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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018奈良県立医科大 推薦 数学1



第1問

  以下の問に答えよ。ただし、答のみ記入すればよい。

  aを実数とする。xについての3次方程式
        $\small\sf{x^3-3a^2x+a^4=0}$
  が相異なる3個の実数解を持つようなaの範囲を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/09/08(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .奈良県立医大 2018(推薦)
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2018奈良県立医科大 推薦 数学2



第2問

  以下の文章の空欄に適切な数,式または数学記号を入れて文章を完成させよ。

   AB=ACである二等辺三角形ABCとそれに内接する円C1、および辺AB、AC
  と円C1に内接する円C2を考える。C1とC2の中心をそれぞれP1、P2とし、C1
  辺AB、C2と辺ABの接点をそれぞれQ1、Q2とする。また、C1と辺BCの接点を
  Hとする。C1の半径が1で∠ ABC=2$\small\sf{\theta}$ のとき、t=tan$\small\sf{\theta}$ とするとBHの長さは
  tを用いて ア  と表せる。さらに、C2の半径と四角形P1P2Q2Q1の面積は、
  tの整式としてそれぞれ イ  ウ  と表せる。

     2018奈良医04
       参考図





2018奈良県立医科大 推薦 数学3



第3問

  以下の文章の空欄に適切な数、式または数学記号を入れて文章を完成させよ。

  複素数zと整数nは以下の2つの条件を満たしているとする。
    条件(a): |z|=1
    条件(b): zn+z+1=0
  このようなzとnをすべて求めたい。まず、これらの条件よりz+1の絶対値は ア 
  である。さらに、条件(a)を用いると、zの値は イ  または ウ  となる。
  このどちらのzに対しても、zk=1となるような最小の正整数はk= エ  であり、
  求める nは オ  で割って余り カ  となるすべての整数である。つまり、
       n= オ  m+ カ   (mは整数)






2018奈良県立医科大 推薦 数学4



第4問

  以下の文章の空欄に適切な数、式または数学記号を入れて文章を完成させよ。

  $\small\sf{\begin{align*}\sf a_1=\frac{1}{14} \end{align*}}$ とすると、式
       $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{\sqrt{19a^2_n+16a_n+4}}{4a_n}-2\ \ \ \left(n=1,2,\cdots\right) \end{align*}}$
  の右辺は0でない実数値となり、上式を漸化式とする初項 $\small\sf{\begin{align*}\sf a_1=\frac{1}{14} \end{align*}}$ の数列{an}が
  定義できる。すべての正整数nに対し、
       $\small\sf{\begin{align*}\sf b_n=\left(\frac{1}{a_n}+2\right)^2 \end{align*}}$
  とおくと、数列{bn}が満たすべき漸化式は ア  となる。したがって、{bn}の一般項
  はbn= イ  となる。a1>0なので、ある番号kまではa1、a2、・・・、ak>0 である
  と仮定する。ak+1≠0なので、まずak+1<0の場合を考えてみる。数列{an}の漸化
  式より $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{a_{k+1}}\gt -2 \end{align*}}$ なので$\small\sf{\begin{align*}\sf a_{k+1}\lt -\frac{1}{2} \end{align*}}$ である。このとき、0<bk+1 ウ  となる。
  次に、ak+1>0ならばbk+1 ウ  となる。よって、a1、a2、・・・、am>0かつ
  am+1<0となるmは エ  であり、このときam+1= オ  、am+2= カ  である。
  ただし、 オ  カ  は $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{x}{y+\sqrt{z}} \end{align*}}$ の形(x、y、zは整数)で答えよ。





2018奈良県立医科大 推薦 数学5



第5問

  以下の文章の空欄に適切な数、式または数学記号を入れて文章を完成させよ。

  空間に三角形ABCと点Pがある。以下では位置ベクトルの始点は原点Oとする。
  点A、B、C、Pの位置ベクトルをそれぞれ$\small\sf{\overrightarrow{\sf a},\overrightarrow{\sf b},\overrightarrow{\sf c},\overrightarrow{\sf p}}$ とする。点Aに関して点Pと
  対称な点Qの位置ベクトル$\small\sf{\overrightarrow{\sf q}}$ は$\small\sf{\overrightarrow{\sf q}}$ = ア  である。同様に、点Bに関して点Q
  と対称な点Rの位置ベクトル$\small\sf{\overrightarrow{\sf r}}$ と、点Cに関して点Rと対称な点Sの位置ベクトル
  $\small\sf{\overrightarrow{\sf s}}$ も求まる。特に点Sが点Pと一致するとき、$\small\sf{\overrightarrow{\sf p}}$ を$\small\sf{\overrightarrow{\sf a},\overrightarrow{\sf b},\overrightarrow{\sf c}}$ で表すと$\small\sf{\overrightarrow{\sf p}}$ = イ 
  となる。このとき三角形PQRの面積は三角形ABCの面積の ウ  倍である。




2018奈良県立医科大 推薦 数学6



第6問

  以下の問に答えよ。

  区間0≦x≦1で定義された関数f(x)が以下の2つの条件を満たしているとする。
   条件(a): f(0)=f(1)= 0
   条件(b): 0≦x1≦1 、 0≦x2≦1なる任意の相異なるx1、x2に対し、
        $\small\sf{\left|f(x_1)-f(x_2)\right|\lt k\left|x_1-x_2\right|}$   (ただし、kは正の定数)

 (1) 0<x<1なる任意のxに対し、不等式|f(x)|<kx と|f(x)|<k(1-x) が
    成り立つことを示せ。

 (2) 0≦x1≦1 、0≦x2≦1なる任意のx1、x2に対し、不等式$\small\sf{\begin{align*}\sf\left|f(x_1)-f(x_2)\right|\lt\frac{k}{2}\end{align*}}$ が
    成り立つことを示せ。




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  1. 2018/09/13(木) 23:57:00|
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