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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2003大阪大 理系数学1




第1問

  aを正の実数、 $\small\sf{\sf w=a(\cos 5^{\circ}+i\sin 5^{\circ})}$ とする。ただし、i は虚数単位である。
  また、複素数の列{zn}を
        $\small\sf{\sf z_1=w\ ,\ \ z_{n+1}=z_nw^{2n+1}\ \  (n=1,2,\cdots)}$
  で定める。

 (1) znが実数になるための必要十分条件は、nが6の倍数であることを示せ。

 (2) 複素数平面で原点をOとしznを表す点をPnとする。1≦n≦17であるような
    nについて、△OPnPn+1が直角二等辺三角形となるようなnとaを求めよ。




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  1. 2012/02/22(水) 23:30:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2003
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2003大阪大 理系数学1(改題)

新課程用に問題を変えてみました。



第1問(改題)

  aを正の実数とし、二次の正方行列Wを
       $\small\sf{\begin{align*} \sf W=\begin{pmatrix}\sf a\cos 5^{\circ}&\sf -a\sin 5^{\circ}\\ \sf a\sin 5^{\circ} &\sf a\cos 5^{\circ}\end{pmatrix}\end{align*}}$
  とする。
  また、ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p_n}\end{align*}}$ (n=0,1,2,・・・)を
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p_0}=\binom{1}{0}\ \ \ ,\ \ \ \ \ \overrightarrow{\sf p_{n+1}}=W^{2n+1}\ \overrightarrow{\sf p_n}\end{align*}}$
  によって順次定めていく。

(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p_n}\end{align*}}$ が $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p_0}\end{align*}}$ と平行になるための必要十分条件はnが6の倍数であること
   を示せ。

(2) xy平面で原点をOとし、
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_n}= \overrightarrow{\sf p_n}\end{align*}}$
   で定まるxy平面上の点をPnとする。1≦n≦17であるようなnについて、
   △OPnPn+1が直角二等辺三角形になるようなnとaを求めよ。


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2003大阪大 理系数学2



第2問

 (1) $\small\sf{\sf 0\lt t\lt 1}$ のとき、不等式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\log t}{2}<-\frac{1-t}{1+t}\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (2) kを正の定数とする。a>0 とし、曲線$\small\sf{C:\ y=e^{kx}}$ 上の2点$\small\sf{P(a,\ e^{ka})}$ 、
   $\small\sf{\sf Q(-a,\ e^{-ka})}$ を考える。このときPにおけるCの接線とQにおけるCの
    接線の交点のx座標はつねに正であることを示せ。



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  1. 2012/02/22(水) 23:36:00|
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2003大阪大 理系数学3



第3問

 (1) f(x) をxの整式とし、$\small\sf{\sf {a_k}}$ は $\small\sf{\sf a_k\lt a_{k+1}\ \ (k=1,2,\cdots )}$ および
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_k=\infty\end{align*}}$
    を満たす数列とする。このとき
       $\small\sf{\sf f(a_k)=0\ \ (k=1,2,\cdots )}$
    ならば、f(x)は整式として0であることを示せ。

 (2) $\small\sf{\sf f_1(x),\ f_2(x),\ f_3(x)}$ を xの整式とし、    
        $\small\sf{\sf F(x)=f_1(x)+f_2(x) \sin x+f_3(x)\sin 2x}$
    はすべての実数 xに対して0であるとする。
    このとき$\small\sf{\sf f_1(x),\ f_2(x),\ f_3(x)}$ は、いずれも整式として0であることを示せ。



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  1. 2012/02/22(水) 23:42:00|
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2003大阪大 理系数学4



第4問

  数列$\small{\sf \{a_{k}\}}$ が$\small{\sf a_{k}\lt a_{k+1}\ \ (k=1,2,\cdots )}$ および
      $\small{\sf a_{kL}=a_{k}+a_{L}\ ,\ \ k=1,2,\cdots \ ,\ \ L=1,2,\cdots}$
  を満たすとする。

 (1) k、Lを2以上の自然数とする。自然数nが与えられたとき、
        $\small{\sf L^{m-1}\leqq k^{n}\lt L^{m}}$
    を満たす自然数mが存在することを示せ。

 (2) k、Lを2以上の自然数とするとき、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{n}<\frac{a_k}{a_L}-\frac{\log k}{\log L}<\frac{1}{n}\ \ \ \ \ \ n=1,2,\ldots\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (3) $\small{\sf a_{2}=a}$ とするとき、数列$\small{\sf \{a_{k}\}}$ の一般項を求めよ。




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