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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2003大阪大 理系数学1

今日は2003年の阪大を一気にアップします。




第1問

  aを正の実数、 w=a(cos5°+i sin5°)とする。ただし、i は虚数単位である。
  また、複素数の列{zn}を
        z1=w 、 zn+1=znw2n+1 (n=1,2,・・・)
  で定める。

 (1) znが実数になるための必要十分条件は、nが6の倍数であることを示せ。

 (2) 複素数平面で原点をOとしznを表す点をPnとする。1≦n≦17であるような
    nについて、△OPnPn+1が直角二等辺三角形となるようなnとaを求めよ。




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  1. 2012/02/22(水) 23:30:00|
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2003大阪大 理系数学1(改題)

新課程用に問題を変えてみました。



第1問(改題)

  aを正の実数とし、二次の正方行列Wを
       
  とする。
  また、ベクトル (n=0,1,2,・・・)を
       
  によって順次定めていく。

(1) と平行になるための必要十分条件はnが6の倍数であること
   を示せ。

(2) xy平面で原点をOとし、
      
   で定まるxy平面上の点をPnとする。1≦n≦17であるようなnについて、
   △OPnn+1が直角二等辺三角形になるようなnとaを求めよ。


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2003大阪大 理系数学2



第2問

 (1) 0<t<1 のとき、不等式
         
    が成り立つことを示せ。

 (2) kを正の定数とする。a>0 とし、曲線C: y=ekx上の2点P(a,eka)、
    Q(-a,e-ka)を考える。このときPにおけるCの接線とQにおけるCの
    接線の交点のx座標はつねに正であることを示せ。



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2003大阪大 理系数学3



第3問

 (1) f(x) をxの整式とし、{ak}は ak<ak+1 ( k=1,2,・・・) および
       
    を満たす数列とする。このとき
       f(ak)=0  ( k=1,2,・・・)
    ならば、f(x)は整式として0であることを示せ。

 (2) f1(x)、f2(x)、f3(x)を xの整式とし、    
           F(x)=f1(x)+f2(x) sinx+f3(x)sin2x
    はすべての実数 xに対して0であるとする。
    このときf1(x)、f2(x)、f3(x)は、いずれも整式として0であることを示せ。



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2003大阪大 理系数学4



第4問

  数列{ak}がak<ak+1 (k=1,2,・・・・)および
      akL=ak+aL 、 k=1,2,・・・ 、 L=1,2,・・・
  を満たすとする。

 (1) k、Lを2以上の自然数とする。自然数nが与えられたとき、
        Lm-1≦k<L
    を満たす自然数mが存在することを示せ。

 (2) k、Lを2以上の自然数とするとき、
        
    が成り立つことを示せ。

 (3) a2=aとするとき、数列{ak}の一般項を求めよ。




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2003大阪大 理系数学5



第5問

 (1) 平面上において座標軸に平行な主軸(長軸、短軸)をもち、x軸、y軸の
    両方に接する楕円を考える。その中心のx座標を aとする。このような
    楕円のうち、点A(1,2)を通るものが存在するための aの範囲を求めよ。
    ただし円は楕円の特別な場合とみなすものとする。

 (2) (1)の楕円がちょうど2つ存在するような aに対して、その2つの楕円の
    中心をB、Cとする。△ABCの面積をS(a)で表すとき、この関数のグラフ
    をかけ。




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