第１問
次の各問に答えよ。
(１) 実数x≧0、 y≧0、 z≧0に対して
x+y2=y+z2=z+x2
が成り立つとする。このときx=y=zであることを証明せよ。
(２) xを実数とする。このとき、実数全体からなる集合の2つの部分集合
P(x)={y| t2+xt+|y|=0をみたす実数tが存在する}
Q(x)= {y|すべての実数tに対してxt2+yt+1＞1が成り立つ}
を考える。このときP(x)⊂Q(x)が成り立つためのxに関する必要十分条件を
求めよ。
(３) a＞0 とし、点P(x，y)は、y軸からの距離d1と点(2，0)からの距離d2が
ad1=d2を満たすものとする。aが次の値のとき、点P(x，y)の軌跡を求めよ。
(ア) a=$\small\sf{\frac{1}{2}}$ (イ) a=1 (ウ) a=2
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
与式より
$\scriptsize\sf{x+y^2=y+z^2\ \ \Leftrightarrow\ \ x-y=-\left(y+z\right)\left(y-z\right)}$ ･･････①
$\scriptsize\sf{y+z^2=z+x^2\ \ \Leftrightarrow\ \ y-z=-\left(z+x\right)\left(z-x\right)}$ ･･････②
$\scriptsize\sf{z+x^2=x+y^2\ \ \Leftrightarrow\ \ z-x=-\left(x+y\right)\left(x-y\right)}$ ･･････③
①に②、③を順次代入していくと
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x-y&=\sf \left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(z-x\right) \\ &=\sf -\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(x+y\right)\left(x-y\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-y\right)\bigg\{1+\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\bigg\}=0\end{align*}}$ ･･････④
ここで、x，y，z≧0より、④式の{ }内は正となるので、x=yである。
このとき、①より
$\scriptsize\sf{0=-\left(y+z\right)\left(y-z\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=z\ \ \ \left(\because\ y,z\geq 0\right)}$
以上より、x=y=zが示された。
(２)
tについての二次方程式$\scriptsize\sf{t^2+xt+|y|=0}$ ･･････(ⅰ) について、
・x=0のとき、
(ⅰ)は、$\scriptsize\sf{t^2+|y|=0}$ となり、y=0であれば(ⅰ)は実数解を持つ
よって、このとき集合P(x)は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(x\right)=\left\{\ 0\ \right\} \end{align*}}$
・x≠0のとき、(ⅰ)の判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2-4|y|\geq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{1}{4}x^2\leq y\leq \frac{1}{4}x^2 \end{align*}}$
のとき、(ⅰ)は実数解を持つ。
よって、このとき集合P(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(x\right)=\left\{y\ \bigg|\ -\frac{1}{4}x^2\leq y\leq \frac{1}{4}x^2\right\} \end{align*}}$
となる。
一方、tについての不等式$\scriptsize\sf{xt^2+yt+1\gt 0}$ ･･････(ⅱ) について、
・x=0のとき
(ⅱ)は$\scriptsize\sf{yt+1\gt 0}$ となるので、y=0のとき常に成り立つ。
このときQ(x)は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\left(x\right)=\left\{\ 0\ \right\} \end{align*}}$
・x＜0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{t\rightarrow\infty}\left(xt^2+yt+1\right)=-\infty \end{align*}}$
より、(ⅱ)を満たさない実数tが存在する。
・x＞0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)\ \ \Leftrightarrow\ \ xt^2+yt+1=x\left(t+\frac{y}{2x}\right)^2+1-\frac{y^2}{4x}\gt 0 \end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-\frac{y^2}{4x}\gt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ -2\sqrt{x}\lt y\lt 2\sqrt{x} \end{align*}}$
のとき、(ⅱ)は常に成り立つ。
このとき集合Q(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\left(x\right)=\left\{y\ \bigg|\ -2\sqrt{x}\lt y\lt 2\sqrt{x}\right\} \end{align*}}$
となる。
これらより、
・x=0のときは、$\scriptsize\sf{P\left(x\right)=Q\left(x\right)=\left\{\ 0\ \right\}}$ となる。
・x＞0のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{4}x^2\lt 2\sqrt{x}\ \ \Leftrightarrow\ \ x^{\frac{3}{2}}\lt 8\ \ \Leftrightarrow\ \ x\lt 4 \end{align*}}$
であれば、P(x)⊂Q(x)よなる。
以上より、題意を満たすようなxについての条件は
$\scriptsize\sf{\underline{0\leq x\lt 4}}$
である。
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf d_1=\left|x\right|\ ,\ \ \ d_2=\sqrt{\left(x-2\right)^2+y^2} \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf ad_1=d_2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2=\left(x-2\right)^2+y^2 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(1-a^2\right)x^2+y^2-4x+4=0 \end{align*}}$
(ア) a=$\scriptsize\sf{\frac{1}{2}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3}{4}x^2+y^2-4x+4=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\frac{3}{4}\left(x-\frac{8}{3}\right)^2+y^2=\frac{4}{3}} \end{align*}}$ （楕円）
(イ) a=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y^2-4x+4=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{x=\frac{1}{4}y^2+1} \end{align*}}$ （放物線）
(ウ) a=2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -3x^2+y^2-4x+4=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{3\left(x+\frac{2}{3}\right)^2-y^2=\frac{16}{3}} \end{align*}}$ （双曲線）
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- 2018/06/29(金) 23:57:00|
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第２問
座標平面上において2点A(cos$\small\sf{\frac{\pi}{6}}$，sin$\small\sf{\frac{\pi}{6}}$)、B(cos$\small\sf{\frac{\pi}{6}}$，-sin$\small\sf{\frac{\pi}{6}}$)をとる。
また、$\small\sf{\theta}$ を$\small\sf{-\frac{\pi}{2}}$≦θ≦$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$をみたす実数とし、x軸の正の向きとなす角が$\small\sf{\theta}$ である
ような原点を端点とする半直線を$\small\sf{L_{\theta}}$とする。各$\small\sf{\theta}$ において、半直線$\small\sf{L_{\theta}}$上を動く
点Pの中で、AP+PBの値が最小となるようなPを$\small\sf{P_{\theta}}$と定める。以下の各問
に答えよ。
(１) 三角形OABの外接円の半径を求めよ。
(２) $\small\sf{\theta}$ が次の条件をみたすとき、$\small\sf{P_{\theta}}$の座標を求めよ。
(ア) 0≦$\small\sf{\theta}$≦$\small\sf{\frac{\pi}{6}}$ (イ) $\small\sf{\theta}$=$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$
(３) $\small\sf{\frac{\pi}{6}}$＜$\small\sf{\theta}$＜$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$ であるとき、$\small\sf{L_{\theta}}$に関してAと対称な点$\small\sf{A_{\theta}}$の座標を求めよ。
(４) $\small\sf{\frac{\pi}{6}}$＜$\small\sf{\theta}$＜$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$であるとき、∠A$\small\sf{P_{\theta}}$Bを求めよ。
(５) $\small\sf{\theta}$ が$\small\sf{-\frac{\pi}{2}}$≦θ≦$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$を動くとき、$\small\sf{P_{\theta}}$の描く曲線で囲まれる部分の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
△OABは一辺が1の正三角形なので、外接円の半径をRとおくと、
正弦定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{sin\frac{\pi}{3}}=2R\ \ \Leftrightarrow\ \ R=\underline{\frac{\sqrt3}{3}} \end{align*}}$
(２)(ア)
2点A、Bは$\scriptsize\sf{L_{\theta}}$ に関して反対側にあるので、AP+PB≧ABより、
3点A、P、Bがこの順で一直線上にあるとき、AP+PBの値は
最小となる。
半直線$\scriptsize\sf{L_{\theta}}$の方程式は
$\scriptsize\sf{y=\left(tan\theta\right)x\ \ \ \left(x\geq 0\right)}$
であり、A、Bのx座標はともに$\scriptsize\sf{\frac{\sqrt3}{2}}$なので、求める点$\scriptsize\sf{P_{\theta}}$の座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{P_{\theta}\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac{\sqrt3}{2}tan\theta\right)} \end{align*}}$
となる。
(２)(イ)
$\scriptsize\sf{L_{\theta}}$ はy軸と一致するので、$\scriptsize\sf{L_{\theta}}$ に関してAと対称な点$\scriptsize\sf{A_{\theta}}$ の座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A_{\theta}\left(-\frac{\sqrt3}{2},\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
AP+PB=$\scriptsize\sf{A_{\theta}}$P+PBなので、この値が最小になるのは、
3点$\scriptsize\sf{A_{\theta}}$、P、Bがこの順で一直線上にあるときである。
$\scriptsize\sf{A_{\theta}}$とBは原点について対称なので、求める点$\scriptsize\sf{P_{\theta}}$の座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{P_{\theta}\left(0,0\right)} \end{align*}}$
となる。
(３)
原点中心、半径１の円をCとし、C上に2点
$\scriptsize\sf{D\left(1,0\right)\ ,\ \ \ E\left(cos\theta,sin\theta\right)}$
をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle A_{\theta}OE=\angle AOE=\theta-\frac{\pi}{6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle A_{\theta}OD=\angle A_{\theta}OE+\angle EOD=2\theta-\frac{\pi}{6} \end{align*}}$
よって、点$\scriptsize\sf{A_{\theta}}$の座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{A_{\theta}\left(cos\left(2\theta-\frac{\pi}{6}\right),sin\left(2\theta-\frac{\pi}{6}\right)\right)}\end{align*}}$
である。
(４)
AP+PB=$\scriptsize\sf{A_{\theta}}$P+PBなので、この値が最小になるのは、
3点$\scriptsize\sf{A_{\theta}}$、P、Bがこの順で一直線上にあるときである。
よって、点$\scriptsize\sf{P_{\theta}}$は線分$\scriptsize\sf{A_{\theta}}$Bと半直線$\scriptsize\sf{L_{\theta}}$の交点と一致する。
円Cにおいて、円周角の定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle AA_{\theta}P_{\theta}=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{\pi}{6}\end{align*}}$
図の対称性より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle A_{\theta}AP_{\theta}=\angle AA_{\theta}P_{\theta}=\frac{\pi}{6}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle AP_{\theta}B=\angle A_{\theta}AP_{\theta}+\angle AA_{\theta}P_{\theta}=\underline{\frac{\pi}{3}}\end{align*}}$
(５)
(２)(ア)より、0≦$\small\sf{\theta}$≦$\small\sf{\frac{\pi}{6}}$のとき、点$\scriptsize\sf{P_{\theta}}$は線分AB上を動く。
一方、$\small\sf{\frac{\pi}{6}}$＜$\small\sf{\theta}$＜$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$のときは、(４)より、4点O，A，B，$\scriptsize\sf{P_{\theta}}$は同一円周上にあるので、
点$\scriptsize\sf{P_{\theta}}$は△OABの外接円の周で、円Cの内部にある部分を動く。
よって、点$\scriptsize\sf{P_{\theta}}$の描く曲線は下図のようになり、囲まれる部分の面積は、
扇形と二等辺三角形に分割することにより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^3\pi\cdot\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^2\cdot sin\frac{2}{3}\pi=\underline{\frac{2}{9}\pi+\frac{\sqrt3}{12}}\end{align*}}$
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- 2018/06/30(土) 23:57:00|
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第３問
A、B、C、Dの4人が、下のトーナメント表の1から4枠に割り当てられた後に試合を行う。
ただし4人が1から4枠に割り当てられる確率は等しいものとする。試合ではAが最も強く、
以下、 B、Cの順に弱くなっていき、Dが最も弱い。自分より弱い人と対戦した際に勝つ
確率をpとする。ただし、$\small\sf{\frac{1}{2}}$ ＜p＜1である。また、この試合に「引き分け」は存在せず、
必ず勝敗が決するものとする。
A、B、C、Dそれぞれが優勝する確率をそれぞれPA、PB、Pc、PDとする。
以下の各問に答えよ。
(１) 準決勝で「A対B」の対戦が実現する確率を求めよ。
(２) Bが準決勝で勝つ確率をpを用いて表せ。
(３) PBをpを用いて表せ。
(４) PCをpを用いて表せ。
(５) PA、2PB、3PCを比較したとき、2PBが最も大きくなるpに関する
条件を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
準決勝におけるAの対戦は「A対B」、「A対C」、「A対D」の3つの組み合わせが
考えられるので、求める確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\frac{1}{3}} \end{align*}}$ である。
以下、各対戦において勝者を色をつけて表すことにする。
強い人が勝った場合は赤色、弱い人が勝った場合は青色で表す。
例えば、AとBが対戦してAが勝つとA－B 、Bが勝つとＡ－Ｂと表す。
(２)
準決勝でA－B または B－C またはB－Dとなればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\left(1-p\right)+\frac{1}{3}p+\frac{1}{3}p=\underline{\frac{1}{3}\left(p+1\right)}\end{align*}}$
(３)
Bが優勝するのは、次の6つの場合がある。
(ア)準決勝 A－B C－D 決勝 Ｂ－Ｃ
(イ)準決勝 A－B Ｃ－D 決勝 Ｂ－Ｄ
(ウ)準決勝 Ｂ－Ｃ Ａ－D 決勝 A－B
(エ)準決勝 Ｂ－Ｃ A－Ｄ 決勝 Ｂ－Ｄ
(オ)準決勝 Ｂ－Ｄ Ａ－Ｃ 決勝 A－B
(カ)準決勝 Ｂ－Ｄ A－Ｃ 決勝 Ｂ－Ｃ
(イ)の確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}p\left(1-p\right)^2\end{align*}}$ であり、
それ以外の確率はそれぞれ$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{3}p^2\left(1-p\right) \end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}p\left(1-p\right)^2+5\cdot\frac{1}{3}p^2\left(1-p\right)=\underline{\frac{1}{3}p\left(1-p\right)\left(4p+1\right)} \end{align*}}$
(４)
Cが優勝するのは、次の6つの場合がある。
(キ)準決勝 Ａ－Ｃ Ｂ－D 決勝 Ｃ－Ｄ
(ク)準決勝 A－Ｃ Ｂ－D 決勝 Ｂ－Ｃ
(ケ)準決勝 Ｂ－Ｃ Ａ－D 決勝 A－Ｃ
(コ)準決勝 Ｂ－Ｃ A－Ｄ 決勝 Ｃ－Ｄ
(サ)準決勝 Ｃ－Ｄ Ａ－Ｂ 決勝 A－Ｃ
(シ)準決勝 Ｃ－Ｄ A－Ｂ 決勝 Ｂ－Ｃ
(サ)の確率は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}p^2\left(1-p\right)\end{align*}}$ であり、
それ以外の確率はそれぞれ$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{3}p\left(1-p\right)^2 \end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}p^2\left(1-p\right)+5\cdot\frac{1}{3}p\left(1-p\right)^2=\underline{\frac{1}{3}p\left(1-p\right)\left(5-4p\right)} \end{align*}}$
(５)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 3P_c\lt 2P_B&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf p\left(1-p\right)\left(5-4p\right)\lt\frac{2}{3}p\left(1-p\right)\left(4p+1\right) \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf p\left(1-p\right)\left(20p-13\right)\gt 0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{13}{20}\lt p\lt 1\ \ \ \ \left(\because\ \frac{1}{2}\lt p\lt 1\right)\end{align*}}$
また、Aは対戦相手によらず準決勝、決勝とも確率pで勝つので、
$\scriptsize\sf{P_A=p^2}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_A\lt 2P_B&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf p^2\lt\frac{2}{3}p\left(1-p\right)\left(4p+1\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf p\left(8p^2-3p-2\right)\lt 0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{1}{2}\lt p\lt\frac{3+\sqrt{73}}{16}\ \ \ \ \left(\because\ \frac{1}{2}\lt p\lt 1\right)\end{align*}}$
以上より、求める条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\underline{\frac{13}{20}\lt p\lt\frac{3+\sqrt{73}}{16}} \end{align*}}$
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第４問
a＞0 とする。座標平面において点(2a，0)から曲線C： y=$\small\sf{\frac{1}{x}}$ （x＞0）に引いた
接線をLとする。この接点のx座標をbとし、Lとy軸の交点の座標を(0，c)とする。
また、直線Lと曲線Cおよび直線x=2aで囲まれる部分をSとし、直線Lと曲線Cおよび
直線y=cで囲まれる部分をTとする。以下の各問に答えよ。
(１) bとcをaを用いて表せ。
(２) SとTの面積を求めよ。
S、Tを直線x=bのまわりに1回転してできる立体の体積をそれぞれU、Vとする。
また、Tを直線y=$\small\sf{\frac{1}{b}}$ のまわりに1回転してできる立体の体積をWとする。
(３) U、V、Wをaを用いて表せ。
(４) UとVの大小関係を求めよ。必要であれば210＜e7であることを用いてよい。
ただし e は自然対数の底である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2} \end{align*}}$ より、C上の点（ｂ，$\scriptsize\sf{\frac{1}{b}}$ )における接線Lの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L:\ y-\frac{1}{b}=-\frac{1}{b^2}\left(x-b\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{1}{b^2}x+\frac{2}{b}\end{align*}}$
これが点(2a，0)を通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0=-\frac{2a}{b^2}+\frac{2}{b}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{b=a}\end{align*}}$
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c=\frac{2}{b}=\underline{\frac{2}{a}} \end{align*}}$
(２)
(１)より、Lの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=-\frac{1}{a^2}x+\frac{2}{a}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-a^2y+2a \end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf\int_a^{2a}\left\{\frac{1}{x}-\left(-\frac{1}{a^2}x+\frac{2}{a}\right)\right\}dx \\ &=\sf \bigg[log|x|+\frac{1}{2a^2}x^2-\frac{2}{a}x\bigg]_a^{2a}\\ &=\sf \underline{log2-\frac{1}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T&=\sf \int_{\frac{1}{a}}^{\frac{2}{a}}\left(\frac{1}{y}-\left(-a^2y+2a\right)\right\}dy \\ &=\sf \bigg[log|y|+\frac{a^2}{2}y^2-2ay\bigg]_{\frac{1}{a}}^{\frac{2}{a}}\\ &=\sf \underline{log2-\frac{1}{2}}\end{align*}}$
(３)
CおよびLをx軸方向に-aだけ平行移動したものをそれぞれC’、L’とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C':\ y=\frac{1}{x+a}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{1}{y}-a \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{L':\ x=-a^2y+a}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf U&=\sf\pi\int_{\frac{1}{2a}}^{\frac{1}{a}}\left(\frac{1}{y}-a\right)^2dy+\pi\int_{0}^{\frac{1}{2a}}a^2dy-\pi\int_{0}^{\frac{1}{a}}\left(-a^2y+a\right)^2dy \\ &=\sf\pi\int_{\frac{1}{2a}}^{\frac{1}{a}}\left(\frac{1}{y^2}-\frac{2a}{y}+a^2\right)^2dy +\pi\ a^2\cdot\frac{1}{2a}-\pi\ a^2\cdot\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{3}\\ &=\sf \pi\left[-\frac{1}{y}-2alog|y|+a^2y\right]_{\frac{1}{2a}}^{\frac{1}{a}}+\frac{\pi}{6}a\\ &=\sf \underline{\left(\frac{5}{3}-2log2\right)\pi\ a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf\pi\int_{\frac{1}{a}}^{\frac{2}{a}}\left(-a^2y+a\right)^2dy-\pi\int_{\frac{1}{a}}^{\frac{2}{a}}\left(\frac{1}{y}-a\right)^2dy \\ &=\sf \pi\ a^2\cdot\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{3}-\pi\left[-\frac{1}{y}-2alog|y|+a^2y\right]_{\frac{1}{a}}^{\frac{2}{a}}\\ &=\sf \underline{\left(2log2-\frac{7}{6}\right)\pi\ a}\end{align*}}$
一方、CおよびLをy軸方向に$\scriptsize\sf{-\frac{1}{a}}$だけ平行移動したものをそれぞれC”、L”とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C":\ y=\frac{1}{x}-\frac{1}{a} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{L":\ y=-\frac{1}{a^2}x+\frac{1}{a}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf W&=\sf \pi\int_0^{\frac{a}{2}}\left(\frac{1}{a}\right)^2dx+\pi\int_{\frac{a}{2}}^a\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{a}\right)^2dx-\pi\int_0^a\left(-\frac{1}{a^2}x+\frac{1}{a}\right)^2dx \\ &=\sf\pi\left(\frac{1}{a}\right)^2\cdot\frac{a}{2}+\pi\int_{\frac{a}{2}}^a\left(\frac{1}{x^2}-\frac{2}{ax}+\frac{1}{a^2}\right)dx-\pi\left(\frac{1}{a}\right)^2\cdot a\cdot\frac{1}{3} \\ &=\sf\frac{\pi}{6a}+\pi\left[-\frac{1}{x}-\frac{2}{a}log|x|+\frac{x}{a^2}\right]_{\frac{a}{2}}^a\\ &=\sf \underline{\left(\frac{5}{3}-2log2\right)\frac{\pi}{a}}\end{align*}}$
(４)
(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V-U&=\sf \left(2log2-\frac{7}{6}\right)\pi\ a-\left(\frac{5}{3}-2log2\right)\pi\ a \\ &=\sf\left(4log2-\frac{17}{6}\right)\pi\ a \\ &\lt\sf \left(4log\ e^{\frac{7}{10}}-\frac{17}{6}\right)\pi\ a\ \ \ \left(\because\ 2^{10}\lt e^7\right)\\ &=\sf \left(\frac{14}{5}-\frac{17}{6}\right)\pi\ a\\ &=\sf -\frac{\pi a}{30}\\ &\lt \sf 0\end{align*}}$
なので、U＞Vである。
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