青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の公立大学　.奈良県立医大　2018（前期）

2018奈良県立医科大　前期数学１

第１問

　　以下の文章の空欄に適切な数，式または数学記号を入れて文章を完成させよ。

　　次のデータを考える．
　　　　　

　　aは20以上80以下、bは2009以上2018以下の実数を動くとき、yの中央値m
　　の取りうる値の範囲は　ア　となる。また、xとyの相関係数は、a=　イ　、
　　b=　ウ　のとき最大値　エ　を取る。

解答はこちら↓

2018奈良県立医科大　前期数学２

第２問

　　以下の文章の空欄に適切な数，式または数学記号を入れて文章を完成させよ。

　　0から9までの番号が書かれた10マスからなるすごろくがある。ゴールは0番の
　　マスとする。サイコロを1回振るごとにコマがマスを移動するが、x番のマスにいる
　　ときにサイコロの出た目の数がyならば、|x-y|番のマスに移動する。ただし、
　　このサイコロは1から6までのどの目も同じ確率で出るものとする。

　(１) 6番のマスからスタートし、n回目にサイコロを振って初めてゴールに到達する
　　　確率をP_nとする。正整数nに対して P_n=　ア　である。

　(２) 9番のマスからスタートし、n回目にサイコロを振って初めてゴールに到達する
　　　確率をQ_nとする。このときQ₂=　イ　、Q₃=　ウ　で、
　　　　　　　　Q_n=　エ　　（n=4，5 ，･･･）
　　　となる。さらに
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^nkQ_k= \end{align*}}$ 　オ　
　　　である。ただし、|r|＜1に対して $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}nr^n=0\end{align*}}$ を使ってよい。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{5^{n-1}}6^n{}\end{align*}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf　\frac{1}{9} \end{align*}}$　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{31}{216}\end{align*}}$　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{161}{125}\left(\frac{5}{6}\right)^n\end{align*}}$　　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{265}{36}\end{align*}}$

　　
　

【解説】

　　　以下、スタートのマスの番号をx₀とし、n回目のさいころの目をy_n、その結果移動した
　　　マスの番号をx_nとする。

　(ア)
　　　x₀=6より、任意の自然数kに対して0≦x_k≦6なので、
　　　x_k≠0　（k=1，2，･･･，n-1）　かつ　x_n=0となればよい。
　　　これは、y_k≠x_k-1 　（k=1，2，･･･，n-1）　かつ　y_n=x_n-1のときなので、
　　　この確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_n=\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}\cdot\frac{1}{6}=\underline{\frac{5^{n-1}}{6^n}}\end{align*}}$
　　　である。

　(イ)
　　　x₁+x₂=9であればよいので、
　　　　　(x₁，x₂)=(3，6)、(4，5)、(5，4)、(6，3)
　　　の4通りの場合がある。よって、求める確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{4}{6^2}=\underline{\frac{1}{9}}\end{align*}}$

　(ウ)
　　　x₁+x₂=3 かつ x₃=6となる場合は2通り
　　　x₁+x₂=4 かつ x₃=5となる場合は3通り
　　　x₁+x₂=5 かつ x₃=4となる場合は4通り
　　　x₁+x₂=6 かつ x₃=3となる場合は5通り
　　　x₁+x₂=7 かつ x₃=2となる場合は6通り
　　　x₁+x₂=8 かつ x₃=1となる場合は5通り
　　　x₁+x₂=10 かつ x₃=1となる場合は3通り
　　　x₁+x₂=11 かつ x₃=2となる場合は2通り
　　　x₁+x₂=12 かつ x₃=3となる場合は1通り
　　　よって、求める確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2+3+4+5+6+5+3+2+1}{6^3}=\underline{\frac{31}{216}}\end{align*}}$

　(エ)
　　　Q₁=0なので、3回さいころを振ってゴールに達していない確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-\left(Q_1+Q_2+Q_3\right)=1-\left(\frac{1}{9}+\frac{31}{216}\right)=\frac{161}{216} \end{align*}}$
　　　x₁+x₂+x₃≧3より、y₃≦6なので、(ア)と同様に考えると、
　　　y_k≠x_k-1 　（k=4，5，･･･，n-1）　かつ　y_n=x_n-1であればよい。
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q_n=\frac{161}{216}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{n-4}\cdot\frac{1}{6}=\underline{\frac{161}{625}\left(\frac{5}{6}\right)^n} \end{align*}}$

(オ)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\sum_{k=4}^nk\left(\frac{5}{6}\right)^k \end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S-\frac{5}{6}S&=\sf \left\{4\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^4+5\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^5+\cdots +n\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^n\right\}-\left\{4\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^5+5\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^6+\cdots +n\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{n+1}\right\} \\ &=\sf 4\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^4+\left\{\left(\frac{5}{6}\right)^5+\left(\frac{5}{6}\right)^6+\cdots +\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{n}\right\}-n\left(\frac{5}{6}\right)^{n+1}\\ &=\sf 4\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^4+\frac{\left(\frac{5}{6}\right)^5\left\{1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n-4}\right\}}{1-\frac{5}{6}}-n\left(\frac{5}{6}\right)^{n+1}\end{align*}}$
　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ S=24\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^4+36\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^5\left\{1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n-4}\right\}-6n\left(\frac{5}{6}\right)^{n+1}\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^nkQ_k&=\sf Q_1+2Q_2+3Q_3+\frac{161}{625}S \\ &=\sf 0+\frac{2}{9}+\frac{31}{72}+\frac{161}{625}\left[24\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^4+36\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^5\left\{1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n-4}\right\}-6n\left(\frac{5}{6}\right)^{n+1}\right]\end{align*}}$
　　　より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^nkQ_k&=\sf \frac{2}{9}+\frac{31}{72}+\frac{161}{625}\left\{24\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^4+36\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^5\right\} \\ &=\sf \underline{\frac{265}{36}}\end{align*}}$

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2018/07/23(月) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の公立大学　.奈良県立医大　2018（前期）

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2018奈良県立医科大　前期数学３

第３問

　　以下の文章の空欄に適切な数，式または数学記号を入れて文章を完成させよ。

　　AB=ACである三角形ABCを考える。BCを底辺とし、底辺の長さを1、三角形
　　　 ABCの高さをhとする。

　(１) 三角形ABCの外接円Rの半径rは　ア　である。

　(２) 外接円Rの中心をOとし、OAとOCを2辺とする平行四辺形AOCDを考える。
　　　 DがRの周上にあるのはh=　イ　のときである。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{8h}+\frac{h}{2} \end{align*}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
　

【解説】

　(ア)
　　　BCの中点をM、直線AMと外接円Rの交点のうち
　　　Aと異なる点をEとすると、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf BM=CM=\frac{1}{2} \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{AM=h}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{EM=AE-AM=2r-h}$
　　　なので、方べきの定理より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{BM\cdot CM=AM\cdot EM}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{1}{2}\right)^2=h\left(2r-h\right) \end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r=\underline{\frac{1}{8h}+\frac{h}{2}} \end{align*}}$

　(イ)
　　　AO=OC=1より、平行四辺形AOCDは一辺の長さが1のひし形であり、
　　　R上の点Dに対してOD=1となので、△OADは正三角形である。
　　　同様に△OCDも正三角形なので、∠CAH=30°
　　　よって、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h=CM\tan30^{\circ}=\underline{\frac{\sqrt3}{2}}\end{align*}}$

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2018/07/24(火) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の公立大学　.奈良県立医大　2018（前期）

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2018奈良県立医科大　前期数学４

第４問

　　以下の文章の空欄に適切な数、式または数学記号を入れて文章を完成させよ。

　　0以上の整数nに対し、$\small\sf{\begin{align*}\sf a_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx\end{align*}}$ とおく。

　(１) n≧2に対して
　　　　　　$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{d}{dx}\left(\cos^{n-1}x\ \sin x\right)=\alpha\cos^{n-2}x+\beta\cos^nx\end{align*}}$　　　（ただし$\small\sf{\alpha}$、$\small\sf{\beta}$ はxによらない定数）
　　　と表すと、$\small\sf{\alpha}$=　ア　、$\small\sf{\beta}$=　イ　である。

　(２) n≧2 に対して、漸化式a_n=　ウ　 a_n-2が成り立つ。

　(３) n≧0に対して、数列{a_n+1a_n}の一般項の値を求めるとa_n+1a_n=　エ　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア $\scriptsize\sf{1-n}$　　　　イ n　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{n-1}{n}\end{align*}}$　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{2\left(n+1\right)}\end{align*}}$
　

【解説】

　(ア)(イ)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{d}{dx}\left(\cos^{n-1}x\ \sin x\right)&=\sf \left(n-1\right)\cos^{n-2}x\ \sin x\cdot\left(-\sin x\right)+\cos^{n-1}x\ \cos x \\ &=\sf \left(1-n\right)\cos^{n-2}x\left(1-\cos^2x\right)+\cos^nx\\ &=\sf \underline{\left(1-n\right)\cos^{n-2}x+n\cos^nx}\end{align*}}$

　(ウ)
　　　(１)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left\{\left(1-n\right)\cos^{n-2}x+n\cos^nx\right\}dx&=\sf \bigg[\cos^{n-1}x\ \sin x\bigg]_0^{\frac{\pi}{2}} \end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(1-n\right)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n-2}xdx+n\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx=0 \end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(1-n\right)a_{n-2}+na_n=0 \end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=\underline{\frac{n-1}{n}a_{n-2}}\end{align*}}$

　(エ)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_0=\int_0^{\frac{\pi}{2}}dx=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos xdx=\bigg[\sin x\bigg]_0^{\frac{\pi}{2}}=1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_2&=\sf \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2xdx \\ &=\sf \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\cos2x\right)dx\\ &=\sf\frac{1}{2}\left[x+\frac{1}{2}\sin2x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &=\sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$
　　　(２)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}a_n=\frac{n}{n+1}a_{n-1}\cdot\frac{n-1}{n}a_{n-2}=\frac{n-1}{n+1}a_{n-1}a_{n-2}\end{align*}}$

　　・nが偶数のとき　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}a_n&=\sf \frac{n-1}{n+1}a_{n-1}a_{n-2} \\ &=\sf \frac{n-1}{n+1}\cdot\frac{n-3}{n-1}a_{n-3}a_{n-4}\\ &\vdots\sf \\ &=\sf \frac{n-1}{n+1}\cdot\frac{n-3}{n-1}\cdot\frac{n-5}{n-3}\cdot\cdots\cdot \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{3}\ a_{1}a_{0}\\ &=\sf \frac{1}{n+1}\cdot 1\cdot\frac{\pi}{2}\\ &=\sf \frac{\pi}{2\left(n+1\right)}\end{align*}}$
　　・nが奇数のとき　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}a_n&=\sf \frac{n-1}{n+1}a_{n-1}a_{n-2} \\ &=\sf \frac{n-1}{n+1}\cdot\frac{n-3}{n-1}a_{n-3}a_{n-4}\\ &\vdots\sf \\ &=\sf \frac{n-1}{n+1}\cdot\frac{n-3}{n-1}\cdot\frac{n-5}{n-3}\cdot\cdots\cdot \frac{4}{6}\cdot\frac{2}{4}\ a_{2}a_{1}\\ &=\sf \frac{2}{n+1}\cdot \frac{\pi}{4}\cdot 1\\ &=\sf \frac{\pi}{2\left(n+1\right)}\end{align*}}$
　　　以上より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}a_n=\underline{\frac{\pi}{2\left(n+1\right)}}\end{align*}}$

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2018/07/25(水) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の公立大学　.奈良県立医大　2018（前期）

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2018奈良県立医科大　前期数学５

第５問

　　以下の文章の空欄に適切な数、式または数学記号を入れて文章を完成させよ。

　　空間に一辺の長さLの正四面体OABCがある。点Oを始点とする点A、B、C
　　の位置ベクトルをそれぞれ$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c} }$ とする。定数p、qに対して、点Xが内積に
　　ついての条件 $\small\sf{\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf OX}=p}$ および $\small\sf{\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf OX}=q}$ を満たしながら動くとき、点Xの
　　集合は直線をなす。この直線の長さ1の方向ベクトルは $\small\sf{\overrightarrow{\sf u}}$ =±　ア　である。
　　このとき、直線は媒介変数tと定数 $\small\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ を用いて $\small\sf{\overrightarrow{\sf OX}=t\overrightarrow{\sf u}+\alpha\overrightarrow{\sf a}+\beta\overrightarrow{\sf b}}$ の形
　　に書ける。 $\small\sf{\alpha}$ と $\small\sf{\beta}$ をp、q、Lを用いて表すと $\small\sf{\alpha}$ =　イ　、$\small\sf{\beta}$ =　ウ　となる。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{\sqrt6\ L}\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}-3\overrightarrow{\sf v}\right) \end{align*}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{3L^2}\left(2p-q\right)\end{align*}}$　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{3L^2}\left(2q-p\right)\end{align*}}$　　　　

　

【解説】

　　　四面体OABCは一辺がLの正四面体なので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf a}|=|\overrightarrow{\sf b}|=|\overrightarrow{\sf c}|=L \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=L^2\cos\frac{\pi}{3}=\frac{L^2}{2}\end{align*}}$
　　　実数x、y、zを用いて　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OX}=x\overrightarrow{\sf a}+y\overrightarrow{\sf b}+z\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
　　　とおくと、与えられた条件式より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p&=\sf\overrightarrow{\sf a}\cdot\left(x\overrightarrow{\sf a}+y\overrightarrow{\sf b}+z\overrightarrow{\sf c}\right) \\ &=\sf x|\overrightarrow{\sf a}|^2+y\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+z\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\\ &=\sf \frac{L^2}{2}\left(2x+y+z\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q&=\sf\overrightarrow{\sf b}\cdot\left(x\overrightarrow{\sf a}+y\overrightarrow{\sf b}+z\overrightarrow{\sf c}\right) \\ &=\sf x\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+y|\overrightarrow{\sf b}|^2+z\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}\\ &=\sf \frac{L^2}{2}\left(x+2y+z\right)\end{align*}}$
　　　これら2式を連立させてx、yについて解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{2}{3L^2}\left(2p-q\right)-\frac{z}{3}\ ,\ \ y=\frac{2}{3L^2}\left(2q-p\right)-\frac{z}{3}\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OX}&=\sf\left\{\frac{2}{3L^2}\left(2p-q\right)-\frac{z}{3}\right\}\overrightarrow{\sf a}+\left\{\frac{2}{3L^2}\left(2q-p\right)-\frac{z}{3}\right\}\overrightarrow{\sf b}+z\overrightarrow{\sf c} \\ &=\sf -\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}-3\overrightarrow{\sf c}\right)z+\frac{2}{3L^2}\left(2p-q\right)\overrightarrow{\sf a}+\frac{2}{3L^2}\left(2q-p\right)\overrightarrow{\sf b}\\ &=\sf \end{align*}}$
　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}-3\overrightarrow{\sf c}\right|^2&=\sf |\overrightarrow{\sf a}|^2+|\overrightarrow{\sf b}|^2+9|\overrightarrow{\sf c}|^2+2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}-6\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}-6\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a} \\ &=\sf L^2+L^2+9L^2+L^2-3L^2-3L^2\\ &=\sf 6L^2\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf u}=\pm\frac{1}{\sqrt6\ L}\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}-3\overrightarrow{\sf c}\right)\ ,\ \ t=\frac{\sqrt6\ L}{3}z \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha=\frac{2}{3L^2}\left(2p-q\right)\ ,\ \ \beta=\frac{2}{3L^2}\left(2q-p\right) \end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OX}=t\overrightarrow{\sf u}+\alpha\overrightarrow{\sf a}+\beta\overrightarrow{\sf b}\ \ \ \ \left(|\overrightarrow{\sf u}|=1\right)\end{align*}}$
　　　を満たすことになる。

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2018/07/26(木) 23:57:00|

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2018奈良県立医科大　前期数学６

第６問

　　以下の問に答えよ。

　(１) xの整式x⁴+2x³+2x²+2x+1を因数分解せよ。

　(２) どのような正整数nに対しても、n⁴+2n³+2n²+2n+1は平方数ではないことを
　　　証明せよ。ただし、平方数とはある正整数mを用いてm²と表される正整数のことである。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^4+2x^3+2x^2+2x+1&=\sf \left(x+1\right)\left(x^3+x^2+x+1\right) \\ &=\sf \underline{\left(x+1\right)^2\left(x^2+1\right)}\end{align*}}$

　(２)
　　　(１)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n^4+2n^3+2n^2+2n+1=\left(n+1\right)^2\left(n^2+1\right)\end{align*}}$
　　　となり、これが平方数となるためには、n²+1が平方数であればよい。　　　
　　　$\scriptsize\sf{n^2+1=k^2}$ を満たす自然数kが存在すると仮定すると、この式は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\left(k-n\right)\left(k+n\right)=1}$
　　　と変形でき、k、nは整数なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\left(k-n,k+n\right)=\left(1,1\right),\ \left(-1,-1\right)}$
　　　これを満たすのはn=0のときなので、nが正であることに矛盾する。
　　　よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n^4+2n^3+2n^2+2n+1\end{align*}}$ は平方数とはならない。

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2018/07/27(金) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の公立大学　.奈良県立医大　2018（前期）

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2018奈良県立医科大　前期数学２

2018奈良県立医科大　前期数学３

2018奈良県立医科大　前期数学４

2018奈良県立医科大　前期数学５

2018奈良県立医科大　前期数学６