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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018旭川医科大 数学1



第1問

  ある臓器にできる腫瘍Xは悪性と良性の2つの型に分けられ、同時に両方の型である
  ことはない。実際にXがある人とない人の割合は3%と97%であり、Xがある人のうち、
  悪性の人と良性の人の割合は1:2である。そして、腫瘍Xがあるかないかを調べる
  検査Yについて、次の事が知られている。
   (ⅰ) 悪性のXがある人にYが用いられると、95%の確率でXがあると判定される。
   (ⅱ) 良性のXがある人にYが用いられると、80%の確率でXがあると判定される。
   (ⅲ) Xがない人にYが用いられると、90%の確率でXがないと正しく判定される。
  ある人が、この検査Yを受けることになった。このとき、次の確率を求めよ。

 (1) この人にXがあると判定される確率

 (2) Xがあると判定されたとき、悪性のXが実際にある確率

 (3) 悪性のXが実際にないとき、Xがないと判定される確率




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  1. 2018/08/06(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .旭川医科大  2018
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2018旭川医科大 数学2



第2問

  nを正の整数とし、0≦x≦$\small\sf{\pi}$ の範囲で
        $\small\sf{f(x)=\sin x\ ,\ \ g(x)=\sin x\sin^2nx}$
  とおく。このとき、次の各問いに答えよ。

 (1) 曲線$\small\sf{y=g(x)}$ とx軸が囲む部分の面積を求めよ。

 (2) 曲線$\small\sf{y=f(x)}$ と曲線$\small\sf{y=g(x)}$ の共有点のうち、共通の接戦をもつすべての点の
    座標を求めよ。

 (3) (2)で求めたすべての接点のy座標の値の平均をAnとおくとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}A_n\end{align*}}$ を
    求めよ。

        


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  1. 2018/08/07(火) 23:57:00|
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2018旭川医科大 数学3



第3問

  aは実数でa>1とし、曲線$\small\sf{y=\log x}$ 上に2点$\small\sf{\begin{align*}\sf A\left(a,\ \log a\right)\ ,\ B\left(\frac{1}{a}\ ,\ \log\frac{1}{a}\right)\end{align*}}$ をとる。
  直線ABと曲線$\small\sf{y=\log x}$ で囲まれた部分の面積をSとし、直線AB、x軸、直線$\small\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{1}{a}\end{align*}}$
   および直線x=aで囲まれた部分の面積をTとする。このとき、次の各問いに答えよ。

 (1) S、Tをaを用いて表せ。

 (2) 次の極限値を求めよ。ただし、(3)において必要であれば
      x>0 のとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf \log\left(1+x\right)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\end{align*}}$
    が成り立つことを証明なしで用いてよい。
  (ⅰ) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{a\rightarrow\infty}\frac{S}{T}\end{align*}}$
  (ⅱ) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{a\rightarrow 1+0}\frac{T}{\left(a-1\right)^2}\end{align*}}$
  (ⅲ) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{a\rightarrow 1+0}\frac{S}{\left(a-1\right)^2}\end{align*}}$
  (ⅳ) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{a\rightarrow 1+0}\frac{S}{T}\end{align*}}$

 (3) a>1の範囲で、$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{S}{T}\end{align*}}$ は単調に増加することを示せ。

 (4) S=Tとなるaが$\small\sf{\begin{align*}\sf e^{\frac{3}{2}}\lt a\lt e^2\end{align*}}$ の範囲にただ1つあることを示せ。
    ただし、eは自然対数の底でe=2.7182・・・である。




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  1. 2018/08/08(水) 23:57:00|
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2018旭川医科大 数学4



第4問

  △ABCにおいて、AB=2、BC=3、CA=$\small\sf{\sqrt7}$ とする。ABに関してCと反対側に点Sを
  △ASBが正三角形となるようにとる。また、BCに関してAと反対側に点Tを△BTCが
  正三角形となるようにとる。さらに△ASBの外接円と△BTCの外接円との交点のうち、
  Bと異なる点をPとする。このとき、次の各問いに答えよ。

 (1) ∠ABCの大きさを求めよ。

 (2) △PAB∽△PBCであることを示し、AP,BP,CPの長さをそれぞれ求めよ。

 (3) $\small\sf{\overrightarrow{\sf AP}}$ を$\small\sf{\overrightarrow{\sf AB}}$ 、$\small\sf{\overrightarrow{\sf AC}}$ を用いて表せ。




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  1. 2018/08/09(木) 23:57:00|
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