第１問
正の整数nの各位の数の和をS(n)で表す。たとえば
S(3)=3、 S(10)=1+0=1、 S(516)=5+1+6=12
である。
(１) n≧10000 のとき、不等式n＞30S(n)+2018を示せ。
(２) n=30S(n)+2018を満たすnを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
nをk桁（k≧5）の数とすると、n≧10k-1
また、S(n)≦9+9+・・+9=9kなので、
5以上の整数kに対して
$\scriptsize\sf{10^{k-1}\gt 30\cdot 9k+2018}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ 10^{k-1}-270k-2018\gt 0}$ ･･････(#)
が成り立てば、$\scriptsize\sf{n\gt 30S(n)+2018}$ が成り立つことになる。
(#)を数学的帰納法で示す。
(ⅰ) k=5のとき
$\scriptsize\sf{10^4-270\cdot 4-2018=6902\gt 0}$
(ⅱ) k=mのとき(#)が成り立つと仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 10^{m}-270(m+1)-2018&\gt\sf 10(270m+2018)-270(m+1)-2018 \\ &=\sf 2430m+17892\\ &\gt\sf 0\end{align*}}$
となるので、k=m+1のときも成り立つ。
以上より、5以上のすべての整数kに対して(#)が成り立つので、不等式
$\scriptsize\sf{n\gt 30S(n)+2018}$
が成り立つ。
(２)
$\scriptsize\sf{n=30S(n)+2018\geq 2048}$ ･･････(*)
(*)とS(n)≧1より
$\scriptsize\sf{n=30+2018\geq 2048}$
このことと(１)より、nは4桁の整数である。
また、
$\scriptsize\sf{n=10\left\{3S(n)+201\right\}+8}$
より、nの1の位の数は8である。よって、
$\scriptsize\sf{1+0+0+8\leq S(n)\leq 9+9+9+8}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ 2288\leq n\leq 3068\ \ \ \ \left(\because\ (*)\right)}$
(ア) $\scriptsize\sf{2288\leq n\leq 2999}$ のとき、
nの百の位の数をa、十の位の数をbとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2000+100a+10b+8=30\left(2+a+b+8\right)+2018\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf b=\frac{2b+31}{7}\end{align*}}$
となり、0≦b≦9より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4\lt\frac{31}{7}\leq a\leq 7 \end{align*}}$
よって、a、bの値の組は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(a,b\right)=\left(5,2\right),\left(6,\frac{11}{2}\right),\left(7,9\right) \end{align*}}$
(イ) $\scriptsize\sf{3000\leq n\leq 3068}$ のとき、
nの十の位の数をbとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 3000+10b+8=30\left(3+0+b+8\right)+2018\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf b=33\end{align*}}$
となり不適
以上より、(*)を満たすnの値は
$\scriptsize\sf{n=\underline{2528,\ 2798}}$
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- 2018/07/03(火) 23:57:00|
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第２問
-1≦t≦1とし、曲線 $\small\sf{y=\frac{x^2-1}{2}}$ 上の点$\small\sf{\left(t,\frac{t^2-1}{2}\right)}$ における接線をLとする。
半円x2+y2=1 （y≦0）とLで囲まれた部分の面積をSとする。Sの
とりうる値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
曲線および半円はy軸について対称なので、0≦t≦1の範囲で考える。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{x^2-1}{2}\right)'=x \end{align*}}$ なので、接線Lの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L: y-\frac{t^2-1}{2}=t\left(x-t\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ 2tx-2y-t^2-1=0\end{align*}}$
半円の中心OからLまでの距離をdとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf d=\frac{\left|-t^2-1\right|}{\sqrt{\left(2t\right)^2+2^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{t^2+1}\end{align*}}$
であり、0≦t≦1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\leq d\leq\frac{\sqrt2}{2} \end{align*}}$
ここで、Sをdの関数とみなしてS(d)と表すと、S(d)は単調に減少するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)\leq S\leq S\left(\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
である。
Lと半円の2交点をP、Qとすると、
・d=$\scriptsize\sf{\frac{1}{2}}$ のとき、t=0であり、∠POQ=$\scriptsize\sf{\frac{2}{3}\pi}$ となるので（図1）、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\left(\frac{1}{2}\right)&=\sf \frac{\pi}{3}\cdot 1^2-\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot sin\frac{2}{3}\pi =\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{4} \end{align*}}$
・d=$\scriptsize\sf{\frac{\sqrt2}{2}}$ のとき、t=1であり、∠POQ=$\scriptsize\sf{\frac{\pi}{2}}$ となるので（図2）、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)&=\sf \frac{\pi}{4}\cdot 1^2-\frac{1}{2}\cdot 1^2 =\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \end{align*}}$
以上より、Sの取り得る値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\leq S\leq\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{4}} \end{align*}}$
である。
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第３問
3個のさいころを投げる。
(１) 出た目の積が6となる確率を求めよ。
(２) 出た目の積がkとなる確率が$\small\sf{\frac{1}{36}}$ であるようなkをすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
3個のさいころの目の出方の総数は63=216通り
(１)
1～6の3数の積が6になるのは、
1×1×6=6 順序も考慮に入れると目の出方は3通り
1×2×3=6 順序も考慮に入れると目の出方は6通り
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3+6}{216}=\underline{\frac{1}{24}} \end{align*}}$
(２)
題意を満たすようなさいころの目の出方は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 216×\frac{1}{36}=6 \end{align*}}$ 通り
出た目の3数をp、q、r （p≦q≦r）とする。
(ⅰ) p＜q＜rのとき、目の出方は6通り
題意を満たすのは
1×2×5=10
1×3×5=15
2×4×5=40
3×5×6=90
4×5×6=120
(ⅱ) p=q＜r または p＜q=rのとき、目の出方は3通り
題意を満たすのは
1×2×2=1×1×4=4
1×4×4=2×2×4=16
以上より、求めるkの値は
ｋ=4，10，15，16，40，90，120
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第４問
p、qを正の実数とする。原点をOとする座標空間内の3点P(p，0，0)、Q(0，q，0)、
R(0，0，1)は∠PRQ=$\small\sf{\frac{\pi}{6}}$ を満たす。四面体OPQRの体積の最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PQ^2=p^2+q^2\ ,\ \ PR^2=p^2+1\ ,\ \ QR^2=q^2+1\end{align*}}$
△PQRにおいて、余弦定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p^2+1^2=\left(p^2+1\right)+\left(q^2+1\right)-2\sqrt{p^2+1}\sqrt{q^2+1}\ cos\frac{\pi}{6} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{3\left(p^2+1\right)\left(q^2+1\right)}=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^2+q^2=\frac{1}{3}-p^2q^2 \end{align*}}$
p、q＞なので、相加・相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p^2+q^2\geq 2\sqrt{p^2q^2}=2pq\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}-p^2q^2\geq 2pq\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3p^2q^2+6pq-1\leq 0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt pq\leq\frac{-3+2\sqrt3}{3}\ \ \ \left(\because\ p,q\gt 0\right) \end{align*}}$
ここで、四面体OPQRの体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V=\frac{1}{6}pq\leq\frac{-3+2\sqrt3}{18}\end{align*}}$
となるので、Vの最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V_{max}=\underline{\frac{-3+2\sqrt3}{18}}\end{align*}}$
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第５問
aを実数とし、f(x)=x-x3、g(x)=a(x-x2)とする。2つの曲線y=f(x)、
y=g(x)は0＜x＜1の範囲に共有点を持つ。
(１) aのとりうる値の範囲を求めよ。
(２) y=f(x)とy=g(x)で囲まれた2つの部分の面積が等しくなるようなaの
値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)=g\left(x\right)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x-x^3=a\left(x-x^2\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x\left(x^2-ax+a-1\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x\left(x-1\right)\left(x-a+1\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=0,1,a-1\end{align*}}$
これが1＜x＜1の範囲に解をもてばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a-1\lt 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{1\lt a\lt 2} \end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{a-1}\left\{g\left(x\right)-f\left(x\right)\right\}dx=\int_{a-1}^2\left\{f\left(x\right)-g\left(x\right)\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \int_0^{1}\left\{g\left(x\right)-f\left(x\right)\right\}dx=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \int_0^1\left\{x^3-ax^2+\left(a-1\right)x\right\}dx=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left[\frac{1}{4}x^4-\frac{a}{3}x^3+\frac{a-1}{2}x^2\right]_0^1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{4}-\frac{a}{3}+\frac{a-1}{2}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=\underline{\frac{3}{2}} \end{align*}}$
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- 2018/07/07(土) 23:57:00|
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