第１問

　　

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【解答】

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2+\frac{4}{x^2}=9\end{align*}}$


　　アイ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(x+\frac{2}{x}\right)^2=x^2+\frac{4}{x^2}+4=9+4=\underline{13}\end{align*}}$

　　ウ　 ～　カ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^3+\frac{8}{x^3}&=\sf x^3+\left(\frac{2}{x}\right)^3\\ &=\sf \left(x+\frac{2}{x}\right)\left\{x^2-x\cdot\frac{2}{x}+\left(\frac{2}{x}\right)^2\right\} \\ &=\sf \left(x+\frac{2}{x}\right)\left(x^2+\frac{4}{x^2}-\underline{2}\right) \\ &=\sf \sqrt{13}\left(9-2\right)\\ &=\sf \underline{7\sqrt{13}}\end{align*}}$

　　キク　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^4+\frac{16}{x^4}&=\sf \left(x^2\right)^2+\left(\frac{4}{x^2}\right)^2\\ &=\sf \left(x^2+\frac{4}{x^2}\right)^2-2\cdot x^2\cdot\frac{4}{x^2} \\ &=\sf 9^2-8\\ &=\sf \underline{73}\end{align*}}$

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第１問

　　

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【解答】

　　　　　　　　p： x=1
　　　　　　　　q： x²=1　⇔　x=±1

　　ケ　
　　　　q⇒pは偽、p⇒qは真なので、qはpの必要条件だが、十分条件ではない。⓪

　　コ　
　　　　p： x≠1
　　　　p⇒qは偽、q⇒pは偽なので、qはpの必要条件でも十分条件ではない。③

　　サ　
　　　　pまたはq： x=1またはx≠±1　 ⇔　 x≠－1
　　　　(pまたはq)⇒qは偽、q⇒(pまたはq)は偽なので、
　　　　(pまたはq)はqの必要条件でも十分条件ではない。③

　　シ　
　　　　pかつq： x≠1かつx＝±1　 ⇔　 x=－1
　　　　(pかつq)⇒qは真、q⇒(pかつq)は偽なので、
　　　　(pかつq)はqの十分条件だが必要条件ではない。①

　　ス　
　　　　A･･･ pかつq：x=1なので、(pかつq)⇒rは真
　　　　B･･･ q：x=±1なので、q⇒rは偽
　　　　C･･･ q： x≠±1、　p： x≠1なので、なので、q⇒pは真
　　　　以上より、②

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第1問

　　

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【解答】

　　セ　 ～　ト　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(a)&=\sf x^2-3(3a^2+5a)+18a^4+30a^3+49a^2+16 \\ &=\sf \left\{x-(3a^2+5a)\right\}^2+9a^4+24a^2+16\end{align*}}$
　　　なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=g(a)\end{align*}}$ の頂点の座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\left(3a^2+5a\, \ 9a^4+24a^2+16\right)}\end{align*}}$

　　ナ　 ～　ネ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3a^2+5a&=\sf 3\left(a+\frac{5}{6}\right)^2-\frac{25}{12}\end{align*}}$
　　　なので、頂点のx座標の最小値は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf-\frac{25}{12}\end{align*}}$ である。

　　ノハ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 9a^4+24a^2+16&=\sf 9t^2+24t+16\\ &=\sf 9\left(t+\frac{4}{3}\right)^2 \end{align*}}$
　　　ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t\geqq 0\end{align*}}$ なので、頂点のy座標はt=0のとき最小となり、
　　　その値はのとき、16である。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{}$

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第2問

　　

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【解答】

　　ア　
　　　　△ABCで余弦定理　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AC^2=\sf\left(\sqrt3-1\right)^2+\left(\sqrt3+1\right)^2-2\left(\sqrt3-1\right)\left(\sqrt3+1\right)\cos 60^{\circ}=6 \end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf &=\sf AC=\underline{\sqrt6} \end{align*}}$

　　イ　
　　　　△ABCの外接円の半径をRとする。△ABCで正弦定理　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\sqrt6}{\sin60^{\circ}}="R\ \ \Leftrightarrow\ \ R=\underline{\sqrt2} \end{align*}}$

　　ウ　 ～　オ　
　　　　△ABCで正弦定理　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\sqrt3+1}{\sin\angle BAC}=2\sqrt2\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\angle BAC=\frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}=\underline{\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}} \end{align*}}$

　　カ　 ～　サ　 　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle ABD=\frac{1}{2}AB\cdot AD\sin\angle BAD \end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\sqrt2}{6}=\frac{1}{2}AB\cdot AD\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} \end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ AB\cdot AD=\underline{\frac{2\sqrt3-2}{3}}\end{align*}}$
　　　　ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB=\sqrt3-1\end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AD=\frac{2\sqrt3-2}{3\left(\sqrt3-1\right)}=\underline{\frac{2}{3}} \end{align*}}$

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第2問

　　

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【解答】

　　シ　 ～　セ　
　　　　①、④、⑤

　　ソ　 ～　チ　
　　　　Xの偏差はDの偏差の1.8倍になる。
　　　　Xの分散はDの分散の1.8²=3.24倍 ④　
　　　　XとYの共分散はDとYの共分散の1.8倍 ③
　　　　Xの標準偏差はDの標準偏差の$\scriptsize\sf{\sqrt{1.8}}$ 倍になるのでXとYの相関係数はDとYの相関係数の　　　　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1.8}{\sqrt{1.8}\cdot\sqrt{1.8}}=1\end{align*}}$ 倍になる。 ②

　　ツ　
　　　　1回目のX+Yの最小値は108.0なので、1回目の箱ひげ図はbとなる。
　　　　この箱ひげ図より、1回目の中央値は120～125の階級の範囲にあり、
　　　　これを表しているヒストグラムはAである。⓪

　　テ　
　　　　箱ひげ図bより、2回目の中央値は110～115の範囲にあるので ①が正しい。

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第3問

　　

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【解答】

　　ア　 ～　イ　 　
　　　　A、B二人ともはずれる確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\end{align*}}$
　　　　なので、A、Bの少なくとも一方が当たる確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-\frac{1}{6}=\underline{\frac{5}{6}}\end{align*}}$

　　ウ　 ～　オ　
　　　　A、B、Cの3人で2本の当たりくじを引く事象は
　　　　　・BとCが当たり、Aだけがはずれる
　　　　　・CとAが当たり、Bだけがはずれる
　　　　　・AとBが当たり、Cだけがはずれる
　　　　の3つの排反事象の和集合なので①、③、⑤

　　カ　 ～　キ　
　　　　Aだけがはずれる確率
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\end{align*}}$
　　　　Bだけがはずれる確率
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\end{align*}}$
　　　　Cだけがはずれる確率
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{4}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{2}=\frac{1}{6}\end{align*}}$
　　　　よって、事象Eの確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\underline{\frac{1}{2}}\end{align*}}$

　　ク　 ～　ケ　
　　　　事象E₁が起こったときの事象Eが起こる条件付き確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{6}}=\underline{\frac{3}{5}}\end{align*}}$

　　コ　 ～　シ　
　　　　B、Cの少なくとも一方が当たりくじを引く事象は
　　　　　・Aがはずれる（このときBかCは必ず当たる）
　　　　　・CとAが当たり、Bだけがはずれる
　　　　　・AとBが当たり、Cだけがはずれる
　　　　の3つの排反事象の和集合なので⓪、③、⑤

　　ス　 ～　タ　
　　　　Aがはずれる確率
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{4}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　Bだけがはずれる確率
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\end{align*}}$
　　　　Cだけがはずれる確率
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{4}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{2}=\frac{1}{6}\end{align*}}$
　　　　よって、事象E₂の確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\underline{\frac{5}{6}}\end{align*}}$
　　　　同様に、事象E₃の確率も $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\frac{5}{6}}\end{align*}}$

　　チ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_1=p_2=p_3=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{6}}=\frac{3}{5}\end{align*}}$
　　　　なので⑥

　　

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第4問

　　

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【解答】

　　ア　 ～　イ　
　　　　4の倍数は、下2桁が00か4の倍数になるので、a=2，6

　　ウ　 ～　キ　
　　　　4の倍数は、下2桁が00か4の倍数になるので、a=2，6
　　　　9の倍数は、各位の数の和が9の倍数なので、7+b+5+cが9の倍数
　　　　これらを満たすb、cの値の組は
　　　　　　　　　(b，c)=(4，2)、(0，6)、(9，6)
　　　　の3個ある。
　　　　このうち最小のものは、b=0、c=6
　　　　最大のものは、b=9、c=6

　　ク　 ～　サ　
　　　　　　　　7452=2²×3⁴×23
　　　　　　　　7956=2²×3²×13×17
　　　　　　　　7056=2⁴×3²×7²=(6×14)²
　　　なので、b=0、 c=6、n=14

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第5問

　　

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【解答】

　　ア　～　エ　
　　　　方べきの定理より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{BC\cdot CE=CD\cdot CA=\underline{28}}$
　　　　$\scriptsize\sf{BC=8}$ より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf CE=\frac{28}{8}=\underline{\frac{7}{2}}\end{align*}}$

　　オ　～　コ　
　　　　メネラウスの定理より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{BF}{AF}\cdot\frac{EC}{BE}\cdot\frac{DA}{CD}=\frac{BF}{AF}\cdot\frac{7}{9}\cdot\frac{3}{4}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{BF}{AF}＝\underline{\frac{12}{7}}\end{align*}}$

　　オ　～　コ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{AF=x\ ,\ BF=x+3}$ とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{BF}{AF}=\frac{x+3}{x}=\frac{12}{7}\ \ \Leftrightarrow\ \ AF=\underline{\frac{21}{5}}\end{align*}}$

　　サシ　
　　　　△ABCで余弦定理
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\angle ABC= \frac{-7^2+3^2+8^2}{2\cdot 3\cdot 8}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \angle ABC=\underline{60^{\circ}}\ \ \ \left(\because\ 0^{\circ}\lt\angle ABC\lt 180^{\circ}\right) \end{align*}}$

　　ス　 ～　ソ　
　　　　内接円の半径をr、中心をIとおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\triangle IAB+\triangle IBC+\triangle ICA=\triangle ABC}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{r}{2}(8+7+3)=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 3\sin 60^{\circ}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ 9r=6\sqrt3\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ r=\underline{\frac{2\sqrt3}{3}}\end{align*}}$

　　タ　 ～　ツ　
　　　　直線AIと辺BCの交点をTとおくと、ATは∠BACを二等分するので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{BT}{CT}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{7}\end{align*}}$
　　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BT=\frac{3}{10}BC=\frac{12}{5} \end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{BI=y}$ とおくと、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\angle ABI=\angle TBI=\frac{1}{2}\angle ABT=30^{\circ}\end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\triangle ABT=\frac{3}{10}\triangle ABC=\triangle ABI+\triangle TBI\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{3}{10}\cdot 6\sqrt3=\frac{1}{2}\cdot 3y\sin30^{\circ}+\frac{1}{2}\cdot \frac{12}{5}y\sin30^{\circ}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\underline{\frac{4\sqrt3}{3}}\end{align*}}$

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