第１問
座標空間において、xy平面上にある双曲線x2-y2=1のうちx≧1を満たす部分を
Cとする。また、z軸上の点A(0，0,，1)を考える。点PがC上を動くとき、直線AP
と平面x=dとの交点の軌跡を求めよ。ただし、dは正の定数とする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
点Pの座標を(s，t，0)とおくと、
$\scriptsize\sf{s^2-t^2=1\ ,\ \ s\geq 1}$ ･･･・･･･・(ⅰ)
直線APと平面x=dとの交点をQ(d，Y，Z)とおくと、実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AP}=k\overrightarrow{\sf AQ}\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(s,t,-1\right)=k\left(d,Y,Z-1\right) \end{align*}}$
この式はZ=1のときは成り立たないので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k=-\frac{1}{Z-1}\ ,\ \ s=kd=-\frac{d}{Z-1}\ ,\ \ t=ky=-\frac{Y}{Z-1}\end{align*}}$
これを(ⅰ)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(-\frac{d}{Z-1}\right)^2-\left(-\frac{Y}{Z-1}\right)^2=1\ \ \Leftrightarrow\ \ Y^2+\left(Z-1\right)^2=d^2 \end{align*}}$
また、s，d＞0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s=-\frac{d}{Z-1}\gt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ Z\lt 1\end{align*}}$
以上より、点Qの軌跡は半円
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{y^2+\left(z-1\right)^2=d^2\ \ \ \left(z\lt 1\right)} \end{align*}}$
である。
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第２問
原点を中心とする半径3の半円C： x2+y2=9 （y≧0）上の2点PとQに対し、
線分PQを2：1に内分する点をRとする。以下の問いに答えよ。
(１) 点Pのy座標とQのy座標が等しく、かつPのx座標はQのx座標より小さくなる
ようにPとQが動くものとする。このとき、線分PRが通過してできる図形Sの面積
を求めよ。
(２) 点Pを(-3，0)に固定する。Qが半円C上を動くとき線分PRが通過してできる
図形Tの面積を求めよ。
(３) (１)の図形Sから(２)の図形Tを除いた図形と第1象限の共通部分をUとする。
Uをy軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
点Qの座標を(s，t)とおくと、
$\scriptsize\sf{s^2+t^2=9\ ,\ \ s\gt 0\ ,\ \ t\geq 0}$ ･･････(ⅰ)
図の対称性よりPの座標は(-s，t)となるので、点Rの座標(x，y)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(x,y\right)=\left(\frac{-s+2s}{3},\frac{t+2t}{3}\right)=\left(\frac{s}{3},t\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s=3x\ ,\ \ t=y \end{align*}}$
これと(ⅰ)よりRの軌跡は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{x}{3}\right)^2+y^2=9\ ,\ \ \frac{x}{3}\gt 0\ ,\ \ y\geq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+\frac{y^2}{3^2}=1\ ,\ \ x\gt 0\ ,\ \ y\geq 0\end{align*}}$
となるので、図形Sは右図のようになる。
これは、円の4分の1と楕円の4分の1を
合わせた図形なので、その面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{4}\left(\pi\cdot 3^2+\pi\cdot 1\cdot 3\right)=\underline{3\pi}\end{align*}}$
(２)
点Qの座標を(s，t)とおくと、
$\scriptsize\sf{s^2+t^2=9\ ,\ \ t\geq 0}$ ･･････(ⅱ)
点Rの座標(x，y)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(x,y\right)=\left(\frac{-3+2s}{3},\frac{0+2t}{3}\right)=\left(\frac{2s}{3}-1,\frac{2t}{3}\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s=\frac{3}{2}\left(x+1\right)\ ,\ \ t=\frac{3}{2}y \end{align*}}$
これと(ⅱ)よりRの軌跡は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{3}{2}\right)^2\left(x+1\right)^2+\left(\frac{3}{2}y\right)^2=9\ ,\ \ \frac{3}{2}y\geq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x+1\right)^2+y^2=2^2\ ,\ \ y\geq 0\end{align*}}$
となるので、図形Tは図２のようになる。
その面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\cdot \pi\cdot 2^2=\underline{2\pi}\end{align*}}$
(３)
(１)、(２)より、Uは右図のようになる。
Sの楕円の部分の式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2=1-\frac{y^2}{9}\ \ \ \ \left(x\geq 0\ ,\ \ 0\leq y\leq 3\right)\end{align*}}$
Tの半円のうち、、第1象限にある部分の式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=-1+\sqrt{4-y^2}\ \ \ \ \left(x\geq 0\ ,\ \ 0\leq y\leq \sqrt3\right)\end{align*}}$
よって、求める回転体の体積をVとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \pi\int_0^3\left(1-\frac{y^2}{9}\right)dy-\pi\int_0^{\sqrt3}\left(-1+\sqrt{4-y^2}\right)^2dy \\ &=\sf \pi\int_0^3\left(1-\frac{y^2}{9}\right)dy-\pi\int_0^{\sqrt3}\left(5-y^2\right)dy+2\pi\int_0^{\sqrt3}\sqrt{4-y^2}dy\end{align*}}$
となる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^3\left(1-\frac{y^2}{9}\right)dy=\left[y-\frac{y^3}{27}\right]_0^3=2 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{\sqrt3}\left(5-y^2\right)dy=\left[5y-\frac{y^3}{3}\right]_0^{\sqrt3}=4\sqrt3\end{align*}}$
また、$\scriptsize\sf{y=2sin\theta}$ と置換すると、$\scriptsize\sf{x:\ 0\rightarrow\ \sqrt3}$に対して$\scriptsize\sf{\theta:\ 0\rightarrow\ \frac{\pi}{3}}$であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dy}{d\theta}=2cos\theta \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{\sqrt3}\sqrt{4-y^2}dy&=\sf \int_0^{\frac{\pi}{3}}\sqrt{4-4sin^2\theta}\cdot 2cos\theta\ d\theta \\ &=\sf 4\int_0^{\frac{\pi}{3}}cos^2\theta\ d\theta\\ &=\sf 2\int_0^{\frac{\pi}{3}}\left(1+cos2\theta\right) d\theta\\ &=\sf 2\left[\theta+\frac{1}{2}sin2\theta\right]_0^{\frac{\pi}{3}}\\ &=\sf \frac{2}{3}\pi+\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf 2\pi-4\sqrt3\pi+2\pi\left(\frac{2}{3}\pi+\frac{\sqrt3}{2}\right) \\ &=\sf \underline{\left(2-3\sqrt3+\frac{4}{3}\pi\right)\pi}\end{align*}}$
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第３問
1から4までの数字を1つずつ書いた4枚のカードが箱に入っている。箱の中から
1枚カードを取り出してもとに戻す試行をn回続けて行う。k回目に取り出した
カードの数字をXkとし、積X1X2･･･Xnを4で割った余りが0、1、2、3である
確率をそれぞれpn、qn、rn、snとする。pn、qn、rn、snを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
積X1X2･･･Xnを4で割った余りをYnとする。
・Yn=0のときは、Xn+1の値によらずYn+1=0
・Yn=1のとき、
Xn+1=4ならばYn+1=0
Xn+1=1ならばYn+1=1
Xn+1=2ならばYn+1=2
Xn+1=3ならばYn+1=3
・Yn=2のとき、
Xn+1=2，4ならばYn+1=0
Xn+1=1，3ならばYn+1=2
・Yn=3のとき、
Xn+1=4ならばYn+1=0
Xn+1=3ならばYn+1=1
Xn+1=2ならばYn+1=2
Xn+1=1ならばYn+1=3
これらより漸化式を作ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_1=q_1=r_1=s_1=\frac{1}{4}\end{align*}}$ ･･････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_{n+1}=p_n+\frac{1}{4}q_n+\frac{1}{2}r_n+\frac{1}{4}s_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q_{n+1}=\frac{1}{4}q_n+\frac{1}{4}s_n\end{align*}}$ ･･････②
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r_{n+1}=\frac{1}{4}q_n+\frac{1}{2}r_n+\frac{1}{4}s_n\end{align*}}$ ･･････③
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s_{n+1}=\frac{1}{4}q_n+\frac{1}{4}s_n\end{align*}}$ ･･････④
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_n+q_n+r_n+s_n=1 \end{align*}}$ ･･････⑤
①、②、④より、qn=snであり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q_{n+1}=\frac{1}{2}q_n\end{align*}}$
となるので、数列{qn}は等比数列をなす。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q_n=q_1\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\underline{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s_n=\underline{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}} \end{align*}}$
このとき、③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r_{n+1}=\frac{1}{2}r_n+\left(\frac{1}{2}\right)^{n+2} \end{align*}}$
両辺×2n+1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2^{n+1}r_{n+1}=2^nr_n+\frac{1}{2} \end{align*}}$
となるので、数列{2nrn}は等比数列をなす。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2^nr_n=2r_1+\frac{1}{2}\left(n-1\right)=\frac{1}{2}n \ \ \Leftrightarrow\ \ r_n=\underline{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}n} \end{align*}}$
これらと⑤より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_n=1-q_n-r_n-s_n=\underline{1-\left(n+2\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}} \end{align*}}$
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第４問
整数a、bは3の倍数ではないとし、
f(x)=2x3+a2x2+2b2x+1
とおく。以下の問いに答えよ。
(１) f(1)とf(2)を3で割った余りをそれぞれ求めよ。
(２) f(x)=0を満たす整数xは存在しないことを示せ。
(３) f(x)=0を満たす有理数xが存在するような組(a，b)をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
以下の合同式は、mod3で考える。
a≡1のとき、a2≡1
a≡2のとき、a2≡4≡1
よって、
$\scriptsize\sf{f\left(1\right)\equiv 2+a^2+2b^2+1\equiv 6\equiv \underline{0}}$
$\scriptsize\sf{f\left(2\right)\equiv 16+4a^242b^2+1\equiv 25\equiv \underline{1}}$
(２)
x≧0のときはf(x)≧1となるので、f(x)=0の実数解は負の数である。･･････(ⅰ)
f(x)=0が負の整数解nをもつと仮定すると、
$\scriptsize\sf{f\left(n\right)=2n^3+a^2n^2+2b^2n+1=0}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ n\left(2n^2+a^2n+2b^2\right)=-1}$
上式の( )内は整数なので、$\scriptsize\sf{n=-1}$ である。
mod3の合同式を考えると、(１)より
$\scriptsize\sf{f\left(-1\right)\equiv f\left(2\right)\equiv 1}$
となるので、f(-1)=0に反する。
以上より、f(x)=0は整数解をもたない。
(３)
f(x)=0の有理数解を互いに素な整数m、nを用いて$\scriptsize\sf{x=\frac{n}{m}}$ とおくと、
(ⅰ)および(２)の結論より、m≧2、n＜0である。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(\frac{n}{m}\right)=2\left(\frac{n}{m}\right)^3+a^2\left(\frac{n}{m}\right)^2+2b^2\cdot\frac{n}{m}+1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2n^3+a^2mn^2+2b^2m^2n+m^3=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ n\left(2n^2+a^2mn+2b^2m^2\right)=-m^3 \ \ \ \cdots\cdots\cdots\ (ii)}$
(ⅱ)式の( )内は整数であり、mとnは互いに素な整数なので$\scriptsize\sf{n=-1}$ である。
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (ii)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2+a^2m-2b^2m^2=-m^3\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf m\left(a^2-2b^2m+m^2\right)=2 \ \ \ \cdots\cdots\cdots\ (iii)\end{align*}}$
であり、m≧2より$\scriptsize\sf{m=2}$である。
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (iii)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2\left(a^2-4b^2+4\right)=2 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a^2-4b^2=-3\\ &=\sf \left(a+2b\right)\left(a-2b\right)=-3\end{align*}}$
a、bは整数なので、
$\scriptsize\sf{\left(a+2b,a-2b\right)=\left(1,-3\right),\ \left(-1,3\right),\ \left(3,-1\right),\ \left(-3,1\right)}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a,b\right)=\underline{\left(-1,1\right),\ \left(1,-1\right),\ \left(1,1\right),\ \left(-1,-1\right)}}$
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第５問
$\small\sf{\alpha}$を複素数とする。等式
$\small\sf{\begin{align*}\sf \alpha\left(|z|^2+2\right)+i\left(2|\alpha|^2+1\right)\overline{z}=0\end{align*}}$
を満たす複素数zをすべて求めよ。ただし、iは虚数単位である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha\left(|z|^2+2\right)+i\left(2|\alpha|^2+1\right)\overline{z}=0\ \ \ \ \cdots\cdots\cdots (*)\end{align*}}$
・$\scriptsize\sf{\alpha=0}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)\ \ \Leftrightarrow\ \ i\ \overline{z}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ z=\underline{0}\end{align*}}$
・$\scriptsize\sf{\alpha\ne 0}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \overline{z}=-\frac{|z|^2+2}{i\left(2|\alpha|^2+1\right)}\alpha=\frac{|z|^2+2}{2|\alpha|^2+1}\alpha\ i\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf z=-\frac{|z|^2+2}{2|\alpha|^2+1}\overline{\alpha}\ i\end{align*}}$
ここで、実数kを
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k=-\frac{|z|^2+2}{2|\alpha|^2+1}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z=\overline{\alpha}\ i\ ,\ \ |z|^2=|\overline{\alpha}\ i|^2=|\alpha|^2 \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \alpha\left(k^2|\alpha|^2+2\right)+i\left(2|\alpha|^2+1\right)\cdot\left(-k\alpha\ i\right)=0 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf |\alpha|^2k^2+\left(2|\alpha|^2+1\right)k+2=0\ \ \ \ \left(\because\ \alpha\ne 0\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(|\alpha|^2k+1\right)\left(k+2\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf k=-2\ ,\ -\frac{1}{|\alpha|^2}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z=\underline{-2i\alpha\ ,\ \ -\frac{i\overline{\alpha}}{|\alpha|^2}\ \left(=-\frac{i}{\alpha}\right)}\end{align*}}$
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- 2018/06/24(日) 23:57:00|
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