第1問
aを正の実数、 $\small\sf{\sf w=a(\cos 5^{\circ}+i\sin 5^{\circ})}$ とする。ただし、i は虚数単位である。
また、複素数の列{zn}を
$\small\sf{\sf z_1=w\ ,\ \ z_{n+1}=z_nw^{2n+1}\ \ (n=1,2,\cdots)}$
で定める。
(1) znが実数になるための必要十分条件は、nが6の倍数であることを示せ。
(2) 複素数平面で原点をOとしznを表す点をPnとする。1≦n≦17であるような
nについて、△OPnPn+1が直角二等辺三角形となるようなnとaを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
これは旧課程の問題ですので、新課程用に書き換えた問題を解いてみてください。
http://aozemi.blog.fc2.com/blog-entry-283.html
(1)
与えられた漸化式に$\scriptsize\sf{\sf n=1,2,\cdots}$ と順次代入していくと、
$\scriptsize\sf{\sf z_1=w}$
$\scriptsize\sf{\sf z_2=z_1w^3}$
$\scriptsize\sf{\sf z_3=z_1w^5}$
$\scriptsize\sf{\sf z_4=z_3w^7}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\sf z_n=z_{n-1}w^{2n-1}}$
これらを辺々かけると、
$\scriptsize\sf{\sf z_n=w^{2n-1}w^{2n-3}\cdot \cdots \cdot w^5w^3w}$
$\scriptsize\sf{\sf =w~{1+3+5+･･･+(2n-1)}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =w^{n^2}\end{align*}}$
これより、
$\scriptsize\sf{\sf \arg z_n=n^2\arg w=5^{\circ}\times n^2}$
$\scriptsize\sf{\sf z_n}$ が実数になるためには、
$\scriptsize\sf{\sf \arg z_n=5^{\circ}\times n^2=180^{\circ}\times m}$ （mは整数）
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n^2=36m}$
となればよいので、nは6の倍数である。
(2)
与えられた漸化式より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{z_{n+1}}{z_n}=w^{2n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ arg\ \frac{z_{n+1}}{z_n}=(2n+1)\ arg w\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \angle\ P_nOP_{n+1}=5^{\circ}\times(2n+1)\end{align*}}$ ････①
$\scriptsize\sf{\sf 1\leqq n\leqq 17}$ なので、①より、
$\scriptsize\sf{\sf 15^{\circ}\leqq \angle \sf P_nOP_{n+1}\leqq 175^{\circ}}$
よって、△OPnPn+1が直角二等辺三角形となるためには、
$\scriptsize\sf{\sf \angle \sf P_nOP_{n+1}=45^{\circ}}$ または $\scriptsize\sf{\sf 90^{\circ}}$
となればよい。
①より、
$\scriptsize\sf{\sf 5^{\circ}\times (2n+1)=45^{\circ}\ \ \Leftrightarrow\ \ n=4}$ または
$\scriptsize\sf{\sf 5^{\circ}\times (2n+1)=90^{\circ}\ \ \Leftrightarrow\ \ n=8.5}$
nは自然数なので、$\scriptsize\sf{\sf \underline{n=4}}$
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{z_{5}}{z_4}=w^{9}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|\ \frac{z_{5}}{z_4}\ \right|=|w|^9\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{OP_{n+1}}{OP_{n}}=a^9\end{align*}}$ ････②
△OP4P5が直角二等辺三角形となるためには、
$\scriptsize\sf{\sf OP_4:\ OP_5=1:\ \sqrt2}$ または $\scriptsize\sf{\sf OP_4:\ OP_5=\sqrt2:\ 1}$
であればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^{9}=\sqrt2\ ,\ \frac{1}{\sqrt2} \ \ \Leftrightarrow\ \ a^9=2^{\pm\frac{1}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ a=2^{\pm\frac{1}{18}}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \ n=4\ \ ,\ \ a=2^{\pm\frac{1}{18}}\ \ }\end{align*}}$
いまから思えば、複素数平面で考えると、何かと便利ですよねぇ＾＾
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新課程用に問題を変えてみました。
第1問（改題）
aを正の実数とし、二次の正方行列Wを
$\small\sf{\begin{align*} \sf W=\begin{pmatrix}\sf a\cos 5^{\circ}&\sf -a\sin 5^{\circ}\\ \sf a\sin 5^{\circ} &\sf a\cos 5^{\circ}\end{pmatrix}\end{align*}}$
とする。
また、ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p_n}\end{align*}}$ （n=0，1，2，･･･）を
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p_0}=\binom{1}{0}\ \ \ ,\ \ \ \ \ \overrightarrow{\sf p_{n+1}}=W^{2n+1}\ \overrightarrow{\sf p_n}\end{align*}}$
によって順次定めていく。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p_n}\end{align*}}$ が $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p_0}\end{align*}}$ と平行になるための必要十分条件はnが6の倍数であること
を示せ。
(2) xy平面で原点をOとし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_n}= \overrightarrow{\sf p_n}\end{align*}}$
で定まるxy平面上の点をPnとする。1≦n≦17であるようなnについて、
△OPnPn+1が直角二等辺三角形になるようなnとaを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
行列Wは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf W=\begin{pmatrix}\sf a\cos 5^{\circ}&\sf -a\sin 5^{\circ}\\ \sf a\sin 5^{\circ} &\sf a\cos 5^{\circ}\end{pmatrix}=a\ \begin{pmatrix}\sf \cos 5^{\circ}\times N &\sf -\sin 5^{\circ}\\ \sf \sin 5^{\circ} &\sf \cos 5^{\circ}\end{pmatrix}\end{align*}}$
と変形できるので、
「原点中心に5°回転し、a倍に拡大する」という一次変換を表す。
よって、行列WN（Nは自然数）は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf W=\begin{pmatrix} \sf a\cos 5^{\circ} &\sf -a\sin 5^{\circ}\\ \sf a\sin 5^{\circ} &\sf a\cos 5^{\circ}\end{pmatrix} ^N=a^N\ \begin{pmatrix} \sf \cos (5^{\circ}\times N) &\sf -\sin (5^{\circ}\times N)\\ \sf \sin (5^{\circ}\times N)&\sf \cos (5^{\circ}\times N)\end{pmatrix} \end{align*}}$ ････①
と表される。
一方、与えられた漸化式を順次代入していくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p_{1}}=W^{1}\ \overrightarrow{\sf p_{0}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p_{2}}=W^{3}\ \overrightarrow{\sf p_{1}}=W^1\cdot W^{3}\ \overrightarrow{\sf p_{0}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p_{3}}=W^{5}\ \overrightarrow{\sf p_{2}}=W^1\cdot W^{3}\cdot W^5\ \overrightarrow{\sf p_{0}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p_{4}}=W^{7}\ \overrightarrow{\sf p_{3}}=W^1\cdot W^{3}\cdot W^5\cdot W^7\ \overrightarrow{\sf p_{0}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p_{n}}=W^{2n-1}\ \overrightarrow{\sf p_{n-1}}=W^1\cdot W^{3}\cdot W^5\cdot\ldots\cdot W^{2n-1}\ \overrightarrow{\sf p_{0}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf p_{n}}=W^{1+3+5+\ldots+(2n-1)}\ \overrightarrow{\sf p_{0}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =W^{n^2}\ \overrightarrow{\sf p_{0}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a^{n^2}\ \begin{pmatrix} \sf \cos 5n^2 &\sf -\sin 5n^2\\ \sf \sin 5n^2 &\sf\cos 5n^2\end{pmatrix} \ \binom{1}{0}\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a^{n^2}\ \binom{\cos 5n^2}{\sin 5n^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p_n}\ //\ \overrightarrow{\sf p_0}\end{align*}}$ なので、実数kを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p_n}=k\ \overrightarrow{\sf p_0}\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a^{n^2}\cos 5n^2\ ,\ a^{n^2}\sin 5n^2\right)=k(1\ ,\ 0)\end{align*}}$
と表せるので、
$\scriptsize\sf{\sf 5n^2=180^{\circ}\times m}$ （mは0以上の整数）
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n^2=36m}$
よって、nは6の倍数である。
(2)
2点P_n、P_n+1について、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p_{n+1}}=W^{2n+1}\ \overrightarrow{\sf p_n}=a^{2n+1}\ \begin{pmatrix}\sf \cos 5(2n+1) &\sf -\sin 5(2n+1)\\ \sf \sin 5(2n+1) &\sf\cos 5(2n+1)\end{pmatrix}\ \overrightarrow{\sf p_n}\end{align*}}$
より、点P_n+1はP_nを
原点中心に$\scriptsize\sf{\sf 5^{\circ}\times (2n+1)}$ だけ回転し、a2n+1倍に拡大した点である。
よって、
$\scriptsize\sf{\sf \angle \sf P_nOP_{n+1}=5^{\circ}\times (2n+1)}$ ････②
$\scriptsize\sf{\sf OP_{n+1}=a^{2n+1}OP_n}$ ････③
ここで、1≦n≦17なので、
$\scriptsize\sf{\sf 15^{\circ}\leqq 5^{\circ}\times (2n+1)\leqq 175^{\circ}}$ ････④
$\scriptsize\sf{\sf \triangle OP_nP_{n+1}}$ が直角二等辺三角形になるためには、
④より、
$\scriptsize\sf{\sf \angle \sf P_nOP_{n+1}=45^{\circ}}$ または$\scriptsize\sf{\sf 90^{\circ}}$
である必要があるので、②より、
$\scriptsize\sf{\sf 5^{\circ}\times (2n+1)=45^{\circ}}$ または $\scriptsize\sf{\sf 5^{\circ}\times (2n+1)=90^{\circ}}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n=4}$ または $\scriptsize\sf{\sf n=8.5}$
ここで、nは自然数なので、n=4である。
$\scriptsize\sf{\sf \triangle OP_nP_{n+1}}$ が、$\scriptsize\sf{\sf \angle P_nOP_{n+1}=45^{\circ}}$ の直角二等辺三角形になるためには、
$\scriptsize\sf{\sf OP_n:\ OP_{n+1}=1:\ \sqrt2}$ または $\scriptsize\sf{\sf OP_n:\ OP_{n+1}=\sqrt2:\ 1}$
であればよく、n=4なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^{2n+1}=\sqrt2\ ,\ \frac{1}{\sqrt2} \ \ \Leftrightarrow\ \ a^9=2^{\pm\frac{1}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ a=2^{\pm\frac{1}{18}}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \ n=4\ \ ,\ \ a=2^{\pm\frac{1}{18}}\ \ }\end{align*}}$
図を省略してるけど、コメシ大丈夫か？？？
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- 2012/02/22(水) 23:33:00|
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第2問
(1) $\small\sf{\sf 0\lt t\lt 1}$ のとき、不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\log t}{2}<-\frac{1-t}{1+t}\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(2) kを正の定数とする。a＞0 とし、曲線$\small\sf{C:\ y=e^{kx}}$ 上の2点$\small\sf{P(a,\ e^{ka})}$ 、
$\small\sf{\sf Q(-a,\ e^{-ka})}$ を考える。このときPにおけるCの接線とQにおけるCの
接線の交点のx座標はつねに正であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\sf f(t)=(1+t)\log t+2(1-t)\ \ (0\lt t\lt 1)}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)=\log\ t+(1+t)\cdot\frac{1}{t}-2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log\ t+\frac{1}{t}-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(t)=\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{t-1}{t^2}\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\sf 0\lt t\lt 1}$ の範囲で常に$\scriptsize\sf{\sf f''(t)\lt 0}$ となるので、
f’(t)は単調減少であり、$\scriptsize\sf{\sf f'(1)=0}$ となるので、
$\scriptsize\sf{\sf 0\lt t\lt 1}$ の範囲で常に$\scriptsize\sf{\sf f'(t)\gt 0}$ である。
よって、f(t)は単調増加であり、f(1)=0なので
$\scriptsize\sf{\sf 0\lt t\lt 1}$ の範囲で常に$\scriptsize\sf{\sf f(t)\lt 0}$ となる。
（右の増減表を参照されよ！）
よって、
$\scriptsize\sf{\sf f(t)\lt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ (1+t)\log t\lt -2(1-t)}$
両辺を$\scriptsize\sf{\sf 2(1+t)\ (\gt0)}$ で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\log t}{2}<-\frac{1-t}{1+t}\end{align*}}$
となり、題意は示された。
(2)
$\scriptsize\sf{\sf y=ｅ^{kx}}$ に対して、$\scriptsize\sf{\sf y'=kｅ^{kx}}$ なので、
点$\scriptsize\sf{\sf P(a,\ ｅ^{ka})}$ における接線Lは、
$\scriptsize\sf{\sf y-ｅ^{ka}=kｅ^{ka}(x-a)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=kｅ^{ka}x+(1-ak)ｅ^{ka}}$ ．
同様にして、点$\scriptsize\sf{\sf Q(-a,\ ｅ^{-ka})}$ における接線mは、
$\scriptsize\sf{\sf y=kｅ^{x-ka}+(1+ak)ｅ^{-ka}}$
Lとmの交点のx座標をXとすると、
$\scriptsize\sf{\sf kｅ^{ka}X+(1-ak)ｅ^{ka}=kｅ^{-ka}X+(1+ak)ｅ^{-ka}}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k(ｅ^{ka}-ｅ^{-ka})X=(ｅ^{ka}+ｅ^{-ka})ak-(ｅ^{ka}-ｅ^{-ka})}$
両辺に2をかけて、$\scriptsize\sf{\sf ｅ^{ka}\ (\gt 0)}$ で割ると、
$\scriptsize\sf{\sf 2k(1-ｅ^{-2ka})X=(1+ｅ^{-2ka})・2ak-2(1-ｅ^{-2ka})}$
ここで、$\scriptsize\sf{\sf t=ｅ^{-2ka}}$ とおくと、$\scriptsize\sf{\sf 0\lt t\lt 1}$ となり、$\scriptsize\sf{\sf 2ak=-\log t}$ である。
これらを代入すると、
$\scriptsize\sf{\sf 2k(1-t)X=-(1+t)logt-2(1-t)}$
$\scriptsize\sf{\sf =-f(t)}$
(1)より、$\scriptsize\sf{\sf 0\lt t\lt 1}$ の範囲で$\scriptsize\sf{\sf f(t)\lt 0}$ なので、
$\scriptsize\sf{\sf 2k(1-t)X\gt 0}$
これと、$\scriptsize\sf{\sf k\gt 0\ ,\ 0\lt t\lt 1}$ より、$\scriptsize\sf{\sf X\gt 0}$ となり、題意を満たす。
少しキレイに書きすぎた感がありますね。
途中で両辺に2を掛けたのは、分数の入力が面倒だったからで、
それ以外に深い意味はないので、気にしないようにｗｗ
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第3問
(1) f(x) をxの整式とし、$\small\sf{\sf {a_k}}$ は $\small\sf{\sf a_k\lt a_{k+1}\ \ (k=1,2,\cdots )}$ および
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_k=\infty\end{align*}}$
を満たす数列とする。このとき
$\small\sf{\sf f(a_k)=0\ \ (k=1,2,\cdots )}$
ならば、f(x)は整式として0であることを示せ。
(2) $\small\sf{\sf f_1(x),\ f_2(x),\ f_3(x)}$ を xの整式とし、
$\small\sf{\sf F(x)=f_1(x)+f_2(x) \sin x+f_3(x)\sin 2x}$
はすべての実数 xに対して0であるとする。
このとき$\small\sf{\sf f_1(x),\ f_2(x),\ f_3(x)}$ は、いずれも整式として0であることを示せ。
--------------------------------------------
【解答】
(1)
任意のkに対して $\scriptsize{\sf a_{k}\lt a_{k+1}}$ が成り立つので、
$\scriptsize{\sf a_{1},\ a_{2},\ \cdots ,\ a_{n},\ a_{n+1}}$ は互いに異なる実数 ････①
f(x)がn次式であると仮定すると、題意より
$\scriptsize{\sf f(a_{1})=f(a_{2})=\cdots =f(a_{n})}$
なので、n次式f(x)は0でない実数aを用いて
$\scriptsize{\sf f(x)=a(x-a_{1})(x-a_{2})\cdots (x-a_{n})}$
と表すことができる。
ここで、題意より $\scriptsize{\sf f(a_{n+1})=0}$ でもあるので、
$\scriptsize{\sf f(a_{n+1})=a(a_{n+1}-a_{1})(a_{n+1}-a_{2})\cdots (a_{n+1}-a_{n})=0}$
が成り立つ。
ところが、①より
$\scriptsize{\sf a_{n+1}-a_{1}\ne 0\ ,\ a_{n+1}-a_{2}\ne 0\ ,\ \cdots ,\ a_{n+1}-a_{n}\ne 0}$
なので、a=0 となり、これはaが0でないことに矛盾する。
よって、f(x)は定数であり、f(x)=0となる。
(2)
数列$\scriptsize{\sf \{a_{n}\}}$ を $\scriptsize{\sf a_{n}=n\pi}$ とおくと、
任意のkに対して、$\scriptsize{\sf a_{k}\lt a_{k+1}}$ が成り立つ。
すべての実数xに対して$\scriptsize{\sf F(x)=0}$ ････(※) なので、
すべてのnに対して
$\scriptsize{\sf F(a_{n})=f_{1}(a_{n})+f_{2}(a_{n})\sin a_{n}+f_{3}(a_{n})\sin 2a_{n}=0}$ ･･･②
が成り立ち、
$\scriptsize{\sf sina_{n}=\sin n\pi=0\ ,\ \ \sin 2a_{n}=\sin 2n\pi =0}$
なので、
② $\scriptsize{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ f_{1}(a_{n})=0}$
これらと(1)より、$\scriptsize{\sf f_{1}(x)=0}$ となり、
$\scriptsize{\sf F(x)=f_{2}(x) \sin x+f_{3}(x)\sin 2x}$
次に、数列$\scriptsize{\sf \{b_{n}\}}$ を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\left(\frac{1}{2}+2n\right)\ \pi\end{align*}}$
とおくと、
任意のkに対して、$\scriptsize{\sf b_{k}\lt b_{k+1}}$ が成り立つ。
(※)より、すべてのnに対して
$\scriptsize{\sf F(b_{n})=f_{2}(b_{n}) \sin b_{n}+f_{3}(b_{n})\sin 2b_{n}=0}$ ･･･③
が成り立ち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin b_n=\sin\left(\frac{1}{2}+2n\right)\pi=1\ \ ,\ \ \sin2b_n=\sin(1+4n)\pi=0\end{align*}}$
なので、
③ $\scriptsize{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ f_{2}(b_{n})=0}$ ．
これらと(1)より、$\scriptsize{\sf f_{2}(x)=0}$ となり、$\scriptsize{\sf F(x)=f_{3}(x)\sin 2x}$
さらに、数列$\scriptsize{\sf \{c_{n}\}}$ を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_n=\left(\frac{1}{4}+n\right)\ \pi\end{align*}}$
とおくと、
任意のkに対して、$\scriptsize{\sf c_{k}\lt c_{k+1}}$ が成り立つ。
(※)より、すべてのnに対して
$\scriptsize{\sf F(c_{n})=f_{3}(c_{n})\sin 2c_{n}=0}$ ･･･④
が成り立ち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin2c_n=\sin\left(\frac{1}{2}+2n\right)\pi=1\end{align*}}$
なので、
④ $\scriptsize{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ f_{3}(c_{n})=0}$ ．
これらと(1)より、$\scriptsize{\sf f_{3}(x)=0}$ となる。
以上より、$\scriptsize{\sf f_{1}(x)=f_{2}(x)=f_{3}(x)=0}$ となり題意は示された。
うまく(1)の結論が使えるような数列を考えていけばOKです。
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第4問
数列$\small{\sf \{a_{k}\}}$ が$\small{\sf a_{k}\lt a_{k+1}\ \ (k=1,2,\cdots )}$ および
$\small{\sf a_{kL}=a_{k}+a_{L}\ ,\ \ k=1,2,\cdots \ ,\ \ L=1,2,\cdots}$
を満たすとする。
(1) k、Lを2以上の自然数とする。自然数nが与えられたとき、
$\small{\sf L^{m-1}\leqq k^{n}\lt L^{m}}$
を満たす自然数mが存在することを示せ。
(2) k、Lを2以上の自然数とするとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{n}<\frac{a_k}{a_L}-\frac{\log k}{\log L}<\frac{1}{n}\ \ \ \ \ \ n=1,2,\ldots\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(3) $\small{\sf a_{2}=a}$ とするとき、数列$\small{\sf \{a_{k}\}}$ の一般項を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize{\sf k,\ L\geqq 2}$ より、$\scriptsize{\sf \log k\gt 0\ ,\ \log L\gt 0}$ であり、nは自然数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt n\cdot\frac{\log k}{\log L}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m-1\leqq n\cdot\frac{\log k}{\log L}\lt m\end{align*}}$ ････(※)
を満たすような自然数mが存在する。
(※) $\scriptsize{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (m-1)\log L\leqq n\cdot \log k\lt m\cdot \log L}$
$\scriptsize{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ L^{m-1}\leqq k^{n}\lt L^{m}}$
よって、題意を満たすような自然数mが存在する。
(2)
数列$\scriptsize{\sf \{a_{k}\}}$ について、
$\scriptsize{\sf a_{k}\lt a_{k+1}}$ ････①
$\scriptsize{\sf a_{kL}=a_{k}+a_{L}}$ ････②
②にn=1を代入すると、
$\scriptsize{\sf a_{1}=a_{1}+a_{1}\ \ \Leftrightarrow\ \ a_{1}=0}$
これと①より、
$\scriptsize{\sf 0=a_{1}\lt a_{2}\lt a_{3}\lt\cdots }$ ･･･①’
また、2以上の整数kと自然数nに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\ a_k=a_k+a_k=a_{kk}=a_{k^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3\ a_k=2a_k+a_k=a_{k^2k}=a_{k^3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4\ a_k=3a_k+a_k=a_{k^3k}=a_{k^4}\end{align*}}$
以下、帰納的に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n\ a_k=a_{k^n}\end{align*}}$ ････③
まず、(1)より、2以上の自然数L、kと自然数nに対して
$\scriptsize{\sf L^{m-1}\leqq k^{n}\lt L^{m}}$
となる自然数mが存在するので、これと①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{\ L^{m-1}}\leqq a_{\ k^n}\lt a_{\ L^m}\end{align*}}$
これに③を適用すると、
$\scriptsize{\sf (m-1)a_{L}\leqq na_{k}\lt ma_{L}}$
両辺を$\scriptsize{\sf na_{L}\ (\gt 0)}$ で割って、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{m-1}{n}\leqq \frac{a_k}{a_L}<\frac{m}{n}\end{align*}}$ ････④
一方、(※)の各辺を $\scriptsize{\sf -n\ (\lt 0)}$ で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{m}{n}< -\frac{\log k}{\log L}\leqq -\frac{m-1}{n}\end{align*}}$ ････⑤
④、⑤を辺々加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{m-1}{n}-\frac{m}{n}< \frac{a_k}{a_L}-\frac{\log k}{\log L}< \frac{m}{n}-\frac{m-1}{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ -\frac{1}{n}<\frac{a_k}{a_L}-\frac{\log k}{\log L}<\frac{1}{n}\end{align*}}$
(3)
(2)の不等式は、n→+∞としても成立するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(-\frac{1}{n}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{n}=0\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_k}{a_L}-\frac{\log k}{\log L}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a_k=a_l\cdot\frac{\log k}{\log L}\end{align*}}$
ここで、L=2とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_k=a_2\cdot\frac{\log k}{\log 2}=a\log_2\ k\end{align*}}$ （k≧2）････⑥
k=1のときは、
$\scriptsize{\sf a_1=a\log_2 1=0}$
となり(A)を満たす。よって、すべてのkに対して、
$\scriptsize{\sf a_k=a\log_2 k}$
数列akの処理が難しいでしょうか。
$\scriptsize{\sf a_{kL}=a_k+a_L}$
という関係式から
$\scriptsize{\sf \log kL=\log k+\log L}$
がすぐに連想できると、logと同じような性質を持つことに気づくと思いますが････
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/02/22(水) 23:56:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2003
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