第１問
0＜a＜1のとき、座標平面上に3点A(0，1)、B(-1，0)、Q(0，a)をとり、
第1象限の点P(p1，p2)を考える。次の問に答えよ。
(１) 点Pを直線BQ上にQP=$\small\sf{\sqrt2}$ となるようにとる。p1、p2をaを用いて表せ。
(２) さらにAP=$\small\sf{\sqrt2}$ のとき、aの値を求めよ。
(３) (２)のとき、∠ABQを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
直線BQの方程式は $\scriptsize\sf{y=ax+a}$ なので、
$\scriptsize\sf{p_2=ap_1+a}$
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PQ^2=p_1^2+(p_2-a)^2=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_1^2+(ap_1)^2=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_1=\underline{\sqrt{\frac{2}{a^2+1}}\ \ (\gt 0)}\ ,\ \ \ p_2=\underline{a\left(\sqrt{\frac{2}{a^2+1}}+1\right)}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf QP=AP&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf p_1^2+(p_2-a)^2=p_1^2+(p_2-1)^2\\ &=\sf p_2=\frac{a+1}{2}\end{align*}}$
これと(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{a+1}{2}=a\left(\sqrt{\frac{2}{a^2+1}}+1\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{-a+1}{2a}=\sqrt{\frac{2}{a^2+1}} \end{align*}}$
両辺を2乗すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{-a+1}{2a}\right)^2=\frac{2}{a^2+1} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ a^4-2a^3-6a^2-2a+1=0\ \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (a+1)^2(a^2-4a+1)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=\underline{2-\sqrt3}\ \ \ \left(\because\ 0\lt a\lt 1\right)\end{align*}}$
(３)
(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf BA}=\left(1,1\right)\ ,\ \ \overrightarrow{\sf BQ}=\left(1,2-\sqrt3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf BA}|=\sqrt2\ ,\ \ |\overrightarrow{\sf BQ}|=\sqrt{1^2+(2-\sqrt3)^2}=2\sqrt{2-\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf BA}\cdot\overrightarrow{\sf BQ}=3-\sqrt3\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\angle ABQ&=\sf \frac{3-\sqrt3}{\sqrt2\cdot 2\sqrt{2-\sqrt3}} \\ &=\sf \frac{3-\sqrt3}{2(\sqrt3-1)}\\ &=\sf \frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle ABQ=\underline{\frac{\pi}{6}}\end{align*}}$
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第２問
次の問に答えよ。
(１) 透明な6枚の長方形の板に、次のように文字が書かれている。
A Ａ Ｄ Ｈ Ｉ Ｓ
そのすべてを横1列に並べる。ただし、たとえば 
のように表裏どちらに
なってもよいし、板のまわりに180度回転していてもよいとする。このとき、DAISHAとな
る確率を求めよ。
(２) 異なる4つの都市A、B、C、Dの間をn回渡り歩くとき、次の都市へは等確率で訪れる
ことにする。ただし、連続して同じ都市を訪れることはしない。都市Aから出発するとき、
k回（3≦k≦n）渡り歩いて初めてすべての都市を訪れる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
板の並べ方は次の4つの場合がある。
(a) 回転させずに表向きに置く
(b) 回転させずに裏向きに置く
(c) 180°回転させて表向きに置く
(d) 180°回転させて裏向きに置く
Dの板が正しくDに見えるのは(a)、(d)の置き方
Aの板が正しくAに見えるのは(a)、(b)の置き方
Iの板が正しくIに見えるのは(a)、(d)、(c)、(d)の置き方
Sの板が正しくSに見えるのは(a)、(c)の置き方
Hの板が正しくHに見えるのは(a)、(d)、(c)、(d)の置き方
よって、DAISHAとなる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{6}\cdot\frac{2}{4}\times\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{4}\times\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{4}\times\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{4}\times\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{4}\times 1\cdot\frac{2}{4}=\underline{\frac{1}{5760}}\end{align*}}$
(２)
B、C、Dのうち、k回目で初めて訪れる都市をXとし、
残り2つをY、Zとする。
初めのk-1回の移動は、A、Y、Zの3都市の間を移動すればよいが、
AとYの2都市間を移動する場合と、AとZの2都市間を移動する場合を除くと、
2k-1-2 通り
よって、Xの選び方は3通りあるので、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2^{k-1}-2}{3^k}\cdot 3=\underline{\frac{2^{k-1}-2}{3^{k-1}}}\end{align*}}$
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第３問
複素数平面において、次の問に答えよ。
(１) 異なる2点w1、w2を通る直線上の点zを媒介変数tを用いて表せ。
(２) (１)においてtを消去し、zと$\small\sf{\overline{z}}$ の関係式を求めよ．
(３) w1、w2を結ぶ線分の垂直二等分線を、$\small\sf{\alpha\ z+\beta\ \overline{z}=\gamma}$ の形で表せ。ただし、
$\small\sf{\alpha,\beta,\gamma}$ はw1、w2で表されるものとする。
(４) 実軸および虚軸上にない点A(w)と点B($\small\sf{\overline{w}}$ )について△OABの
外心に対応する複素数vを求めよ。ただし、Oは原点である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
3点w1、w2、zが同一直線上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle w_2w_1z=\arg\frac{z-w_1}{w_2-w_1}=0\ or\ \pi\end{align*}}$
なので、複素数$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{z-w_1}{w_2-w_1}\end{align*}}$ は実数となり、その値をtとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{z-w_1}{w_2-w_1}=t\ \ \cdots\cdots (*)\ \ \Leftrightarrow\ \ z=\underline{(1-t)w_1+tw_2}\end{align*}}$
(２)
(*)の共役複素数を考えると、tは実数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=\overline{\left(\frac{z-w_1}{w_2-w_1}\right)}=\frac{\overline{z}-\overline{w_1}}{\overline{w_2}-\overline{w_1}}\end{align*}}$
これと(*)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=\frac{z-w_1}{w_2-w_1}=\frac{\overline{z}-\overline{w_1}}{\overline{w_2}-\overline{w_1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{(\overline{w_1}-\overline{w_2})z-(w_1-w_2)\overline{z}=\overline{w_1}w_2-w_1\overline{w_2}}\end{align*}}$
(３)
垂直二等分線上の点zに関して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |z-w_1|=|z-w_2|&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf (z-w_1)(\overline{z}-\overline{w_1})=(z-w_2)(\overline{z}-\overline{w_2}) \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{(\overline{w_1}-\overline{w_2})z+(w_1-w_2)\overline{z}=w_1\overline{w_1}-w_2\overline{w_2}}\end{align*}}$
(４)
vは線分OAに垂直二等分線上にあるので、(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{w}v+w\overline{v}=w\overline{w}\end{align*}}$
また、vは実軸上の点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{v}=v \end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overline{w}v+wv=w\overline{w}\ \ \Leftrightarrow\ \ v=\underline{\frac{w\overline{w}}{w+\overline{w}}}\end{align*}}$
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第４問
次の極限値を求めよ。
(１) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{n+k}\end{align*}}$
(２) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^4}\sum_{k=0}^{n-1}k^2\sqrt{n^2-k^2}\end{align*}}$
(３) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{(2n)!}{n!\ n^n}\right)^{1/n}\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{n+k}&=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}} \\ &=\sf \int_0^1\frac{1}{1+x}dx\\ &=\sf \bigg[\log |1+x|\bigg]_0^1\\ &=\sf \underline{\log 2}\end{align*}}$
(２)
求める極限をLとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L&=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^4}\sum_{k=0}^{n-1}k^2\sqrt{n^2-k^2}\\ &=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{k}{n}\right)^2\sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^2}\\ &=\sf \int_0^1 x^2\sqrt{1-x^2}\ dx\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\sin\theta\ ,\ \ \frac{dx}{d\theta}=\cos\theta\end{align*}}$
と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L&=\sf \int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\sqrt{1-\sin^2\theta}\cdot \cos\theta\ d\theta \\ &=\sf \int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\cos^2\theta\ dx\\ &=\sf \frac{1}{4}\int_0^{\pi/2}\sin^2 2\theta d\theta\\ &=\sf \frac{1}{8}\int_0^{\pi/2}\left(1-\cos 4\theta\right) d\theta\\ &=\sf \frac{1}{8}\left[\theta-\frac{1}{4}\sin4\theta\right]_0^{\pi/2}\\ &=\sf \underline{\frac{\pi}{16}}\end{align*}}$
(３)
自然対数をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\log\left(\frac{(2n)!}{n!\ n^n}\right)^{1/n}&=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\frac{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}{n^n}\\ &=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\left(\frac{n+1}{n}\cdot\frac{n+2}{n}\cdot\cdots\cdot\frac{n+n}{n}\right)\\ &=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\left(\log\frac{n+1}{n}+\log\frac{n+2}{n}+\cdots\log\frac{n+n}{n}\right))\\ &=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log\frac{n+k}{n}\\ &=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log\left(1+\frac{k}{n}\right)\\ &=\sf \int_0^1\log (1+x)\\ &=\sf\bigg[(1+x)\log |1+x|-(1+x)\bigg]_0^1 \\ &=\sf 2\log 2-1\\ &=\sf \log\frac{4}{e}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{(2n)!}{n!\ n^n}\right)^{1/n}=e^{\log\frac{4}{e}}=\underline{\frac{4}{e}}\end{align*}}$
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- 2018/09/07(金) 23:57:00|
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