第１問
以下の問いに答えよ。
(１) 実数 xに関する連立不等式
x≧−1
2･3x＋a･3-x≦１
が解をもつような実数 aの範囲を求めよ。
(２) x≧-1を満たすすべての実数 xに対し、不等式
3x＋a･3-x≧a
が成り立つような実数 aの範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
x≧−1 ･･･(Ａ)
2･3x＋a･3-x≦１ ･･･(Ｂ)
t＝3x （＞0）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (A)\ \ \Leftrightarrow\ \ t=3^{-1}\geqq\frac{1}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (B)\ \ \Leftrightarrow\ \ 2t+\frac{a}{t}\leqq1\ \ \Leftrightarrow\ \ 2t^2-t+a\leqq0\end{align*}}$
ここで、f(t)＝2t2－t＋aとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (t)=2\left(t-\frac{1}{4}\right)^2+a-\frac{1}{8}\end{align*}}$ ．
(Ａ)と(Ｂ)を同時に満たすｘが存在するためには、
f(t)≦0となるtが $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t\geqq\frac{1}{3}\end{align*}}$ の範囲に存在すればよい。
そのためには、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ \left(\frac{1}{3}\right)\leqq 0\end{align*}}$
となればよい（右図）
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ \left(\frac{1}{3}\right)=2\left(\frac{1}{3}\right)^2-\frac{1}{3}+a\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a\leqq\frac{1}{9}\ \ }\end{align*}}$
(２)
x≧−1 ･･･(Ａ)
2･3x＋a･3-x≦１ ･･･(Ｃ)
t＝3x （＞0）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (A)\ \ \Leftrightarrow\ \ t\geqq\frac{1}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (C)\ \ \Leftrightarrow\ \ t+\frac{a}{t}\geqq a\ \ \Leftrightarrow\ \ t^2-at+a\geqq0\end{align*}}$
ここで、g(t)＝t2－at＋aとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (t)=\left(t-\frac{a}{2}\right)^2+a-\frac{a^2}{4}\end{align*}}$ ．
条件を満たすためには、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t\geqq\frac{1}{3}\end{align*}}$ であるすべてのｔに対してg(t)≧0であればよい。
(ⅰ)軸＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$のとき
すなわち、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{2}<\frac{1}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ a<\frac{2}{3}\end{align*}}$ のとき．
右図より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ \left(\frac{1}{3}\right)\geqq0\end{align*}}$
であればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{3}\right)^2-a\cdot\frac{1}{3}+a\geqq0\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{1}{6}\leqq a\end{align*}}$
(ⅱ)軸≧$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$のとき
すなわち、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\leqq a\end{align*}}$ のとき．
右図より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ \left(\frac{a}{2}\right)\geqq0\end{align*}}$
であればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a-\frac{a^2}{4}\geqq0\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq a\leqq 4\end{align*}}$
(ⅰ)、(ⅱ)より、求めるaの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -\frac{1}{6}\leqq a\leqq 4\ \ }\end{align*}}$
二次関数のグラフで考えれば簡単ですが、苦手な人も多いと思います。
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第２問
三角形ＯＡＢの辺ＡＢを１：２に内分する点をＣとする。動点Ｄは
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=x\ \overrightarrow{\sf OA}\ \ \ \ \ \ (x\geqq1)\end{align*}}$
を満たすとし、直線ＣＤと直線ＯＢの交点をＥとする。
(１) 実数ｙを
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}=y\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
で定めるとき、次の等式が成り立つことを示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{x}+\frac{1}{y}=3\end{align*}}$
(２) 三角形ＯＡＢの面積をＳ、三角形ＯＤＥの面積をＴとするとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S}{T}\end{align*}}$ の最大値と、そのときのｘを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
メネラウスの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{DA}{OD}\cdot\frac{CB}{AC}\cdot\frac{EO}{BE}=\frac{x-1}{x}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{y}{1-y}=1\end{align*}}$
⇔ ２ｙ(ｘ－１)＝ｘ(１－ｙ)
⇔ ２ｙ＋ｘ＝３ｘｙ
この両辺を ｘｙ(≠０)で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{x}+\frac{1}{y}=3\end{align*}}$
が得られる。
(２)
∠ＡＯＢ＝$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、
２Ｓ＝２△ＯＡＢ＝ＯＡ･ＯＢsin$\scriptsize\sf{\theta}$
２Ｔ＝２△ＯＤＥ＝ＯＤ･ＯＥsin$\scriptsize\sf{\theta}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{S}{T}=\frac{OA\cdot OB\ \sin\theta}{OD\cdot OE\ \sin\theta}=\frac{1}{xy}\end{align*}}$ ････①
ここで、ｘ、ｙ＞０より相加相乗平均の関係を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{x}+\frac{1}{y}\geqq2\sqrt{\frac{2}{x}\cdot\frac{1}{y}} \Leftrightarrow\ \ 3\geqq 2\sqrt{\frac{2}{xy}}\end{align*}}$ ←(１)より
両辺＞０なので、両辺を２乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 9\geqq\frac{8}{xy}\end{align*}}$
これと①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{S}{T}=\frac{1}{xy}\leqq\frac{9}{8}\end{align*}}$
等号成立は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{x}=\frac{1}{y}=\frac{3}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{4}{3}\ ,\ y=\frac{2}{3}\end{align*}}$
のときである。
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{4}{3}\end{align*}}$ のとき $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{S}{T}_{max}=\frac{9}{8}\end{align*}}$
これは簡単です。外したらダメでしょ。
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第３問
先生と３人の生徒Ａ、Ｂ、Ｃがおり、玉の入った箱がある。箱の中には最初、
赤玉３個、白玉７個、全部で10個の玉が入っている。先生がサイコロをふって、
１の目が出たらＡが、２または３の目が出たらＢが、その他の目が出たらＣが
箱の中から１つだけ玉を取り出す操作を行う。取り出した玉は箱の中に戻さず、
取り出した生徒のものとする。この操作を２回続けて行うものとして以下の問い
に答えよ。ただし、サイコロの１から６の目の出る確率は等しいものとし、また、
箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする。
(１) Ａが２個の赤玉を手に入れる確率を求めよ。
(２) Ｂが少なくとも１個の赤玉を手に入れる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
１回目･･･サイコロの目が１で、Ａが赤玉を取り出す確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\times\frac{3}{10}=\frac{1}{20}\end{align*}}$
２回目･･･サイコロの目が１で、Ａが赤玉を取り出す確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\times\frac{2}{9}=\frac{1}{27}\end{align*}}$
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{20}\times\frac{1}{27}=\underline{\ \frac{1}{540}\ \ }\end{align*}}$
(２)
余事象を考える。
(ア)２回ともＡまたはＣが玉を取り出す場合
（２回ともサイコロの目が２、３以外）
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{6}\times\frac{4}{6}=\frac{4}{9}\end{align*}}$
(イ)１回目にＢが白玉を取り、２回目は他の人が玉をとる場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{2}{6}\times\frac{7}{10}\right)\times\frac{4}{6}=\frac{7}{45}\end{align*}}$
(ウ)１回目に他の人が白玉を取り、２回目はＢが白玉をとる場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{4}{6}\times\frac{7}{10}\right)\times\left(\frac{2}{6}\times\frac{6}{9}\right)=\frac{14}{135}\end{align*}}$
(エ)１回目に他の人が赤玉を取り、２回目はＢが白玉をとる場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{4}{6}\times\frac{3}{10}\right)\times\left(\frac{2}{6}\times\frac{7}{9}\right)=\frac{7}{135}\end{align*}}$
(オ)２回目ともＢが白玉をとる場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{2}{6}\times\frac{7}{10}\right)\times\left(\frac{2}{6}\times\frac{6}{9}\right)=\frac{7}{135}\end{align*}}$
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\left(\frac{4}{9}+\frac{7}{45}+\frac{14}{135}+\frac{7}{135}+\frac{7}{135}\right)=\underline{\ \frac{26}{135}\ \ }\end{align*}}$
(２)は余事象で考えましたが、直接求めた方が楽でしたね＾＾；；
失敗失敗････
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第４問
放物線 y＝x2の２本の接線L、mは垂直であるとする。
(１) Lの接点の座標が(a，a2)で与えられるとき、L、mの交点の座標を
aを用いて表せ。
(２) L、mがｙ軸に関して対称なとき、L、mおよび放物線 y＝x2 で囲まれ
る部分の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
y＝x2に対してy'＝2xなので、点(a，a2)における接線Lは、
y－a2＝2a(x－a) ⇔ L: y＝2ax－a2
同様に、接線mの接点の座標を(b，b2)とすると、
m: y＝2bx－b2
これらより、Lとmの交点を求めると、
2ax－a2＝2bx－b2
⇔ 2(a－b)x＝a2－b2
a≠bなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{a+b}{2}\ \ ,\ \ y=2a\cdot\frac{a+b}{2}-a^2=ab \end{align*}}$ ･･･①
ここで、L⊥mなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2a\cdot2b=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ ab=-\frac{1}{4} \end{align*}}$
これを①に代入して整理すると、Lとmの交点Ｐの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(\frac{a}{2}-\frac{1}{8a}\ ,\ -\frac{1}{4}\right)\ \ }\end{align*}}$
(２)
Lとmがｙ軸について対称なので、交点Ｐはｙ軸上にある。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{2}-\frac{1}{8a}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\pm\frac{1}{2}\end{align*}}$
ここで、ａ＞０としても一般性を失わないので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ b=-\frac{1}{2}\end{align*}}$
よって、L、mの方程式はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\ y=x-\frac{1}{4}\ \ ,\ \ m:\ y=-x-\frac{1}{4}\end{align*}}$
となる。
求める面積をＳとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{-\frac{1}{2}}^0 \ \left(x^2+x+\frac{1}{4}\right)\ dx+\int_0^{\frac{1}{2}}\ \left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)\ dx\end{align*}}$
これを計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\underline{\ \frac{1}{12}\ }\end{align*}}$
最後の定積分は、「これを計算すると、」と書いてありますが、
もちろんマジメに計算する必要はなく、12分の1公式で一発です！
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