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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018北海道大 理系数学1



第1問

  座標空間の4点
    $\small\sf{\begin{align*}\sf A\left(-\frac{\sqrt3}{2},\frac{1}{2},0\right)\ ,\ \ B\left(0,0,1\right)\ ,\ \ C\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt3}{2},-1\right)\ ,\ \ D\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2},-1\right)\end{align*}}$
  に対し、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}=\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf OA}+t\overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf q}=\left(1-s\right)\overrightarrow{\sf OC}+s\overrightarrow{\sf OD} \end{align*}}$
  とおく。ただし、Oは原点、sとtは実数とする。

 (1)  $\small\sf{|\overrightarrow{\sf p}|}$ 、$\small\sf{|\overrightarrow{\sf q}|}$ と内積$\small\sf{\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}}$ をs、tで表せ。

 (2) t=$\small\sf{\frac{1}{2}}$ のとき、ベクトル$\small\sf{\overrightarrow{\sf p}}$ と$\small\sf{\overrightarrow{\sf q}}$ のなす角が$\small\sf{\frac{3}{4}\pi}$ となるようなsの値を求めよ。

 (3) sとtが実数を動くとき、$\small\sf{|\overrightarrow{\sf p}-\overrightarrow{\sf q}|}$ の最小値を求めよ。




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  1. 2018/06/11(月) 23:57:00|
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2018北海道大 理系数学2



第2問

  $\small\sf{z+\frac{4}{z}}$ が実数となるような0と異なる複素数zの全体をDとする。

 (1) Dを複素数平面上に図示せよ。

 (2) kを実数とする。Dに属するzで方程式
        $\small\sf{k\left(z+\frac{4}{z}+8\right)=i\left(z-\frac{4}{z}\right)}$
    を満たすものが存在するようなkの値の範囲を求めよ。ただし、
    i は虚数単位を表す。




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  1. 2018/06/12(火) 23:57:00|
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2018北海道大 理系数学3



第3問

  数字の2が書かれたカードが2枚、同様に、数字の0、1、8が書かれたカードが
  それぞれ2枚、あわせて8枚のカードがある。これらから4枚を取り出し、横一列
  に並べてできる自然数をnとする。ただし、0のカードが左から1枚または2枚現
  れる場合は、nは3桁または2桁の自然数とそれぞれ考える。例えば、左から順
  に0、0、1、1の数字のカードが並ぶ場合のnは11である。

 (1) a、b、c、dは整数とする。1000a+100b+10c+dが9の倍数になる
    こととa+b+c+dが9の倍数になることは同値であることを示せ。

 (2) nが9の倍数である確率を求めよ。

 (3) nが偶数であったとき、nが9の倍数である確率を求めよ。






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  1. 2018/06/13(水) 23:57:00|
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2018北海道大 理系数学4



第4問

  座標平面上に3点O(0,0),A($\small\sf{\frac{15}{2}}$,0)、B(11,11)がある。条件
          BQ≧OQ≧2AQ
  を満たす点Q(x,y)の全体をDとする。

 (1) Dを座標平面上に図示せよ。また、BQ=OQ=2AQとなるすべての
    点Qの座標を求めよ。

 (2) 0<p≦11とし、Pを点(p,11)とする。条件OQ≧PQを満たす
    Dの点Qが存在するようなpの値の範囲を求めよ。





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  1. 2018/06/14(木) 23:57:00|
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2018北海道大 理系数学5



第5問

   2つの関数
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)=cosx\ ,\ \ \ g\left(x\right)=\sqrt{\frac{\pi^2}{2}-x^2}-\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
  がある。

 (1) 0≦x≦$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$ のとき、不等式$\small\sf{\frac{2}{\pi}x}$ ≦sinxが成り立つことを示せ。

 (2) 0≦x≦$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$ のとき、不等式$\small\sf{g}$(x)≦f⁡(x)が成り立つことを示せ。

 (3) 0≦x≦$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$ の範囲において、2つの曲線y=f(x)、y=$\small\sf{g}$(x)
    およびy軸が囲む部分の面積を求めよ。




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  1. 2018/06/15(金) 23:57:00|
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