第1問 （理学部）
四角形ABCDにおいて、
$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf DA}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf AB}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf BC}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf d}=\overrightarrow{\sf CD}}$
として、ベクトル$\small\sf{\overrightarrow{\sf p}}$を
$\small\sf{\overrightarrow{\sf p}=|\overrightarrow{\sf d}|\overrightarrow{\sf a}+|\overrightarrow{\sf a}|\overrightarrow{\sf b}+|\overrightarrow{\sf b}|\overrightarrow{\sf c}+|\overrightarrow{\sf c}|\overrightarrow{\sf d}}$
で定める。以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\overrightarrow{\sf d}}$ を$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}}$ で表せ。
(2) 辺ADと辺BCは平行であるとする。$\small\sf{\overrightarrow{\sf p}=\overrightarrow{\sf 0}}$ は、四角形ABCDが平行四辺形で
あるための必要十分条件であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf d}&=\sf \overrightarrow{\sf CD} \\ &=\sf \overrightarrow{\sf CB}+\overrightarrow{\sf BA}+\overrightarrow{\sf AD}\\ &=\sf \underline{-\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf c}}\end{align*}}$
(2)
AD//BCより、負の実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf c}=k\overrightarrow{\sf a}}$ ･･････(*)
と表すことができる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}&=\sf |\overrightarrow{\sf d}|\overrightarrow{\sf a}+|\overrightarrow{\sf a}|\overrightarrow{\sf b}+|\overrightarrow{\sf b}|\overrightarrow{\sf c}+|\overrightarrow{\sf c}|\left(-\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf c}\right) \ \ \ \ \left(\because\ (1)\right)\\ &=\sf |\overrightarrow{\sf d}|\overrightarrow{\sf a}+|\overrightarrow{\sf a}|\overrightarrow{\sf b}+|\overrightarrow{\sf b}|k\overrightarrow{\sf a}+|k\overrightarrow{\sf a}|\left(-\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}-k\overrightarrow{\sf a}\right)\ \ \ \ \left(\because\ (*)\right)\\ &=\sf \left\{k\left(k+1\right)|\overrightarrow{\sf a}|+k|\overrightarrow{\sf b}|+|\overrightarrow{\sf d}|\right\}\overrightarrow{\sf a}+\left(k+1\right)|\overrightarrow{\sf a}|\overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf a}}$ と$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf b}}$ は一次独立なので、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\left(k+1\right)|\overrightarrow{\sf a}|=0}$
であり、$\scriptsize\sf{|\overrightarrow{\sf a}|\ne 0}$なので、k=-1である。
このとき、
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf c}=-\overrightarrow{\sf a}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf BC}=\overrightarrow{\sf AD}}$
となるので、四角形ABCDは平行四辺形である。
逆に、四角形ABCDが平行四辺形であるとき、
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf BC}=\overrightarrow{\sf AD}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf c}=-\overrightarrow{\sf a}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf CD}=\overrightarrow{\sf BA}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf d}=-\overrightarrow{\sf b}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf p}&=\sf |\overrightarrow{\sf -b}|\overrightarrow{\sf a}+|\overrightarrow{\sf a}|\overrightarrow{\sf b}+|\overrightarrow{\sf b}|\left(-\overrightarrow{\sf a}\right)+|-\overrightarrow{\sf a}|\left(-\overrightarrow{\sf b}\right) \\ &=\sf |\overrightarrow{\sf b}|\overrightarrow{\sf a}+|\overrightarrow{\sf a}|\overrightarrow{\sf b}-|\overrightarrow{\sf b}|\overrightarrow{\sf a}-|\overrightarrow{\sf a}|\overrightarrow{\sf b}\\ &=\sf \overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
が成り立つ。
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第２問 （理学部）
1から5までの番号がつけられた5枚のカードが箱に入っている。1枚のカードを取り出し、
カードの番号が奇数のときは箱に戻し、偶数のときは箱へ戻さない。この試行を3回繰り
返す。以下の問いに答えよ。
(１) 2回目の試行の後、箱の中のカードが4枚である確率を求めよ。
(２) 3回目の試行で取り出したカードの番号が3である確率を求めよ。
(３) 3回目の試行で取り出したカードの番号が3であるとき、1回目の試行で取り出した
カードの番号も3である確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
以下、n回目の試行で取り出したカードの数をanと表す。
(１)
次の2つの場合が考えられる。
・a1が奇数、 a2が偶数
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3}{5}\times\frac{2}{5}=\frac{6}{25}\end{align*}}$
・a1が偶数、 a2が奇数
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{5}\times\frac{3}{4}=\frac{3}{10}\end{align*}}$
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{6}{25}+\frac{3}{10}=\underline{\frac{27}{50}}\end{align*}}$
(２)
次の4つの場合が考えられる。
・a1が奇数、 a2が奇数、a3=3
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3}{5}\times\frac{3}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{9}{125}\end{align*}}$
・a1が奇数、 a2が偶数、a3=3
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3}{5}\times\frac{2}{5}\times\frac{1}{4}=\frac{3}{50}\end{align*}}$
・a1が偶数、 a2が奇数、a3=3
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{5}\times\frac{3}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{3}{40}\end{align*}}$
・a1が偶数、 a2が偶数、a3=3
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{5}\times\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{30}\end{align*}}$
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{9}{125}+\frac{3}{50}+\frac{3}{40}+\frac{1}{30}=\underline{\frac{721}{3000}}\end{align*}}$
(３)
1回目と3回目がともに3になるのは、次の2つの場合が考えられる。
・a1=3、 a2が奇数、a3=3
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{5}\times\frac{3}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{3}{125}\end{align*}}$
・a1=3、 a2が偶数、a3=3
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{5}\times\frac{2}{5}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{50}\end{align*}}$
よって、求める条件付き確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\frac{3}{125}+\frac{1}{50}}{\frac{721}{3000}}=\underline{\frac{132}{721}}\end{align*}}$
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- 2018/07/17(火) 23:57:00|
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第３問 （理学部）
関数f(x)=x-1-logx （x＞0）のグラフをCとする。C上の点(p，p-1-logp)
における接線をLとし、Lとx軸の交点のx座標をrとする。ただしp＞1とする。
以下の問いに答えよ。
(１) 関数f(x)の増減、極値、およびグラフの凹凸を調べ、Cの概形をかけ。ただし
$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=\infty\end{align*}}$ であることは用いてよい。
(２) Lの方程式を求めよ。
(３) rをpを用いて表せ。
(４) CとL、およびx軸で囲まれる図形の面積をSとする。Sをpを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
f(x)の第1次および第2次導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'\left(x\right)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f''\left(x\right)=\frac{1}{x^2}\gt 0 \end{align*}}$
これらより、f(x)の増減およびグラフの凹凸、Cの概形は次のようになる。
(２)
接線Lの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y-\left(p-1-\log p\right)=\frac{p-1}{p}\left(x-p\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{y=\frac{p-1}{p}x-\log p} \end{align*}}$
(３)
Lのx切片rは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0=\frac{p-1}{p}x-\log p\ \ \Leftrightarrow\ \ r=\underline{\frac{p\log p}{p-1}} \end{align*}}$
(４)
p＞1より、C、L、x軸の位置関係は下図のようになるので、
これらで囲まれる部分の面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_1^p\left(x-1\log x\right)dx-\frac{1}{2}\left(p-r\right)\left(p-1-\log p\right) \\ &=\sf \left[\frac{1}{2}x^2-x-\left(x\log x-x\right)\right]_1^p-\frac{1}{2}\left(p-\frac{p\log p}{p-1}\right)\left(p-1-\log p\right)\\ &=\sf \underline{\frac{p-1}{2}-\frac{p\left(\log p\right)^2}{2\left(p-1\right)}}\end{align*}}$
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- 2018/07/18(水) 23:57:00|
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第４問 （生活環境学部）
座標平面上に3点O(0，0)、A(1，0)、B(0，1)をとり、線分AB、OB、OA上に、
それぞれ点C、D、Eを∠AOC=∠BAD=∠OBE=$\small\sf{\theta}$ となるようにとる。ただし
0°＜$\small\sf{\theta}$ ＜45°とする。また、線分OCと線分BEの交点をP、線分OCと線分ADの交点
をQとし、t=tan$\small\sf{\theta}$ とする。以下の問いに答えよ。
(１) PおよびQの座標をtを用いて表せ。
(２) Pが線分OCをs：(1-s)に内分するとき、Qのx座標をsで表せ。ただし0＜s＜1
とする。
(３) Pが線分OCを3：2に内分するとき、QはPと一致することを示せ。また、そのときの
tの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
OCの方程式はy=tx
BEの傾きは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\tan\left(90^{\circ}-\theta\right)=-\frac{1}{\tan\theta}=-\frac{1}{t}\end{align*}}$
なので、BEの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=-\frac{1}{t}x+1 \end{align*}}$
これらを連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf tx=-\frac{1}{t}x+1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{t}{1+t^2} \end{align*}}$
となるので、Pの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\left(\frac{t}{1+t^2},\frac{t^2}{1+t^2}\right)} \end{align*}}$
一方、ADの傾きは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\tan\left(45^{\circ}-\theta\right)&=\sf -\frac{\tan45^{\circ}-\tan\theta}{1+\tan 45^{\circ}\tan\theta} \\ &=\sf -\frac{1-t}{1+t} \end{align*}}$
なので、ADの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=-\frac{1-t}{1+t}\left(x-1\right) \end{align*}}$
これとOCの式を連立させると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1-t}{1+t}\left(x-1\right)=tx\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{1-t}{1+t^2} \end{align*}}$
となるので、Qの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\left(\frac{1-t}{1+t^2},\frac{t\left(1-t\right)}{1+t^2}\right)} \end{align*}}$
(２)
ABの方程式は$\scriptsize\sf{y=-x+1}$なので、Cのx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -x+1=tx\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{1}{1+t} \end{align*}}$
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OP:OC=s:1=\frac{t}{1+t^2}:\frac{1}{1+t} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s=\frac{t+t^2}{1+t^2}=1-\frac{1-t}{1+t^2} \end{align*}}$ ･･････(*)
となるので、Qのx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1-t}{1+t^2}=\underline{1-s} \end{align*}}$
(３)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s:\left(1-s\right)=3:2\ \ \Leftrightarrow\ \ s=\frac{3}{5}\end{align*}}$
なので、(*)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3}{5}=\frac{t+t^2}{1+t^2} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2t^2+5t-3=\left(2t-1\right)\left(t+3\right)=0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{1}{2}\ \ \ \left(\because\ 0\lt t\lt 1\right) \end{align*}}$
となるので、Pのx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\frac{1}{2}}{1+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{2}{5} \end{align*}}$
一方、(２)よりQのx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5} \end{align*}}$
となるので、同一線分上にある2点P、Qは一致する。
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- 2018/07/19(木) 23:57:00|
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第５問 （生活環境学部）
以下の問いに答えよ。
(１) 2つの不等式3x+y≧36とx2+y≦36を同時にみたす自然数の組(x，y)
の個数を求めよ。
(２) nを自然数とする。2つの不等式nx+y≧4n2とx2+y≦4n2を同時にみたす
自然数の組(x，y)の個数をnを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(２)
直線 $\scriptsize\sf{y=-nx+4n^2}$ と放物線$\scriptsize\sf{y=-x^2+4n^2}$ の共有点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -nx+4n^2=-x^2+4n^2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2-nx=\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=0,\ n \end{align*}}$
であり、2つの不等式の表す領域は下図のようになる。
この領域内にある格子点でx=k （1≦k≦n）であるものの個数は
$\scriptsize\sf{\left(-k^2+4n^2\right)-\left(-nk+4n^2\right)+1=-k^2+nk+1}$ 個
なので、格子点の総数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^n\left(-k^2+nk+1\right)&=\sf -\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)+n\cdot\frac{1}{2}n\left(n+1\right)+n\\ &=\sf \frac{1}{6}n^3+\frac{5}{6}n+1\\ &=\sf \underline{\frac{1}{6}n\left(n^2+5\right)}\end{align*}}$
(１)
(２)において、n=3のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{6}\cdot 3\cdot\left(3^2+5\right)=\underline{7} \end{align*}}$ 個
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- 2018/07/20(金) 23:57:00|
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第６問 （生活環境学部）
以下の問いに答えよ。
(１) 連続した6個の自然数のうち、6と互いに素であるものがちょうど2個あることを示せ。
(２) (１)で存在することを示した2個の自然数は互いに素であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
6連続の自然数には、6で割った余りが0，1，2，3，4，5となる数がそれぞれ1つずつある。
このうち、6と互いに素なものは、6で割った余りが1のものと5のものの2個である。
(２)
6連続の自然数のうち、6で割った余りが1のものをa、6で割った余りが5のものをbとおく。
a＞bのとき、a-b=2なので、aとbの最大公約数は、aと2の最大公約数である1に等しい。
よって、aとbは互いに素である。
a＜bのとき、b-a=4なので、aとbの最大公約数は、aと4の最大公約数である1に等しい。
よって、aとbは互いに素である。
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- 2018/07/21(土) 23:57:00|
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