第１問
座標平面内の曲線y=x3+ax2+bx+cが点(c，0)においてx軸に接して
いるとする。ただし、a、bは実数、c＞0である。以下の問いに答えよ。
(１) a、bをそれぞれcを用いて表せ。
(２) この曲線とx軸で囲まれた部分の面積をSとする。Sを最小にするcの値を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{f\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c}$
とおくと、導関数は
$\scriptsize\sf{f'\left(x\right)=3x^2+2ax+b}$
曲線y=f(x)は点(c，0)でx軸と接するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)=c^3+ac^2+bc+c=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=-c^2-ac-1\ \ \ \left(\because\ c\ne 0 \right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'\left(x\right)=3c^2+2ac+b=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=-3c^2-2ac \end{align*}}$
これら2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -c^2-ac-1=-3c^2-2ac\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\underline{\frac{1-2c^2}{c}} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b=-3c^2-2c\cdot\frac{1-2c^2}{c}=\underline{c^2-2} \end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)&=\sf x^3+\frac{1-2c^2}{c}x^2\left(c^2-2\right)x+c \\ &=\sf \left(x-c\right)^2\left(x+\frac{1}{c}\right)\end{align*}}$
と変形でき、c＞0より、$\scriptsize\sf{-\frac{1}{c}}$＜cなので、曲線y=f(x)とx軸の位置関係は
図のようになる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_{-\frac{1}{c}}^c\left(x-c\right)^2\left(x+\frac{1}{c}\right)dx \\ &=\sf \int_{-\frac{1}{c}}^c\left(x-c\right)^2\left(x-c+c+\frac{1}{c}\right)dx\\ &=\sf \int_{-\frac{1}{c}}^c\left\{\left(x-c\right)^3d+\left(c+\frac{1}{c}\right)\left(x-c\right)^2\right\}dx\\ &=\sf \left[\frac{1}{4}\left(x-c\right)^4+\frac{1}{3}\left(c+\frac{1}{c}\right)\left(x-c\right)^3\right]_{-\frac{1}{c}}^c\\ &=\sf -\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{c}-c\right)^4-\frac{1}{3}\left(c+\frac{1}{c}\right)\left(-\frac{1}{c}-c\right)^3\\ &=\sf \frac{1}{12}\left(c+\frac{1}{c}\right)^4\end{align*}}$
ここで、c＞0なので、相加・相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c+\frac{1}{c}\geq 2\sqrt{c\cdot \frac{1}{c}}=2 \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s\geq \frac{1}{12}\cdot 2^4=\frac{4}{3}\end{align*}}$
となり、Sの最小値は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{4}{3} \end{align*}}$である。
これは、相加・相乗平均の等号が成立するときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c=\frac{1}{c}\ \ \Leftrightarrow\ \ c=\underline{1\ \left(\gt 0\right)} \end{align*}}$
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第２問
以下の問いに答えよ。
(１) nを自然数とするとき、2nを7で割った余りを求めよ。
(２) 自然数mは、2進法で101が6回連続する表示
101101101101101101(2）
をもつとする。mを7で割った余りを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
以下の合同式は、すべてmod7で考える。
(１)
・n=3k （k=1，2，3，･･･）のとき
$\scriptsize\sf{2^n\equiv 2^{3k}\equiv 8^k\equiv 1^k\equiv \underline{1}}$
・n=3k+1 （k=0，1，2，･･･）のとき
$\scriptsize\sf{2^n\equiv 2^{3k+1}\equiv 2\cdot 8^k\equiv 2\cdot 1^k\equiv \underline{2}}$
・n=3k+2 （k=0，1，2，･･･）のとき
$\scriptsize\sf{2^n\equiv 2^{3k+2}\equiv 2^2\cdot 8^k\equiv 4\cdot 1^k\equiv \underline{4}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m&\equiv\sf 2^0+2^2+2^3+2^5+2^6+2^8+2^9+2^{11}+2^{12}+2^{14}+2^{15}+2^{17} \\ &\equiv\sf 1+4+1+4+1+4+1+4+1+4+1+4\\ &\equiv\sf 30\\ &\equiv\sf \underline{2}\end{align*}}$
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第３問
平面上に三角形ABCと点Oが与えられている。この平面上の動点Pに対し、
$\small\sf{L=PA^2+PB^2+PC^2}$
とおく。以下の問いに答えよ。
(１) $\small\sf{\overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}}$ 、$\small\sf{\overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}}$ 、$\small\sf{\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}}$ および$\small\sf{\overrightarrow{\sf x}=\overrightarrow{\sf OP}}$ とおくとき、次の等式を示せ。
$\small\sf{L=3|\overrightarrow{\sf x}|^2-2\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)\cdot\overrightarrow{\sf x}+|\overrightarrow{\sf a}|^2+|\overrightarrow{\sf b}|^2+|\overrightarrow{\sf c}|^2}$
(２) Lを最小にする点Pは三角形ABCの重心であることを示せ。また、Lの最小値は
$\small\sf{\frac{1}{3}\left(AB^2+BC^2+CA^2\right)}$
であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L&=\sf PA^2+PB^2+PC^2 \\ &=\sf \left|\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf x}\right|^2+\left|\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf x}\right|^2+\left|\overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf x}\right|^2\\ &=\sf \left(|\overrightarrow{\sf a}|^2-2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf x}+|\overrightarrow{\sf x}|^2\right)+\left(|\overrightarrow{\sf b}|^2-2\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf x}+|\overrightarrow{\sf x}|^2\right)+\left(|\overrightarrow{\sf c}|^2-2\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf x}+|\overrightarrow{\sf x}|^2\right)\\ &=\sf 3|\overrightarrow{\sf x}|^2-2\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)\cdot\overrightarrow{\sf x}+|\overrightarrow{\sf a}|^2+|\overrightarrow{\sf b}|^2+|\overrightarrow{\sf c}|^2 \end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L&=\sf 3\left|\overrightarrow{\sf x}-\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}}{3}\right|^2-\frac{1}{3}|\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}|^2+|\overrightarrow{\sf a}|^2+|\overrightarrow{\sf b}|^2+|\overrightarrow{\sf c}|^2 \\ &=\sf 3\left|\overrightarrow{\sf x}-\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}}{3}\right|^2+\frac{1}{3}\left(2|\overrightarrow{\sf a}|^2+2|\overrightarrow{\sf b}|^2+2|\overrightarrow{\sf c}|^2-2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}-2\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}-2\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\right)\\ &=\sf 3\left|\overrightarrow{\sf x}-\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}}{3}\right|^2+\frac{1}{3}\left(|\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}|^2+|\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf c}|^2+|\overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf a}|^2\right)\\ &=\sf 3\left|\overrightarrow{\sf x}-\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}}{3}\right|^2+\frac{1}{3}\left(AB^2+BC^2+CA^2\right)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf x}=\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}}{3} \end{align*}}$
のとき、すなわち、Pが三角形ABCの重心と一致するとき、Lは最小となり、その値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\left(AB^2+BC^2+CA^2\right)\end{align*}}$
である。
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第４問
3つの部品a、b、cからなる製品が多数入った箱がある。製品を1つ取り出したとき、
部品a、b、cが不良品である確率について次のことがわかっている。
・部品aが不良品である確率はpである。
・部品aが不良品でないとき、部品bが不良品である確率はqである。
・部品aが不良品であるとき、部品bも不良品である確率は3qである。
・部品bが不良品でないとき、部品cが不良品である確率はrである。
・部品bが不良品であるとき、部品cも不良品である確率は5rである。
ただし、0＜p＜1、 0＜q＜$\small\sf{\frac{1}{3}}$ 、 0＜r＜$\small\sf{\frac{1}{5}}$ である。以下の問いに答えよ。
(１) 製品を1つ取り出したとき、部品a、bの少なくとも一方が不良品である確率を
p、qを用いて表せ。
(２) 製品を1つ取り出したそき、部品cが不良品である確率をp、q、rを用いて表せ。
(３) 製品を1つ取り出したところ部品cが不良品であった。このとき、部品bも不良品
である確率をp、qを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
次の2つの場合が考えられる。
・aが不良品
・aが良品 かつ bが不良品
なので、求める確率は
$\scriptsize\sf{p+\left(1-p\right)q=\underline{p+q-pq}}$
(２)
次の4つの場合が考えられる。
(ⅰ) a：不良品 b：不良品 c：不良品
確率は、$\scriptsize\sf{p\cdot 3q\cdot 5r=15pqr}$
(ⅱ) a：不良品 b：良品 c：不良品
確率は、$\scriptsize\sf{p\cdot \left(1-3q\right)\cdot 5r=pr-3pqr}$
(ⅲ) a：良品 b：不良品 c：不良品
確率は、$\scriptsize\sf{\left(1-p\right)\cdot 3q\cdot 5r=5qr-5pqr}$
(ⅳ) a：良品 b：良品 c：不良品
確率は、$\scriptsize\sf{\left(1-p\right)\cdot \left(1-3q\right)\cdot 5r=r-pr-qr+pqr}$
以上より、cが不良品である確率は
$\scriptsize\sf{15pqr+\left(pr-3pqr\right)+\left(5qr-5pqr\right)+\left(r-pr-qr+pqr\right)=\underline{8pqr+4qr+r}}$
(３)
b、cがともに不良品であるのは(２)の(ⅰ)と(ⅲ)の場合なので、
求める条件付き確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{15pqr+\left(5qr-5pqr\right)}{8pqr+4qr+r}=\underline{\frac{10pq+5q}{8pq+4q+1}} \end{align*}}$
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- 2018/06/19(火) 23:57:00|
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