青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の公立大学　.奈良県立医大　2018（推薦）

2018奈良県立医科大　推薦　数学１

第１問

　　以下の問に答えよ。ただし、答のみ記入すればよい。

　　aを実数とする。xについての3次方程式
　　　　　　　　$\small\sf{x^3-3a^2x+a^4=0}$
　　が相異なる3個の実数解を持つようなaの範囲を求めよ。

解答はこちら↓

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2018/09/08(土) 23:57:00|

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2018奈良県立医科大　推薦　数学２

第２問

　　以下の文章の空欄に適切な数，式または数学記号を入れて文章を完成させよ。

　　 AB=ACである二等辺三角形ABCとそれに内接する円C₁、および辺AB、AC
　　と円C₁に内接する円C₂を考える。C₁とC₂の中心をそれぞれP₁、P₂とし、C₁と
　　辺AB、C₂と辺ABの接点をそれぞれQ₁、Q₂とする。また、C₁と辺BCの接点を
　　Hとする。C₁の半径が1で∠ ABC=2$\small\sf{\theta}$ のとき、t=tan$\small\sf{\theta}$ とするとBHの長さは
　　tを用いて　ア　と表せる。さらに、C₂の半径と四角形P₁P₂Q₂Q₁の面積は、
　　tの整式としてそれぞれ　イ　、　ウ　と表せる。

　　　　　
　　　　　　　参考図

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{t}\end{align*}}$　　　　イ t²　　　　ウ t(1+t²)

　

【解説】

　(ア)　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle P_1BH=\frac{1}{2}\angle ABC=\theta\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=\tan\theta=\frac{P_1H}{BH}\ \ \Leftrightarrow\ \ BH=\frac{P_1H}{t}=\underline{\frac{1}{t}}\end{align*}}$

　(イ)
　　　C₁とC₂の共有点をH’とし、H’を通りBCに平行な直線と
　　　ABとの交点をB’とする。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AH&=\sf BH\tan 2\theta \\ &=\sf \frac{1}{t}\cdot\frac{2t}{1-t^2}\\ &=\sf \frac{2}{1-t^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AH'=\frac{2}{1-t^2}-2=\frac{2t^2}{1-t^2}\end{align*}}$
　　　△ABH∽△AB’H’であり、相似比は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AH:AH'=\frac{2}{1-t^2}:\frac{2t^2}{1-t^2}=1:t^2\end{align*}}$
　　　よって、C₂の半径は $\scriptsize\sf{\underline{t^2}}$ となる。

　(ウ)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle ABH=\frac{1}{t}\cdot\frac{2}{1-t^2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{t(1-t^2)}\end{align*}}$　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle P_1BH=\frac{1}{t}\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2t}&=\sf \\ &=\sf \\ &=\sf \end{align*}}$
　　　一方、△ABH∽△AP₁Q₂であり、相似比は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BH:P_2Q_2=\frac{1}{t}:t^2=1:t^3\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle AP_2Q_2&=\sf \left(\frac{t^3}{1}\right)^2\triangle ABH=\frac{t^5}{1-t^2}\end{align*}}$
　　　よって、四角形P₁P₂Q₂Q₁の面積をSとおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \triangle ABH-\triangle AP_2Q_2-2\triangle P_1BH \\ &=\sf \frac{1}{t(1-t^2)}-\frac{t^5}{1-t^2}-\frac{1}{2t}\cdot 2\\ &=\sf \frac{t(1-t^4)}{1-t^2}\\ &=\sf \underline{t(1+t^2)}\end{align*}}$

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2018/09/09(日) 23:57:00|

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2018奈良県立医科大　推薦　数学３

第３問

　　以下の文章の空欄に適切な数、式または数学記号を入れて文章を完成させよ。

　　複素数zと整数nは以下の2つの条件を満たしているとする。
　　　　条件(a)： |z|=1
　　　　条件(b)： zⁿ+z+1=0
　　このようなzとnをすべて求めたい。まず、これらの条件よりz+1の絶対値は　ア　
　　である。さらに、条件(a)を用いると、zの値は　イ　または　ウ　となる。
　　このどちらのzに対しても、z^k=1となるような最小の正整数はk=　エ　であり、
　　求める nは　オ　で割って余り　カ　となるすべての整数である。つまり、
　　　　　　　n=　オ　 m+　カ　　（mは整数）

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア 1　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{-1+\sqrt3\ i}{2}\end{align*}}$　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{-1-\sqrt3\ i}{2}\end{align*}}$　　　　エ 3　　　オ 3

　　カ 2

　

【解説】

　(ア)
　　　条件(a)、(b)より　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |z+1|&=\sf |-z^n| \\ &=\sf |-1||z|^n\\ &=\sf \underline{1}\end{align*}}$

　(イ)(ウ)
　　　(ア)より、zは点-1を中心とする半径1の円周上にある。
　　　また、(a)より、zは原点を中心とする半径1の円周上にある。
　　　よって、右図より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z=\underline{\frac{-1\pm\sqrt3\ i}{2}}\end{align*}}$

　(エ)
　　　(イ)(ウ)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z=\frac{-1\pm\sqrt3\ i}{2}=\cos\left(\pm\frac{2}{3}\pi\right)+i\sin\left(\pm\frac{2}{3}\pi\right)\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z^k=1&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \cos\left(\pm\frac{2k}{3}\pi\right)+i\sin\left(\pm\frac{2k}{3}\pi\right)=\cos 0+i\sin 0 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \pm\frac{2k}{3}\pi=2L\pi\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \pmk=3L\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(Lは整数）
　　　これを満たす最小の自然数kはk=3である。

　(オ)
　　　(エ)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)=0\end{align*}}$
　　　であり、z≠1なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{z^2+z+1=0}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ z^{2m+2}+z+1=0\ \ \ (\because\ z^3=1)\end{align*}}$　　　（m：整数）
　　　よって、(b)を満たす整数nは3で割って2余る数である。

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2018/09/10(月) 23:57:00|

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2018奈良県立医科大　推薦　数学４

第４問

　　以下の文章の空欄に適切な数、式または数学記号を入れて文章を完成させよ。

　　$\small\sf{\begin{align*}\sf a_1=\frac{1}{14} \end{align*}}$ とすると、式
　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{\sqrt{19a^2_n+16a_n+4}}{4a_n}-2\ \ \ \left(n=1,2,\cdots\right) \end{align*}}$
　　の右辺は0でない実数値となり、上式を漸化式とする初項 $\small\sf{\begin{align*}\sf a_1=\frac{1}{14} \end{align*}}$ の数列{a_n}が
　　定義できる。すべての正整数nに対し、
　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*}\sf b_n=\left(\frac{1}{a_n}+2\right)^2 \end{align*}}$
　　とおくと、数列{b_n}が満たすべき漸化式は　ア　となる。したがって、{b_n}の一般項
　　はb_n=　イ　となる。a₁＞0なので、ある番号kまではa₁、a₂、･･･、a_k＞0 である
　　と仮定する。a_k+1≠0なので、まずa_k+1＜0の場合を考えてみる。数列{a_n}の漸化
　　式より $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{a_{k+1}}\gt -2 \end{align*}}$ なので$\small\sf{\begin{align*}\sf a_{k+1}\lt -\frac{1}{2} \end{align*}}$ である。このとき、0＜b_k+1＜　ウ　となる。
　　次に、a_k+1＞0ならばb_k+1＞　ウ　となる。よって、a₁、a₂、･･･、a_m＞0かつ
　　a_m+1＜0となるmは　エ　であり、このときa_m+1=　オ　、a_m+2=　カ　である。
　　ただし、　オ　と　カ　は $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{x}{y+\sqrt{z}} \end{align*}}$ の形（x、y、zは整数）で答えよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_{n+1}=\frac{1}{4}b_n+\frac{3}{16}\end{align*}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{4}+\frac{1023}{4^n}\end{align*}}$　　　　ウ 4　　　　エ 4　　

　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{32}{-64+\sqrt{1279}}\end{align*}}$　　　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{-64}{128+\sqrt{2047}}\end{align*}}$

　

【解説】

　(ア)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_{n+1}&=\sf \left(\frac{1}{a_{n+1}}+2\right)^2 \\ &=\sf \left(\frac{\sqrt{19a_n^2+16a_n+4}}{4a_n}\right)^2\\ &=\sf \frac{19a_n^2+16a_n+4}{16a_n^2}\\ &=\sf \frac{1}{4}\cdot\frac{4a_n^2+4a_n+1}{a_n^2}+\frac{3}{16}\\ &=\sf \frac{1}{4}\left(\frac{1}{a_n}+2\right)^2+\frac{3}{16}\\ &=\sf \underline{\frac{1}{4}b_n+\frac{3}{16}}\end{align*}}$

　(イ)
　　　まず、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_1=\frac{1}{14}\end{align*}}$ より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_1=\left(\frac{1}{a_1}+2\right)^2=256\end{align*}}$
　　　(ア)の漸化式は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_{n+1}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\left(b_n-\frac{1}{4}\right)\end{align*}}$
　　　と変形できるので、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left\{b_n-\frac{1}{4}\right\}\end{align*}}$ は等比数列をなす。
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n-\frac{1}{4}=\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\left(b_1-\frac{1}{4}\right)=\frac{1023}{4^n}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_n=\underline{\frac{1}{4}+\frac{1023}{4^n}}\end{align*}}$

　(ウ)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -2\lt\frac{1}{a_{k+1}}\lt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt\frac{1}{a_{k+1}}+2\lt 2\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt\left(\frac{1}{a_{k+1}}+2\right)^2\lt 4\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt b_{k+1}\lt \underline{4}\end{align*}}$

　(エ)
　　　(イ)、(ウ)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_{m+1}\lt 4&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{1}{4}+\frac{1023}{4^{m+1}}\lt 4 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 4^m\gt\frac{1023}{15}=68.2\cdots\end{align*}}$
　　　となり、4³=64、4⁴=256なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\underline{m=4}}$

　(オ)
　　　a₄＞0なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{a_{5}}+2=\frac{\sqrt{19a^2_4+16a_4+4}}{4a_4}\gt 0\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{a_5}+2&=\sf +\sqrt{b_5} \\ &=\sf \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1023}{4^5}}\\ &=\sf \frac{\sqrt{1279}}{32}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{a_5}=\frac{-64+\sqrt{1279}}{32}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_5=\underline{\frac{32}{-64+\sqrt{1279}}}\end{align*}}$

　(カ)
　　　a₅＜0なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{a_{6}}+2=\frac{\sqrt{19a^2_5+16a_5+4}}{4a_5}\lt 0\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{a_6}+2&=\sf -\sqrt{b_6} \\ &=\sf -\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1023}{4^6}}\\ &=\sf -\frac{\sqrt{2047}}{64}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{a_6}=\frac{-128-\sqrt{2047}}{64}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_6=\underline{\frac{-64}{128+\sqrt{2047}}}\end{align*}}$

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2018/09/11(火) 23:57:00|

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2018奈良県立医科大　推薦　数学５

第５問

　　以下の文章の空欄に適切な数、式または数学記号を入れて文章を完成させよ。

　　空間に三角形ABCと点Pがある。以下では位置ベクトルの始点は原点Oとする。
　　点A、B、C、Pの位置ベクトルをそれぞれ$\small\sf{\overrightarrow{\sf a},\overrightarrow{\sf b},\overrightarrow{\sf c},\overrightarrow{\sf p}}$ とする。点Aに関して点Pと
　　対称な点Qの位置ベクトル$\small\sf{\overrightarrow{\sf q}}$ は$\small\sf{\overrightarrow{\sf q}}$ =　ア　である。同様に、点Bに関して点Q
　　と対称な点Rの位置ベクトル$\small\sf{\overrightarrow{\sf r}}$ と、点Cに関して点Rと対称な点Sの位置ベクトル
　　$\small\sf{\overrightarrow{\sf s}}$ も求まる。特に点Sが点Pと一致するとき、$\small\sf{\overrightarrow{\sf p}}$ を$\small\sf{\overrightarrow{\sf a},\overrightarrow{\sf b},\overrightarrow{\sf c}}$ で表すと$\small\sf{\overrightarrow{\sf p}}$ =　イ　
　　となる。このとき三角形PQRの面積は三角形ABCの面積の　ウ　倍である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア $\scriptsize\sf{2\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf p}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}}$　　　　ウ 4　　　　

　

【解説】

　(ア)
　　　点Qは点Aに関して点Pと対称な点なので、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AQ}=-\overrightarrow{\sf AP}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \overrightarrow{\sf q}-\overrightarrow{\sf a}=-\left(\overrightarrow{\sf p}-\overrightarrow{\sf a}\right) \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \overrightarrow{\sf q}=\underline{2\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf p}}\end{align*}}$

　(イ)
　　　同様にすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}&=\sf 2\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf q} \\ &=\sf -2\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf p} \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf s}&=\sf 2\overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf r} \\ &=\sf 2\overrightarrow{\sf a}-2\overrightarrow{\sf b}+2\overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf p} \end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\overrightarrow{\sf s}=\overrightarrow{\sf p}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2\overrightarrow{\sf a}-2\overrightarrow{\sf b}+2\overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf p}=\overrightarrow{\sf p} \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \overrightarrow{\sf p}=\underline{\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}}\end{align*}}$

　(ウ)
　　　(イ)のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf q}&=\sf 2\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf p} \\ &=\sf \overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf c} \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf r}&=\sf -2\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf p} \\ &=\sf -\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PQ}&=\sf \overrightarrow{\sf q}-\overrightarrow{\sf p} \\ &=\sf 2\overrightarrow{\sf b}-2\overrightarrow{\sf c}\\ &=\sf 2\overrightarrow{\sf CB}\end{align*}}$
　　　同様に、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf QP}=2\overrightarrow{\sf AC}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf RP}=2\overrightarrow{\sf BA}\end{align*}}$
　　　となるので、△ABCと△RPQは相似であり、相似比は1：2である。
　　　よって、△PQRの面積は△ABCの4倍である。

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2018/09/12(水) 23:57:00|

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2018奈良県立医科大　推薦　数学６

第６問

　　以下の問に答えよ。

　　区間0≦x≦1で定義された関数f(x)が以下の2つの条件を満たしているとする。
　　　条件(a)： f(0)=f(1)= 0
　　　条件(b)： 0≦x₁≦1 、 0≦x2≦1なる任意の相異なるx₁、x₂に対し、
　　　　　　　　$\small\sf{\left|f(x_1)-f(x_2)\right|\lt k\left|x_1-x_2\right|}$　　（ただし、kは正の定数）

　(１) 0＜x＜1なる任意のxに対し、不等式|f(x)|＜kx と|f(x)|＜k(1-x) が
　　　成り立つことを示せ。

　(２) 0≦x₁≦1 、0≦x₂≦1なる任意のx₁、x₂に対し、不等式$\small\sf{\begin{align*}\sf\left|f(x_1)-f(x_2)\right|\lt\frac{k}{2}\end{align*}}$ が
　　　成り立つことを示せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　(b)の式にx₁=x （0＜x＜1）、x₂=0を代入すると、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left|f(x)-f(0)\right|\lt k\left|x-0\right|\ \ \Leftrightarrow\ \ \left|f(x)\right|\lt kx\end{align*}}$
　　　(b)の式にx₁=x （0＜x＜1）、x₂=1を代入すると、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left|f(x)-f(1)\right|\lt k\left|x-1\right|\ \ \Leftrightarrow\ \ \left|f(x)\right|\lt k\left(1-x\right)\end{align*}}$

　(２)
　　　(ⅰ) x₁=x₂のときは、k＞0より明らかに成り立つ。

　　　以下、x₁≠x₂のときは、x₁＞x₂としても一般性を失わない。
　　　(ⅱ) 0＜x₁-x₂≦$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき
　　　　　　条件(b)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |f(x_1)-f(x_2)|&\lt\sf k|x_1-x_2| \\ &=\sf k(x_1-x_2)\\ &\leqq\sf \frac{k}{2}\end{align*}}$
　　　(ⅲ) $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\end{align*}}$＜x₁-x₂≦1のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq x_2\lt\frac{1}{2}\lt x_1\leqq 1 \end{align*}}$
　　　　　　であり、f(x₁)=f(x₂)=0なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |f(x_1)-f(x_2)|&=\sf |f(x_1)-f(1)+f(0)-f(x_2)|\\ &\leqq\sf |f(x_1)-f(1)|+|f(0)-f(x_2)|\\ &\lt\sf k|x_1-1|+k|0-x_2|\ \ \ \left(\because\ (b)\right)\\ &=\sf k\left\{1-(x_1+x_2\right)\right\}\\ &\lt\sf \frac{k}{2}\ \ \ \ \left(\because\ x_1-x_2\gt \frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
　　　以上より、題意は示された。

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2018/09/13(木) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の公立大学　.奈良県立医大　2018（推薦）

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