0}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{3a^2+2ab-b^2\leqq 0}}$

　　コ　 ～　シ　
　　　　④に$\scriptsize\sf{a=64\ ,\ b=336}$ を代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 64r^2-272r+64=16\left(r-4\right)\left(4r-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ r=\underline{4}\ \ \left(\because\ r\gt 1\right)\end{align*}}$
　　　　これと③より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4x=64\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\underline{16}\end{align*}}$

　　ス　 ～　セ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s_n=16\cdot 4^{n-1}=4^{n+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t_n&=\sf 4^{n+1}\log_44^{n+1}\\ &=\sf \underline{\left(n+1\right)\cdot 4^{n+1}} \end{align*}}$

　　ソ　 ～　ナ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{U_n=2\cdot 4^2+3\cdot 4^3+\cdots +(n+1)\cdot 4^{n+1}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{4U_n=2\cdot 4^3+3\cdot 4^4+\cdots +n\cdot t4^{n+1}+(n+1)\cdot 4^{n+2}}$
　　　　辺々差をとると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -3U_n&=\sf 2\cdot 4^2+4^3+4^4+\cdots 4^{n+1}-(n+1)\cdot 4^{n+2} \\ &=\sf 4^2+\left(4^2+4^3+4^4+\cdots 4^{n+1}\right)-(n+1)\cdot 4^{n+2}\\ &=\sf 16+\frac{4^2(4^n-1)}{4-1}-(n+1)\cdot 4^{n+2} \end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ U_n=\underline{\frac{3n+2}{9}\cdot 4^{n+2}-\frac{32}{9}}\end{align*}}$

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第4問

　　

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【解答】

　　ア　 ～　ウ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf B\left(2\cos\frac{\pi}{3}\ ,\ 2\sin\frac{\pi}{3}\right)=\underline{\left(1\ ,\ \sqrt3\right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D\left(2\cos\pi\ ,\ 2\sin\pi\right)=\underline{\left(-2\ ,\ 0\right)}\end{align*}}$

　　エ　 ～　キ　
　　　　BDの中点M
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf M\left(\frac{1+(-2)}{2}\ ,\ \frac{\sqrt3+0}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2}\ ,\ \frac{\sqrt3}{2}\right) \end{align*}}$
　　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\overrightarrow{\sf AM}=\left(-\frac{1}{2}\ ,\ \frac{\sqrt3}{2}\right)-\left(2,\ 0\right)=\underline{\left(-\frac{5}{2}\ ,\ \frac{\sqrt3}{2}\right)} \end{align*}}$

　　エ　 ～　キ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C\left(2\cos\frac{2}{3}\pi\ ,\ 2\sin\frac{2}{3}\pi\right)=\left(-1\ ,\ \sqrt3\right)\end{align*}}$
　　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\overrightarrow{\sf DC}=\left(-1\ ,\ \sqrt3\right)-\left(-2,\ 0\right)=\underline{\left(1\ ,\ \sqrt3\right)} \end{align*}}$

　　コ　 ～　ツ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf ON}=(2,\ 0)+r\left(-\frac{5}{2}\ ,\ \frac{\sqrt3}{2}\right)=\left(2-\frac{5}{2}r\ ,\ \frac{\sqrt3}{2}r\right) \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\overrightarrow{\sf ON}=\left(-2,\ 0\right)+s\left(1\ ,\ \sqrt3\right)=\left(-2+s\ ,\ \sqrt3\ s\right)\end{align*}}$
　　　　成分を比較すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2-\frac{5}{2}r=-2+s \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\sqrt3}{2}r=\sqrt3s \end{align*}}$
　　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{r=-\frac{4}{3}\ ,\ s=\frac{2}{3}} \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf ON}=\left(-2,\ 0\right)+\frac{2}{3}\left(1,\ \sqrt3\right)=\underline{\left(-\frac{4}{3}\ ,\ \frac{2\sqrt3}{3}\right)}\end{align*}}$

　　テ　 ～　ナ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(2\cos\frac{\pi}{3}\ ,\ a\pi\right)=\left(1\ ,\ a\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf E\left(2\cos\frac{4}{3}\pi\ ,\ 2\sin\frac{4}{3}\pi\right)=\left(-1\ ,\ -\sqrt3\right)\end{align*}}$
　　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf EP}=\left(1\ ,\ a\right)-\left(-1\ ,\ -\sqrt3\right)=\underline{\left(2,\ a+\sqrt3\right)}\end{align*}}$

　　テ　 ～　ナ　
　　　　Hのx座標をhとおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CH}=\left(h\ ,\ a\right)-\left(-1\ ,\ \sqrt3\right)=\left(h+1,\ a-\sqrt3\right)\end{align*}}$
　　　　CH⊥EPなので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CH}\cdot\overrightarrow{\sf EP}=2\left(h+1\right)+\left(a+\sqrt3\right)\left(a-\sqrt3\right)=0\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2h+2+a^2-3=0=\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ h=\frac{-a^2+1}{2}\end{align*}}$
　　　　よって、Hの座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\left(\frac{-a^2+1}{2}\ ,\ a\right)}\end{align*}}$

　　ヒ　 ～　ヘ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OH}=\frac{-a^2+1}{2}+a^2=\sqrt{\left(\frac{-a^2+1}{2}\right)^2+a^2}\sqrt{1+a^2}\cos\theta\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a^2+1}{2}=\frac{12}{13}\cdot\frac{a^2+1}{2}\sqrt{a^2+1}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=\underline{\pm\frac{5}{12}}\end{align*}}$

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