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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018浜松医科大 数学1



第1問

  自然数nに対して $\small\sf{\begin{align*}\rm I_{\sf n}\sf =\int\frac{1}{\cos^nx}dx\end{align*}}$ とするとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 不定積分I2を求めよ。

 (2) 不定積分I4を求めよ。

 (3) 不定積分I3を求めよ。

        




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  1. 2018/08/02(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .浜松医科大  2018
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2018浜松医科大 数学2



第2問

  自然数k、nがk≦nを満たすとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 不等式
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{n}{k}\right)^k\leq _nC_k \end{align*}}$
    を証明せよ。

 (2) すべての実数tに対して、$\small\sf{\begin{align*}\sf 1+t\leq e^t\end{align*}}$ を証明せよ。

 (3) 0以上のすべての実数tに対して、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf _nC_kt^k\leq e^{nt} \end{align*}}$
    を証明せよ。

 (4) 不等式
        $\small\sf{\begin{align*}\sf _nC_k\leq\left(\frac{en}{k}\right)^k \end{align*}}$
    を証明せよ。

 (5) n=1023、k=102のとき、nCkの桁数の下2桁を切り捨てた値を求めよ。




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  1. 2018/08/03(金) 23:57:00|
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2018浜松医科大 数学3



第3問

  △ABCの各頂点A、B、Cの対辺の長さをそれぞれa、b、c、 重心をG、内心をIとする。
  以下の問いに答えよ。

 (1)
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\rm I \sf G}=\left(\frac{1}{3}-\frac{b}{a+b+c}\right)\overrightarrow{\sf AB}+\left(\frac{1}{3}-\frac{c}{a+b+c}\right)\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
    を証明せよ。

 (2) $\small\sf{\overrightarrow{\rm I\sf G}=\overrightarrow{\sf 0}}$ は、△ABCが正三角形であるための必要十分条件であることを証明せよ。

 (3) △ABC が正三角形でないとき、次の条件p、qは同値であることを証明せよ。
    p: 順番を適当に入れ替えれば、a、b、cは等差数列をなす。
    q: 線分IGと平行な辺が存在する。




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  1. 2018/08/04(土) 23:57:00|
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2018浜松医科大 数学4



第4問

  定数a、b、cを用いて、数列{Sn}を
        Sn=an+bn+cn  (n=1,2,3,・・・)
  により定める。

 (1) 恒等式
        $\small\sf{\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)=x^3-\left(a+b+c\right)x^2+\left(ab+bc+ca\right)x-abc}$
    を用いてSn+3、Sn+2、Sn+1、Snが満たす漸化式を求めよ。

 (2) a+b+c=0、 abc≠0のとき、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{S_2S_3}{S_5}\ ,\ \ \frac{\left(S_2\right)^2S_3}{S_7}\ ,\ \ \frac{S_2S_5}{S_7}\end{align*}}$
    のそれぞれの値を求めよ。

 (3) (2)で求めた3つの値に共通してあてはまる規則を1つ挙げよ。





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  1. 2018/08/05(日) 23:57:00|
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