第１問
自然数nに対して $\small\sf{\begin{align*}\rm I_{\sf n}\sf =\int\frac{1}{\cos^nx}dx\end{align*}}$ とするとき、以下の問いに答えよ。
(１) 不定積分I2を求めよ。
(２) 不定積分I4を求めよ。
(３) 不定積分I3を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
以下の、C1、C4、C3は積分定数
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\rm I_{\sf 2}\sf =\int\frac{1}{\cos^2x}dx=\underline{\tan x+C_1}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{t=\tan x}$ と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dt}{dx}=\frac{1}{\cos^2x}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\rm I_{\sf 4}&=\sf\int\frac{1}{\cos^4x}dx \\ &=\sf\int\frac{1}{\cos^2x}dt \\ &=\sf \int\left(1+\tan^2x\right)dt\\ &=\sf \int\left(1+t^2\right)dt\\ &=\sf t+\frac{1}{3}t^3+C_4\\ &=\sf \underline{\tan x+\frac{1}{3}\tan^3x+C_4}\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{s=\sin x}$ と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{ds}{dx}=\cos x\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\rm I_{\sf 3}&=\sf\int\frac{1}{\cos^3x}dx \\ &=\sf\int\frac{1}{\cos^3x}\cdot\frac{ds}{\cos x} \\ &=\sf\int\frac{1}{\cos^4x}ds \end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\cos^2x=1-\sin^2x=1-s^2}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{\cos^4x}&=\sf \left(\frac{1}{1-s^2}\right)^2 \\ &=\sf \left\{\frac{1}{\left(1-s\right)\left(1+s\right)}\right\}^2\\ &=\sf\left\{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-s}+\frac{1}{1+s}\right)\right\}^2 \\ &=\sf \frac{1}{4}\left\{\frac{1}{\left(1-s\right)^2}+\frac{1}{\left(1+s\right)^2}+\frac{2}{\left(1-s\right)\left(1+s\right)}\right\}\\ &=\sf \frac{1}{4}\left\{\frac{1}{\left(1-s\right)^2}+\frac{1}{\left(1+s\right)^2}+\frac{1}{1-s}+\frac{1}{1+s}\right\}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\rm I_{\sf 3}&=\sf\frac{1}{4}\int\left\{\frac{1}{\left(1-s\right)^2}+\frac{1}{\left(1+s\right)^2}+\frac{1}{1-s}+\frac{1}{1+s}\right\}ds\\ &=\sf \frac{1}{4}\left(\frac{1}{1-s}-\frac{1}{1+s}-\log |1-s|+\log |1+s|\right)+C_3\\ &=\sf \frac{1}{4}\left(\frac{2t}{1-s^2}+\log\left|\frac{1+s}{1-s}\right|\right)+C_3\\ &=\sf \underline{\frac{1}{4}\left(\frac{2\sin x}{\cos^2x}+\log\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)+C_3}\end{align*}}$
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第２問
自然数k、nがk≦nを満たすとき、以下の問いに答えよ。
(１) 不等式
$\small\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{n}{k}\right)^k\leq _nC_k \end{align*}}$
を証明せよ。
(２) すべての実数tに対して、$\small\sf{\begin{align*}\sf 1+t\leq e^t\end{align*}}$ を証明せよ。
(３) 0以上のすべての実数tに対して、
$\small\sf{\begin{align*}\sf _nC_kt^k\leq e^{nt} \end{align*}}$
を証明せよ。
(４) 不等式
$\small\sf{\begin{align*}\sf _nC_k\leq\left(\frac{en}{k}\right)^k \end{align*}}$
を証明せよ。
(５) n=1023、k=102のとき、nCkの桁数の下2桁を切り捨てた値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
0≦m＜k≦nを満たす整数mに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{n-m}{k-m}-\frac{n}{k}&=\sf \frac{k\left(n-m\right)-n\left(k-m\right)}{k\left(k-m\right)} \\ &=\sf \frac{m\left(n-k\right)}{k\left(k-m\right)}\\ &\geq\sf 0\end{align*}}$
が成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt\frac{n}{k}\leq\frac{n}{k}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt\frac{n}{k}\leq\frac{n-1}{k-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt\frac{n}{k}\leq\frac{n-1}{k-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\vdots}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt\frac{n}{k}\leq\frac{n-k+2}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt\frac{n}{k}\leq\frac{n-k+1}{1}\end{align*}}$
これらを辺々かけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{n}{k}\right)^k\leq\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\cdots\cdots\left(n-k+1\right)}{k\left(k-1\right)\left(k-2\right)\cdots\cdots \cdot 1}=_nC_k\end{align*}}$
となり、題意は示された。
(２)
関数f(t)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(t)=e^t-\left(t+1\right) \end{align*}}$
とおくと、導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(t)=e^t-1 \end{align*}}$
となるので、f(t)の増減は次のようになる。
これより、常にf(t)≧0なので、不等式
$\scriptsize\sf{1+t\leq e^t}$
が成り立つ。
(３)
t≧0のとき、(２)の不等式は
$\scriptsize\sf{0\lt 1+t\leq e^t}$
であり、両辺をn乗すると、二項定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf e^n&\geq\sf \left(1+t\right)^n \\ &=\sf \sum_{k=0}^n\ _nC_kt^k\\ &\geq\sf _nC_kt^k\ \ \ \left(\because\ t\geq 0\right)\end{align*}}$
が成り立つ。
(４)
(３)の不等式において $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=\frac{k}{n}\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf _nC_k\cdot\left(\frac{k}{n}\right)^k\leq e^{n\cdot\frac{k}{n}}\ \ \Leftrightarrow\ \ _nC_k\leq\left(\frac{en}{k}\right)^k \end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(５)
(１)、(４)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{n}{k}\right)^k\leq _nC_k\leq\left(\frac{en}{k}\right)^k \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(\frac{10^{23}}{10^2}\right)^{100}\leq _nC_k\leq\left(\frac{10^{23}e}{10^2}\right)^{100} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 10^{2100}\leq _nC_k\leq 10^{2100}\cdot e^{100}\end{align*}}$
常用対数をとると、e＜10より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2100\leq \log_{10}\ _nC_k\leq 2100+100\log_{10}e\lt 2200\end{align*}}$
となるので、nCkの桁数の下2桁を切り捨てた値は2100である。
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第３問
△ABCの各頂点A、B、Cの対辺の長さをそれぞれa、b、c、 重心をG、内心をIとする。
以下の問いに答えよ。
(１)
$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\rm I \sf G}=\left(\frac{1}{3}-\frac{b}{a+b+c}\right)\overrightarrow{\sf AB}+\left(\frac{1}{3}-\frac{c}{a+b+c}\right)\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
を証明せよ。
(２) $\small\sf{\overrightarrow{\rm I\sf G}=\overrightarrow{\sf 0}}$ は、△ABCが正三角形であるための必要十分条件であることを証明せよ。
(３) △ABC が正三角形でないとき、次の条件p、qは同値であることを証明せよ。
p： 順番を適当に入れ替えれば、a、b、cは等差数列をなす。
q： 線分IGと平行な辺が存在する。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
直線AIと辺BCとの交点をDとすると、∠BAD=∠CADより、
$\scriptsize\sf{BD:CD=AB:AC=c:b}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BD=\frac{c}{b+c}BC=\frac{ac}{b+c} \end{align*}}$
さらに、∠ABI=∠DBIより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A\rm I:\sf D\rm I&=\sf AB:DB \\ &=\sf c:\frac{ac}{b+c}\\ &=\sf \left(b+c\right):a\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A\rm I&=\sf \frac{b+c}{a+\left(b+c\right)}\overrightarrow{\sf AD} \\ &=\sf \frac{b+c}{a+\left(b+c\right)}\cdot\frac{b\overrightarrow{\sf AB}+c\overrightarrow{\sf AC}}{b+c}\\ &=\sf \frac{b}{a+b+c}\overrightarrow{\sf AB}+\frac{c}{a+b+c}\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
また、Gは△ABCの重心なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
以上より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\overrightarrow{\rm I\sf G}&=\sf\overrightarrow{\sf AG}-\overrightarrow{\sf A\rm I} \\ &=\sf \left(\frac{1}{3}-\frac{b}{a+b+c}\right)\overrightarrow{\sf AB}+\left(\frac{1}{3}-\frac{c}{a+b+c}\right)\overrightarrow{\sf AC} \end{align*}}$ ･･････(ⅰ)
が成り立つ。
(２)
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf AB}}$ と$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf AC}}$ は一次独立なので、(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\rm I \sf G}=\left(\frac{1}{3}-\frac{b}{a+b+c}\right)\overrightarrow{\sf AB}+\left(\frac{1}{3}-\frac{c}{a+b+c}\right)\overrightarrow{\sf AC}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}-\frac{b}{a+b+c}=\frac{1}{3}-\frac{c}{a+b+c}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a-2b+c=a+b-2c=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=b=c\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \end{align*}}$ △ABCは正三角形
(３)
【p⇒qの証明】
b、a、cの順で等差数列をなすとき、公差をdとおくと
$\scriptsize\sf{b=a-d\ ,\ \ c=a+d}$
と表せる。このとき、(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\rm I \sf G}&=\sf\left(\frac{1}{3}-\frac{a-d}{3a}\right)\overrightarrow{\sf AB}+\left(\frac{1}{3}-\frac{a+d}{3a}\right)\overrightarrow{\sf AC}\\ &=\sf \frac{d}{3a}\overrightarrow{\sf AB}-\frac{d}{3a}\overrightarrow{\sf AC}\\ &=\sf \frac{d}{3a}\overrightarrow{\sf CB}\end{align*}}$
となるので、IG//CBである。
また、(１)と同様にすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\rm I \sf G}=\left(\frac{1}{3}-\frac{a}{a+b+c}\right)\overrightarrow{\sf BA}+\left(\frac{1}{3}-\frac{c}{a+b+c}\right)\overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ ･･････(ⅱ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\rm I \sf G}=\left(\frac{1}{3}-\frac{a}{a+b+c}\right)\overrightarrow{\sf CA}+\left(\frac{1}{3}-\frac{b}{a+b+c}\right)\overrightarrow{\sf CB}\end{align*}}$ ･･････(ⅲ)
が成り立つので、
a、b、cの順で等差数列をなすときは(ⅱ)より、IG//AC、
a、c、bの順で等差数列をなすときは(ⅲ)より、IG//ABとなる。
【q⇒pの証明】
IG//CBのとき、実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\rm I \sf G}=k\overrightarrow{\sf CB}\end{align*}}$
と表すことができる。
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf AB}}$ と$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf AC}}$ は一次独立なので、(ⅰ)と係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (k=)=\frac{1}{3}-\frac{b}{a+b+c}=-\left(\frac{1}{3}-\frac{c}{a+b+c}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a+b+c-3b=-(a+b+c)+3c \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a-b=c-a\end{align*}}$
となり、3数b、a、cはこの順に等差数列をなす。
ほかの辺についても同様である。
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- 2018/08/04(土) 23:57:00|
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第４問
定数a、b、cを用いて、数列{Sn}を
Sn=an+bn+cn （n=1，2，3，･･･）
により定める。
(１) 恒等式
$\small\sf{\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)=x^3-\left(a+b+c\right)x^2+\left(ab+bc+ca\right)x-abc}$
を用いてSn+3、Sn+2、Sn+1、Snが満たす漸化式を求めよ。
(２) a+b+c=0、 abc≠0のとき、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{S_2S_3}{S_5}\ ,\ \ \frac{\left(S_2\right)^2S_3}{S_7}\ ,\ \ \frac{S_2S_5}{S_7}\end{align*}}$
のそれぞれの値を求めよ。
(３) (２)で求めた3つの値に共通してあてはまる規則を1つ挙げよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{a+b+c=p\ ,\ \ ab+bc+ca=q\ ,\ \ abc=r}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)=x^3-px^2+qx-r}$
x=aを代入すると、
$\scriptsize\sf{a^3-pa^2+qa-r=0}$
両辺にanをかけると
$\scriptsize\sf{a^{n+3}-pa^{n+2}+qa^{n+1}-ra^n=0}$
同様に
$\scriptsize\sf{b^{n+3}-pb^{n+2}+qb^{n+1}-rb^n=0}$
$\scriptsize\sf{c^{n+3}-pc^{n+2}+qc^{n+1}-rc^n=0}$
となり、これら3式を加えると、
$\scriptsize\sf{\left(a^{n+3}+b^{n+3}+c^{n+3}\right)-p\left(a^{n+2}+b^{n+2}+c^{n+2}\right)+q\left(a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}\right)-r\left(a^n+b^n+c^n\right)=0}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{S_{n+3}-\left(a+b+c\right)S_{n+2}+\left(ab+bc+ca\right)S_{n+1}-abcS_n}}$ ･･････(*)
を得る。
(２)
p=a+b+c=0より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_1=p=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_2&=\sf a^2+b^2+c^2 \\ &=\sf \left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\\ &=\sf -2q\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_3&=\sf a^3+b^3+c^3 \\ &=\sf \left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3abc\\ &=\sf 3r\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{(*)\ \ \Leftrightarrow\ \ S_{n+3}=-qS_{n+1}+rS_n}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_4&=\sf -qS_2+rS_1 \\ &=\sf 2q^2\\ &=\sf \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_5&=\sf -qS_3+rS_2 \\ &=\sf -3qr-2qr\\ &=\sf -5qr\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_7&=\sf -qS_5+rS_4 \\ &=\sf 5q^2r+2q^2r\\ &=\sf +7q^2r\end{align*}}$
これらより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{S_2S_3}{S_5}=\frac{-2q\cdot 3r}{-5qr}=\underline{\frac{6}{5}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\left(S_2\right)^2S_3}{S_5}=\frac{\left(-2q\right)^2\cdot 3r}{7q^2r}=\underline{\frac{12}{7}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{S_2S_5}{S_7}=\frac{-2q\cdot \left(-5qr\right)}{7q^2r}=\underline{\frac{10}{7}}\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{S_2S_3}{S_5}=\frac{6}{5}=\frac{2\cdot 3}{5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\left(S_2\right)^2S_3}{S_5}=\frac{12}{7}=\frac{2^2\cdot 3}{7}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{S_2S_5}{S_7}=\frac{10}{7}=\frac{2\cdot 5}{7}\end{align*}}$
のように、Snの添え字のみを乗除した値と一致する。
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- 2018/08/05(日) 23:57:00|
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