第１問
次の関数f(x)について、以下の問に答えよ。ただし、aは1＜a＜2を満たす定数とする。
$\small\sf{f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax}$
(１) f(x)の導関数を求め、それを因数分解せよ。
(２) f(2)を求めよ。
(３) 0≦x≦2における、f(x)の最大値を求めよ。
(４) 0≦x≦2における、f(x)の最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)&=\sf 6x^2-6(a+1)x+6a \\ &=\sf \underline{6(x-1)(x-a)}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(2)&=\sf 16-12(a+1)+12a \\ &=\sf \underline{4}\end{align*}}$
(３)
1＜a＜2よりf(x)の増減は次のようになる。
よって、f(x)の最大値は
$\scriptsize\sf\begin{align*}\sf f(1)\leq f(2)\end{align*}{}$ すなわち$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1\lt a\leq\frac{5}{3}\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)_{max}=f(2)=\underline{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{5}{3}\lt a\lt 2\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)_{max}=f(1)=\underline{3a-1}\end{align*}}$
(４)
1＜a＜2なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(a)&=\sf -a^3+3a^2 \\ &=\sf -a^2(a-3)\\ &\gt\sf 0\end{align*}}$
よって、f(x)の最小値は
$\scriptsize\sf{f(x)_{min}=f(0)=\underline{0}}$
あ
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- 2018/08/30(木) 23:57:00|
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第２問
次の2つの条件(Ⅰ)、(Ⅱ)を満たす円の方程式を求めよ。
(Ⅰ) 中心の座標が(4，-3)である。
(Ⅱ) 円x2+y2+2x-4y+4=0と接する。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(Ⅱ)の円は
$\scriptsize\sf{(x+1)^2+(y-1)^2=1}$
より、中心(-1，2)、半径1の円である。
また、2円の中心間の距離は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\sqrt{(4+1)^2+(-3-2)^2}=5\sqrt2\end{align*}}$
よって、2円が外接するとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\left(x-4\right)^2+\left(y+3\right)^2=\left(5\sqrt2-1\right)^2}\end{align*}}$
2円が内接するとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\left(x-4\right)^2+\left(y+3\right)^2=\left(5\sqrt2+1\right)^2}\end{align*}}$
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第３問
初項から第n項までの和Snが
$\small\sf{\begin{align*}\sf S_n=\frac{3n^2-35n-38}{2}\end{align*}}$
となる数列を{an} とする。さらに、
$\small\sf{b_1=-23\ ,\ \ b_{n+1}=a_n+b_n\ \ \ \left(n=1,2,3,\cdots\right)}$
で定められる数列を{bn}とする。次の問に答えなさい。
(１) {an}の一般項を求めよ。
(２) {bn}の一般項を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
n=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_1=S_1=\frac{3-35-38}{2}=\underline{-23}\end{align*}}$
n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n&=\sf S_n-S_{n-1} \\ &=\sf \frac{3n^2-35n-38}{2}-\frac{3(n-1)^2-35(n-1)-38}{2}\\ &=\sf \underline{3n-19}\end{align*}}$
(２)
n=1のとき
$\scriptsize\sf{b_1=\underline{-23}}$
n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n&=\sf b_1+\sum_{k=1}^{n-1}a_k \\ &=\sf -23+S_{n-1}\\ &=\sf -23+\frac{3(n-1)^2-35(n-1)-38}{2}\\ &=\sf \underline{\frac{3n^2-41n-46}{2}}\end{align*}}$
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第４問
底面の半径がr、高さがhである円錐の体積Vは$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\pi r^2h\end{align*}}$ となることを、積分を用いて証明せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
円錐の頂点をO、底面の中心をAとおく。
線分OA上に点Pをとり、OP=x （0≦x≦h）とおく。
Pを通りOAに垂直な平面で円錐を切断した断面は円であり、
その半径は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{rx}{h}\end{align*}}$ 、面積は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi r^2x^2}{h^2}\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \int_0^h \frac{\pi r^2x^2}{h^2}dx\\ &=\sf \frac{\pi r^2}{h^2}\left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^h\\ &=\sf \underline{\frac{1}{3}\pi r^2h}\end{align*}}$
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第５問
nは2以上の自然数とする。2つの変数x、yのデータが、n個のx、yの値の組として、次のように
与えられているとする。(x1，y1)、(x2，y2)、･･･、(xn，yn) ．
ここで、x1、x2、･･･、xnとy1、y2、⋯ ，ynの平均値をそれぞれ$\small\sf{\overline{x}}$ 、$\small\sf{\overline{y}}$ 、標準偏差をそれぞれ
sx、syとする。また、x、yの相関係数をrとする。これらn組に 2組のデータ(xn+1，yn+1)、
(xn+2，yn+2)を加えたときの相関係数をr+とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(１) aを正の定数とする。xn+1=$\small\sf{\overline{x}-a}$ 、xn+2=$\small\sf{\overline{x}+a}$ のとき、n+2個のデータx1、x2、･･･、
xn、xn+1、xn+2の標準偏差を求めよ。
(２) (xn+1，yn+1)=($\small\sf{\overline{x}-s_x}$ ，$\small\sf{\overline{y}-s_y}$ )、(xn+2，yn+2)=($\small\sf{\overline{x}+s_x}$ ，$\small\sf{\overline{y}+s_y}$ )のとき、
r の絶対値|r|とr+の絶対値|r+| の大小関係を示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{x}=\frac{1}{n}(x_1+\cdots x_n)\ \ \Leftrightarrow\ \ x_1+\cdots +x_n=n\overline{x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s_x^2=\frac{1}{n}\left\{(x_1-\overline{x})^2+\cdots +(x_n-\overline{x})^2\right\}\ \ \Leftrightarrow\ \ (x_1-\overline{x})^2+\cdots +(x_n-\overline{x})^2=ns_x^2 \end{align*}}$
x1、x2、･･･、xn、xn+1、xn+2の平均を$\scriptsize\sf{\overline{x^+}}$ 、標準偏差を$\scriptsize\sf{s^{+}_x}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{x^+}&=\sf\frac{1}{n+2}(x_1+\cdots +x_n+x_{n+1}+x_{n+2}) \\ &=\sf \frac{1}{n+2}\left\{n\overline{x}+(\overline{x}-a)+(\overline{x}+a)\right\}\\ &=\sf \overline{x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (s_x^+)^2&=\sf \frac{1}{n+2}\left\{(x_1-\overline{x^+})^2+\cdots +(x_n-\overline{x^+})^2+(x_{n+1}-\overline{x^+})^2+(x_{n+2}-\overline{x^+})^2\right\}\\&=\sf \frac{1}{n+2}\left\{(x_1-\overline{x})^2+\cdots +(x_n-\overline{x})^2+(x_{n+1}-\overline{x})^2+(x_{n+2}-\overline{x})^2\right\}\\ &=\sf \frac{1}{n+2}\left(ns_x^2 +a^2+a^2\right)\\ &=\sf \frac{ns_x^2+2a^2}{n+2}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s_x^+=\underline{\sqrt{\frac{ns_x^2+2a^2}{n+2}}}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r=\frac{s_{xy}}{s_x\ s_y}=\frac{(x_1-\overline{x})(y_1-\overline{y})+\cdots (x_n-\overline{x})(y_n-\overline{y})}{ns_x\ s_y}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (x_1-\overline{x})(y_1-\overline{y})+\cdots +(x_n-\overline{x})(y_n-\overline{y})=nrs_xs_y\end{align*}}$
(１)において、$\scriptsize\sf{a=s_x}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s_x^+=\sqrt{\frac{ns_x^2+2(s_x)^2}{n+2}}=s_x\end{align*}}$
y1、y2、･･･、yn、yn+1、yn+2の平均を$\scriptsize\sf{\overline{y^+}}$ 、標準偏差を$\scriptsize\sf{s^{+}_y}$ とおくと同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{y^+}=\overline{y}\ ,\ \ s^{+}y=s_y\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r^+&=\sf \frac{(x_1-\overline{x^+})(y_1-\overline{y^+})+\cdots +(x_n-\overline{x^+})(y_n-\overline{y^+})+(x_{n+1}-\overline{x^+})(y_{n+1}-\overline{y^+})+(x_{n+2}-\overline{x^+})(y_{n+2}-\overline{y^+})}{\left(n+2\right)s^+_xs^+_y} \\ &=\sf \frac{(x_1-\overline{x})(y_1-\overline{y})+\cdots +(x_n-\overline{x})(y_n-\overline{y})+(x_{n+1}-\overline{x})(y_{n+1}-\overline{y})+(x_{n+2}-\overline{x})(y_{n+2}-\overline{y})}{\left(n+2\right)s_xs_y} \\ &=\sf \frac{nrs_xs_y+s_xs_y+s_xs_y}{\left(n+2\right)s_xs_y} \\ &=\sf \frac{n}{n+2}r+\frac{2}{n+2}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{eqnarray}\sf |r|= \begin{cases} \sf r & (\sf 0\leqq r\leqq 1 ) \\ \sf -r & (\sf -1\leqq r \lt 0 ) \end{cases}\end{eqnarray}}$
$\scriptsize\sf{\begin{eqnarray}\sf |r^+|= \begin{cases} \sf \frac{n}{n+2}r+\frac{2}{n+2} & \left(\sf -\frac{2}{n}\leqq
r\leqq 1 \right) \\ \sf -\frac{n}{n+2}r-\frac{2}{n+2} & \left(\sf -1\leqq r\lt -\frac{2}{n}\right) \end{cases}\end{eqnarray}}$
なので、
(ⅰ) $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -1\leqq r\lt -\frac{2}{n}\end{align*}}$ のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |r|-|r^+|&=\sf -r-\left(-\frac{n}{n+2}r-\frac{2}{n+2}\right) \\ &=\sf \frac{2(1-r)}{n+2}\\ &\gt\sf 0\end{align*}}$
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{2}{n}\leqq r\lt 0\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |r|-|r^+|=-r-\left(\frac{n}{n+2}r+\frac{2}{n+2}\right)=-\frac{(2n+2)r+2}{n+2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |r|\gt |r^+|&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -\frac{2}{n}\leqq r\lt -\frac{1}{n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |r|\lt |r^+|&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -\frac{1}{n+1}\lt r\lt 0\end{align*}}$
(ⅲ) $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq r\leqq 1\end{align*}}$ のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |r|-|r^+|&=\sf r-\left(\frac{n}{n+2}r+\frac{2}{n+2}\right) \\ &=\sf \frac{2(r-1)}{n+2}\\ &\leqq\sf 0\end{align*}}$
(等号成立はr=1のとき）
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -1\leqq r\lt -\frac{1}{n+1}\end{align*}}$ のとき |r|＞|r+|
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r=-\frac{1}{n+1}\ ,\ 1\end{align*}}$ のとき |r|=|r+|
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{n+1}\lt r\leqq 1\end{align*}}$ のとき |r|＜|r+|
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- 2018/09/03(月) 23:57:00|
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