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【解答】
ア $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{3}\end{align*}}$ イ 2 ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{4}\end{align*}}$ エ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$ オ 3
カ 1 キ 2 ク $\scriptsize\sf{\sqrt{14}}$ ケ 1 コ 2 サ 4
【解説】
(１)
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf AB}=\left(-6,2,8\right)}$ より、ベクトル$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf u}=\left(-3,1,4\right)}$ はLの方向ベクトルとなるので、
L上の点(x，y，z)は実数tを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(x,y,z\right)&=\sf \left(6,0,-2\right)+t\left(-3,1,4\right) \\ &=\sf\left(-3t+6,t,4t-2\right)\end{align*}}$
と表すことができ、成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=-3t+6\ ,\ \ y=t\ ,\ \ z=4t-2\end{align*}}$
これらからtを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{y=-\frac{1}{3}x+2\ ,\ \ y=\frac{1}{4}z+\frac{1}{2}}\end{align*}}$
(２)
Hの座標を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left(-3t+6,t,4t-2\right)\end{align*}}$ とおくと、OH⊥$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf u}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OH}\cdot\overrightarrow{\sf u}=-3\left(-3t+6\right)+t+4\left(4t-2\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ t=1\end{align*}}$
よって、Hの座標は(3，1，2)であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OH=3^2+1^2+2^2=\underline{\sqrt{14}}\end{align*}}$
(３)
この球面の方程式は
$\scriptsize\sf{\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-2\right)^2=25}$
であり、x=0のとき
$\scriptsize\sf{\left(y-1\right)^2+\left(z-2\right)^2=16}$
これは、中心(0，1，2)、半径4 の円を表す。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/08/12(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .京都薬科大 2018
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第4問
次の にあてはまる数を解答欄に記入せよ。
(１) 袋の中に1から3までの数が1つずつ書かれた赤玉が3個、1から3までの数が1つずつ
書かれた白玉が3個入っている。この袋の中から同時に4個の玉を取り出す。このとき、
赤玉2個、白玉2個を取り出す確率は ア であり、赤玉3個、白玉1個を取り出す
確率は イ である。また、取り出した赤玉に書かれた数の合計と取り出した白玉に
書かれた数の合計が同じになる確率は ウ である。
(２) 袋の中に1から3までの数が1つずつ書かれた赤玉が3個、1から3までの数が1つずつ
書かれた白玉が3個入っている。この袋の中から玉を1個取り出しては元の袋に戻す作業
を4回繰り返す。このとき、赤玉2個、白玉2個を取り出す確率は エ であり、赤玉3個、
白玉1個を取り出す確率は オ である。また、取り出した赤玉に書かれた数の合計と
取り出した白玉に書かれた数の合計が同じになる確率は カ である。
(３) 袋の中に1から4までの数が1つずつ書かれた赤玉が4個、1から4までの数が1つずつ
書かれた白玉が4個入っている。この袋の中から同時に4個の玉を取り出すとき、取り出し
た赤玉に書かれた数の合計と取り出した白玉に書かれた数の合計が同じになる確率は
キ である。
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【解答】
ア $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3}{5}\end{align*}}$ イ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{5}\end{align*}}$ ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{5}\end{align*}}$ エ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3}{8}\end{align*}}$ オ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{4}\end{align*}}$
カ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{61}{648}\end{align*}}$ キ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{4}{35}\end{align*}}$ ク $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{31}{495}\end{align*}}$
【解説】
(ア)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{_3C_2\times _3C_2}{_6C_4}=\underline{\frac{3}{5}}\end{align*}}$
(イ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{_3C_3\times _3C_1}{_6C_4}=\underline{\frac{1}{5}}\end{align*}}$
(ウ)
（赤1，赤2，白1，白2）など、赤、白それぞれ2個ずつで、赤の2数と白の2数が
一致するときなので、2数の選び方を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{_3C_2}{_6C_4}=\underline{\frac{1}{5}}\end{align*}}$
(エ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf _4C_2\cdot\left(\frac{3}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{3}{6}\right)^2=\underline{\frac{3}{8}}\end{align*}}$
(オ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf _4C_3\cdot\left(\frac{3}{6}\right)^3\cdot\frac{3}{6}=\underline{\frac{1}{4}}\end{align*}}$
(カ)
・（赤1，赤1，白1，白1）など、赤、白それぞれ2個ずつで、
4数がすべて一致するとき、数の選び方と玉の出る順序を
考えると、
$\scriptsize\sf{_3C_1\times _4C_2=18}$ 通り
・（赤1，赤2，白1，白2）など、赤、白それぞれ2個ずつで、
赤の2数と白の2数が一致するとき、数の選び方と玉の出る
順序を考えると、
$\scriptsize\sf{_3C_2\times 4!=72}$ 通り
・（赤1，赤3，白2，白2）、（赤2，赤2，白1，白3）のとき、
玉の出る順序を考えると、
$\scriptsize\sf{_2\times 4C_2\times2! =24}$ 通り
・（赤1，赤1，赤1，白3）、（赤1，赤1，赤1，白3）のとき、
玉の出る順序を考えると、
$\scriptsize\sf{2\times _4C_1=8}$ 通り
以上より、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{18+72+24+8}{6^4}=\underline{\frac{61}{648}}\end{align*}}$
(キ)
・（赤1，赤2，白1，白2）など、赤、白それぞれ2個ずつで、
赤の2数と白の2数が一致するとき、数の選び方を考えると、
$\scriptsize\sf{_4C_2=6}$ 通り
・（赤1，赤4，白2，白3）、（赤2，赤3，白1，白4）のとき、2通り
以上より、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{6+2}{_8C_4}=\underline{\frac{4}{35}}\end{align*}}$
(ク)
・（赤1，赤2，白1，白2）など、赤、白それぞれ2個ずつで、
赤の2数と白の2数が一致するとき、数の選び方を考えると、
$\scriptsize\sf{_6C_2=15}$ 通り
・それ以外の場合
（赤1，赤4，白2，白3）、（赤2，赤3，白1，白4）
（赤1，赤5，白2，白4）、（赤2，赤4，白1，白5）
（赤1，赤6，白2，白5）、（赤2，赤5，白1，白6）
（赤1，赤4，白3，白4）、（赤3，赤4，白1，白6）
（赤2，赤5，白3，白4）、（赤3，赤4，白2，白5）
（赤2，赤6，白3，白5）、（赤3，赤5，白2，白6）
（赤3，赤6，白4，白5）、（赤4，赤5，白3，白6）
（赤1，赤2，赤2，白6）、（赤6，白1，白2，白3） の16通り $\scriptsize\sf{}$
以上より、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{15+16}{_{12}C_4}=\underline{\frac{31}{495}}\end{align*}}$
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