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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018京都府立医科大 数学1



第1問

  a、bは実数とする。xy平面上で不等式y≦exをみたす点(x,y)の
  集合をDとし、直線y=ax+bをLとする。

 (1) LがDに含まれるためのa、bの条件を求め、その条件をみたす点
    (a,b)の集合Eをab平面上に図示せよ。

 (2) tは正の実数とし、ab平面上で連立不等式a≧t、b≧0をみたす点
    (a,b)の集合をFtとする。(1)のEとFtの共通部分の面積をS(t)
    とするとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow 0}\end{align*}}$ S(t)を求めよ。

 必要なら$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow 0}xlogx=0\end{align*}}$ であることは用いてよい。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/06/25(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .京都府立医大 2018
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2018京都府立医科大 数学2



第2問

  xy平面上の原点(0,0)に駒をおき、以下の操作を繰り返し、駒をxy平面上で
  移動させる。
    操作:サイコロを投げ、出た目をk(1≦k≦6)とする。
     (ⅰ) kが奇数のとき、x軸方向にkだけ移動させる。
     (ⅱ) kが偶数のとき、y軸方向に$\small\sf{\frac{k}{2}}$ だけ移動させる。
    例えば駒が(1,1)にあるとき、3の目が出れば(4,1)に、4の目が出れば
    (1,3)に移動させる。

  以下の問いに答えよ。ただし実数xについて、[x]はxを超えない最大の整数を表す。

 (1) p、qは0以上の整数とする。点(p,q)に到達させるために必要なサイコロを
    投げる最小の回数をN(p,q)とおく。
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \left[\frac{p}{5}\right]\leq N\left(p,0\right)\leq\left[\frac{p}{5}\right]+2\ ,\ \ \left[\frac{q}{3}\right]\leq N\left(0,b\right)\leq\left[\frac{q}{3}\right]+1\end{align*}}$
    であることを証明せよ。

 (2) a、bは0以上の整数とする。ただし、a、bの少なくとも一方は0でないとする。
    極限値$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{N\left(an,bn\right)}{\left(a+b\right)n}\end{align*}}$
   を求めよ.

 (3) (2)の極限値をR(a,b)とおく。R(a,b)の最大値と最小値を求めよ。



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  1. 2018/06/26(火) 23:57:00|
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2018京都府立医科大 数学3



第3問

  四面体ABCDはAC=$\small\sf{\frac{\sqrt3}{2}}$ 、AD=1、BC=$\small\sf{\frac{1}{2}}$ であり、
  辺ADは面ABCに垂直であり、辺BCは面ACDに垂直であるとする。

 (1) 辺BDの長さを求めよ。

 (3) 点Cから辺ABに下ろした垂線の長さを求めよ。

  次に四面体ABCDから十分に離れたところに直線ABと平行な平面$\small\sf{\alpha}$を一つとる。
  $\small\sf{\alpha}$に垂直な平行光線を四面体ABCDにあてて、$\small\sf{\alpha}$上に影をつくる。その影の面積を
  Sとする。

 (3) 面ABDが$\small\sf{\alpha}$に平行であるときのSを求めよ。

 (4) 直線ABを軸として四面体ABCDを1回転させるとき、Sの最大値、最小値を
    求めよ。



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  1. 2018/06/27(水) 23:57:00|
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2018京都府立医科大 数学4



第4問

   nは2以上の偶数とする。n個の式x-k (k=0,1,2,・・・,n-1)の積を
  fn(x) とする。すなわち
       fn(x)=x(x-1)(x-2)・・・(x-n+1)
  である。

 (1) 関数y=fn(x)のグラフはy軸に平行なある直線に関して対称であることを
    証明せよ。

 (2) x の方程式fn(x)=n!はちょうど2つの実数解をもつことを証明し、
    その実数解を求めよ。

 (3) (2)の実数解を$\small\sf{\alpha}$、$\small\sf{\beta}$ ($\small\sf{\alpha}$<$\small\sf{\beta}$ )とするとき
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\left(n+1\right)!}\int_{\alpha}^{\beta}\left|f_n\left(x\right)\right|dx\end{align*}}$
    を求めよ。




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  1. 2018/06/28(木) 23:57:00|
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