第１問
座標空間の4点
$\small\sf{\begin{align*}\sf A\left(-\frac{\sqrt3}{2},\frac{1}{2},0\right)\ ,\ \ B\left(0,0,1\right)\ ,\ \ C\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt3}{2},-1\right)\ ,\ \ D\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2},-1\right)\end{align*}}$
に対し、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}=\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf OA}+t\overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf q}=\left(1-s\right)\overrightarrow{\sf OC}+s\overrightarrow{\sf OD} \end{align*}}$
とおく。ただし、Oは原点、sとtは実数とする。
(１) $\small\sf{|\overrightarrow{\sf p}|}$ 、$\small\sf{|\overrightarrow{\sf q}|}$ と内積$\small\sf{\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}}$ をs、tで表せ。
(２) t=$\small\sf{\frac{1}{2}}$ のとき、ベクトル$\small\sf{\overrightarrow{\sf p}}$ と$\small\sf{\overrightarrow{\sf q}}$ のなす角が$\small\sf{\frac{3}{4}\pi}$ となるようなsの値を求めよ。
(３) sとtが実数を動くとき、$\small\sf{|\overrightarrow{\sf p}-\overrightarrow{\sf q}|}$ の最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}=\left(1-t\right)\left(-\frac{\sqrt3}{2},\frac{1}{2},0\right)+t\left(0,0,1\right)=\left(-\frac{\sqrt3}{2}\left(1-t\right),\frac{1}{2}\left(1-t\right),t\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf q}=\left(1-s\right)\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt3}{2},-1\right)+s\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2},-1\right)=\left(\frac{1}{2}\left(2s-1\right),\frac{\sqrt3}{2}\left(2s-1\right),-1\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf p}|&=\sf \sqrt{\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2\left(1-t\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(1-t\right)^2+t^2} \\ &=\sf \underline{\sqrt{2t^2-2t+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf q}|&=\sf \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(2s-1\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2\left(2s-1\right)^2+\left(-1\right)^2} \\ &=\sf \underline{\sqrt{4s^2-4s+2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}&=\sf -\frac{\sqrt3}{4}\left(1-t\right)\left(2s-1\right)+\frac{\sqrt3}{4}\left(1-t\right)\left(2s-1\right)-t \\ &=\sf \underline{-t}\end{align*}}$
(２)
t=$\scriptsize\sf{\frac{1}{2}}$ のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}=|\overrightarrow{\sf p}||\overrightarrow{\sf q}|\ cos\frac{3}{4}\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{1}{2}=\sqrt{2\left(\frac{1}{2}\right)^2-2\cdot \frac{1}{2}+1}\ \sqrt{4s^2-4s+2}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4s^2-4s+1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s=\underline{\frac{1}{2}} \end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf p}-\overrightarrow{\sf q}|^2&=\sf |\overrightarrow{\sf p}|^2-2\overrightarrow{\sf p}\cdot\overrightarrow{\sf q}+|\overrightarrow{\sf q}|^2 \\ &=\sf \left(2t^2-2t+1\right)+2t+\left(4s^2-4s+2\right)\\ &=\sf 2t^2+4s^2-4s+3\\ &=\sf 2t^2+4\left(s-\frac{1}{2}\right)^2+2\\ &\geq\sf 2\end{align*}}$
より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=0\ ,\ s=\frac{1}{2} \end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{|\overrightarrow{\sf p}-\overrightarrow{\sf q}|}$ は最小となり、その値は$\scriptsize\sf{\underline{\sqrt2}}$ である。
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- 2018/06/11(月) 23:57:00|
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第２問
$\small\sf{z+\frac{4}{z}}$ が実数となるような0と異なる複素数zの全体をDとする。
(１) Dを複素数平面上に図示せよ。
(２) kを実数とする。Dに属するzで方程式
$\small\sf{k\left(z+\frac{4}{z}+8\right)=i\left(z-\frac{4}{z}\right)}$
を満たすものが存在するようなkの値の範囲を求めよ。ただし、
i は虚数単位を表す。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
実数x、yを用いてz=x+yi （≠0）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z+\frac{4}{z}&=\sf \left(x+yi\right)+\frac{4}{x+yi} \\ &=\sf\left(x+yi\right)+\frac{4\left(x-yi\right)}{x^2+y^2} \\ &=\sf \left(x+\frac{4x}{x^2+y^2}\right)+\left(y-\frac{4y}{x^2+y^2}\right)\end{align*}}$
となり、これが実数であるとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y-\frac{4y}{x^2+y^2}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ y\left(x^2+y^2-4\right)=0\end{align*}}$
よって、x、yの満たすべき条件は
$\scriptsize\sf{y=0}$ または $\scriptsize\sf{x^2+y^2=4}$
であり、これを図示すると、下図のようになる。（ただし、原点Oは含まない）
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k\left(z+\frac{4}{z}+8\right)=i\left(z-\frac{4}{z}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k\left\{x+yi+\frac{4}{x+yi}+8\right\}=i\left\{x+yi-\frac{4}{x+yi}\right\} \end{align*}}$ ･･････(*)
・y=0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf k\left(x+\frac{4}{x}+8\right)=i\left(x-\frac{4}{x}\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf k\left(x^2+8x+4\right)=i\left(x^2-4\right) \end{align*}}$
左辺は実数なので、
$\scriptsize\sf{x^2-4=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm 2}$
このとき、$\scriptsize\sf{\underline{k=0}}$である。
・x2+y2=4 ･･････(#)のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{4}{x+yi}=\frac{4\left(x-yi\right)}{x^2+y^2}=x-yi \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf k\left(2x+8\right)=-2y\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf y=-kx-4k\end{align*}}$
これと(#)を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2+\left(-kx-4k\right)^2-4=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(k^2+1\right)x^2+8k^2x+16k^2-4=0\end{align*}}$
となり、これを満たす実数が存在すればよいので、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4=\left(4k^2\right)^2-\left(k^2+1\right)\left(16k^2-4\right)\geq 0 \ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{1}{\sqrt3}\leq k\leq\frac{1}{\sqrt3}\end{align*}}$
以上より、題意を満たすようなkの値の範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{-\frac{1}{\sqrt3}\leq k\leq\frac{1}{\sqrt3}}\end{align*}}$
である。
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- 2018/06/12(火) 23:57:00|
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第３問
数字の2が書かれたカードが2枚、同様に、数字の0、1、8が書かれたカードが
それぞれ2枚、あわせて8枚のカードがある。これらから4枚を取り出し、横一列
に並べてできる自然数をnとする。ただし、0のカードが左から1枚または2枚現
れる場合は、nは3桁または2桁の自然数とそれぞれ考える。例えば、左から順
に0、0、1、1の数字のカードが並ぶ場合のnは11である。
(１) a、b、c、dは整数とする。1000a+100b+10c+dが9の倍数になる
こととa+b+c+dが9の倍数になることは同値であることを示せ。
(２) nが9の倍数である確率を求めよ。
(３) nが偶数であったとき、nが9の倍数である確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{1000a+100b+10c+d=9\left(111a+11b+c\right)+a+b+c+d}$
と変形でき、111a+11b+cは整数なので、9(111a+11b+c)は9の倍数である。
よって、a+b+c+dが9の倍数であるとき、1000a+100b+10c+dも9の倍数である。
(２)
8枚のカードを0A，0B，1A，1B，2A，2B，8A，8Bと区別する。
(１)より、nが9の倍数になるのは、4数の和が9の倍数になるときなので、
4枚のカードの組み合わせは、次の3つの場合がある。
(ア) 0A、0B、1AまたはB、8AまたはB
(イ) 0AまたはB、2AまたはB、8A、8B
(ウ) １A、1B、8A、8B
(ア)、(イ)に関してはカードの選び方がそれぞれ22通りずつあり、
4枚のカードの並べ方はそれぞれ4!通りずつあるので、
nが9の倍数になる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{4!\cdot \left(2^2+2^2+1\right)}{_8P_4}=\underline{\frac{9}{70}} \end{align*}}$
(３)
nが偶数になるのは、
一番右のカードは0A，0B，2A，2B，8A，8Bの6通り、
残り3枚の並べ方は、7P3通りあるので、全部で
6×7P3=1260通り
一方、nが偶数で9の倍数になるのは、
(2)の(ア)の場合
右端のカードが 0A、0B、8AまたはBの3通り、
残りのカードの並び方が3!通り、
1と8のカードの選び方が22通りあるので、
3×3!×22=72通り
(2)の(イ)の場合
カードの並び方が4!通り、
0と2のカードの選び方が22通りあるので、
4!×22=96通り
(2)の(ウ)の場合
右端のカードが 8A、8Bの2通り、
残りのカードの並び方が3!通りあるので、
2×3!=12通り
以上より、全部で
72+96+12=180通り
よって、求める条件付き確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{180}{1260}=\underline{\frac{1}{7}}\end{align*}}$
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- 2018/06/13(水) 23:57:00|
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第４問
座標平面上に3点O(0，0),A($\small\sf{\frac{15}{2}}$，0)、B(11，11)がある。条件
BQ≧OQ≧2AQ
を満たす点Q(x，y)の全体をDとする。
(１) Dを座標平面上に図示せよ。また、BQ=OQ=2AQとなるすべての
点Qの座標を求めよ。
(２) 0＜p≦11とし、Pを点(p，11)とする。条件OQ≧PQを満たす
Dの点Qが存在するようなpの値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BQ\geq OQ&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(x-11\right)^2+\left(y-11\right)^2=x^2+y^2 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf y\leq -x+11\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OQ\geq 2AQ&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2+y^2\geq 4\left\{\left(x-\frac{15}{2}\right)^2+y^2\right\} \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2-20x+y^2+75\leq 0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(x-10\right)^2+y^2\leq 5^2\end{align*}}$
となるので、Dを図示すると、下図のようになる。
（境界線上の点も含む）
また、BQ=OQ=2AQとなるとき、
$\scriptsize\sf{y=-x+11}$ かつ $\scriptsize\sf{x^2-20x+y^2+75=0}$
なので、2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2-20x+\left(-x+11\right)^2+75=0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2-21x+98=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(x-7\right)\left(x-14\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=7,14\end{align*}}$
x=7のとき
$\scriptsize\sf{y=-7+11=4}$
x=14のとき
$\scriptsize\sf{y=-14+11=-3}$
よって、題意を満たす点Qの座標は
$\scriptsize\sf{\underline{\left(7,4\right)\ ,\ \ \left(14,-3\right)}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OQ\geq PQ&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2+y^2\geq\left(x-p\right)^2+\left(y-11\right)^2 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf y\geq -\frac{p}{11}x+\frac{p^2+121}{22}\end{align*}}$ ･･････(*)
となり、これは直線
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=-\frac{p}{11}x+\frac{p^2+121}{22} \end{align*}}$ （Lとする）
の上側の領域を表している。
また、0＜p≦11より、Lの傾きは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -1\leq -\frac{p}{11}\lt 0\end{align*}}$
なので、条件(*)を満たすDの点Qが存在するためには、
点(7，4)が(*)を満たせばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4\geq -\frac{p}{11}\cdot 7+\frac{p^2+121}{22}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf p^2-14p+33\leq 0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(p-3\right)\left(p-11\right)\leq 0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{3\leq p\leq 11}\end{align*}}$
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- 2018/06/14(木) 23:57:00|
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第５問
2つの関数
$\small\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)=cosx\ ,\ \ \ g\left(x\right)=\sqrt{\frac{\pi^2}{2}-x^2}-\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
がある。
(１) 0≦x≦$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$ のとき、不等式$\small\sf{\frac{2}{\pi}x}$ ≦sinxが成り立つことを示せ。
(２) 0≦x≦$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$ のとき、不等式$\small\sf{g}$(x)≦f(x)が成り立つことを示せ。
(３) 0≦x≦$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$ の範囲において、2つの曲線y=f(x)、y=$\small\sf{g}$(x)
およびy軸が囲む部分の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
関数h(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\left(x\right)=sinx-\frac{2}{\pi}x\ \ \ \ \left(0\leq x\leq \frac{\pi}{2}\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h'\left(x\right)=cosx-\frac{2}{\pi}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{cos\alpha=\frac{2}{\pi}\ \ \ \left(0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}\right)}$
となる$\scriptsize\sf{\alpha}$がただ1つ存在するので、h(x)の増減は次のようになる。
よって、常にh(x)≧0となるので、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{\pi}x\leq sinx\ \ \ \left(0\leq x\leq\frac{\pi}{2}\right) \end{align*}}$
が成り立つ。
(２)
関数k(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k\left(x\right)&=\sf g\left(x\right)-f\left(x\right) \\ &=\sf \sqrt{\frac{\pi^2}{2}-x^2}-\frac{\pi}{2}-cosx\ \ \ \ \ \left(0\leq x\leq\frac{\pi}{2}\right) \end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k'\left(x\right)&=\sf -\frac{x}{\sqrt{\frac{\pi^2}{2}-x^2}}+sinx \\ &\geq\sf -\frac{x}{\sqrt{\frac{\pi^2}{2}-x^2}}+\frac{2}{\pi}x\ \ \ \ \left(\because\ (1)\right)\\ &=\sf \frac{2\sqrt{\frac{\pi^2}{2}-x^2}-\pi}{\pi\sqrt{\frac{\pi^2}{2}-x^2}}x\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{0\leq x\leq\frac{\pi}{2}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\sqrt{\frac{\pi^2}{2}-x^2}-\pi\geq 2\sqrt{\frac{\pi^2}{2}-\left(\frac{\pi}{2}\right)^2}-\pi= 0\end{align*}}$
なので、k’(x)≧0となり、k(x)は単調に増加する。
このことと、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\end{align*}}$ より、k(x)≦0となる。
よって、不等式$\small\sf{g}$(x)≦f(x)が成り立つ。
(３)
求める面積をSとすると、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left\{cosx-\left(\sqrt{\frac{\pi^2}{2}-x^2}-\frac{\pi}{2}\right)\right\}dx \\ &=\sf \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(cosx+\frac{\pi}{2}\right)dx-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\frac{\pi^2}{2}-x^2}\ dx\end{align*}}$
となる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(cosx+\frac{\pi}{2}\right)dx&=\sf \left[sinx+\frac{\pi}{2}x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &=\sf 1+\frac{\pi^2}{4} \end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{\pi}{\sqrt2}sin\theta\end{align*}}$
と置換すると、x：0→$\scriptsize\sf{\frac{\pi}{2}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\theta}$ ：0→$\scriptsize\sf{\frac{\pi}{4}}$ であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dx}{d\theta}=\frac{\pi}{\sqrt2}cos\theta\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\frac{\pi^2}{2}-x^2}\ dx&=\sf \int_0^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{\frac{\pi^2}{2}-\frac{\pi^2}{2}sin^2\theta}\cdot \frac{\pi}{\sqrt2}cos\theta\ d\theta \\ &=\sf \frac{\pi^2}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1+cos2\theta}{2}d\theta\\ &=\sf \frac{\pi^2}{4}\left[\theta+\frac{1}{2}sin2\theta\right]_0^{\frac{\pi}{4}}\\ &=\sf \frac{\pi^3}{16}+\frac{\pi^2}{8}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=1+\frac{\pi^2}{4}-\left(\frac{\pi^3}{16}+\frac{\pi^2}{8}\right)=\underline{-\frac{\pi^3}{16}+\frac{\pi^2}{8}+1} \end{align*}}$
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- 2018/06/15(金) 23:57:00|
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