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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011東北大 文系数学1



第1問

  以下の問いに答えよ。

 (1) 実数 xに関する連立不等式
       x≧−1
       2・3x+a・3-x≦1
    が解をもつような実数 aの範囲を求めよ。

 (2) x≧-1を満たすすべての実数 xに対し、不等式
       3x+a・3-x≧a
    が成り立つような実数 aの範囲を求めよ。




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  1. 2018/10/25(木) 01:07:00|
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2011東北大 文系数学2



第2問

  三角形OABの辺ABを1:2に内分する点をCとする。動点Dは
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=x\ \overrightarrow{\sf OA}\ \ \ \ \ \ (x\geqq1)\end{align*}}$
  を満たすとし、直線CDと直線OBの交点をEとする。

 (1) 実数yを 
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}=y\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
    で定めるとき、次の等式が成り立つことを示せ。
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{x}+\frac{1}{y}=3\end{align*}}$


 (2) 三角形OABの面積をS、三角形ODEの面積をTとするとき、
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S}{T}\end{align*}}$ の最大値と、そのときのxを求めよ。



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2011東北大 文系数学3



第3問

  先生と3人の生徒A、B、Cがおり、玉の入った箱がある。箱の中には最初、
  赤玉3個、白玉7個、全部で10個の玉が入っている。先生がサイコロをふって、
  1の目が出たらAが、2または3の目が出たらBが、その他の目が出たらCが
  箱の中から1つだけ玉を取り出す操作を行う。取り出した玉は箱の中に戻さず、
  取り出した生徒のものとする。この操作を2回続けて行うものとして以下の問い
  に答えよ。ただし、サイコロの1から6の目の出る確率は等しいものとし、また、
  箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする。

 (1) Aが2個の赤玉を手に入れる確率を求めよ。

 (2) Bが少なくとも1個の赤玉を手に入れる確率を求めよ。




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2011東北大 文系数学4



第4問

  放物線 y=x2の2本の接線L、mは垂直であるとする。

 (1) Lの接点の座標が(a,a2)で与えられるとき、L、mの交点の座標を
    aを用いて表せ。

 (2) L、mがy軸に関して対称なとき、L、mおよび放物線 y=x2 で囲まれ
    る部分の面積を求めよ。




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