第１問
xyz空間内の3点A(0，0，6)、B(2，-3，-5 )、C (-1，1，3) を考える。
次の条件を満たす点Pを求めよ。
条件：点Pは2点D(0，5，0)、E$\small\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{5}{2},0,0\right)\end{align*}}$ を通る直線DEの上にあり、
直線ABと直線CPは1点で交わる。
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【解答】
2直線AB、CPが1点で交わるので、4点A、B、C、Pは同一平面上にある必要がある。
よって、実数s、tを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AP}=s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OP}&=\sf \overrightarrow{\sf OA}+s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf AC} \\ &=\sf \left(0,0,6\right)+s\left(2,-3,-5\right)+t\left(-1,1,-3\right)\\ &=\sf \left(2s-t,-3s+t,-11s-3t+6\right)\end{align*}}$
と表すことができる。
一方、Pは直線DE上にあるので、実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf DP}=k\overrightarrow{\sf DE} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(2s-t,-3s+t-5,-11s-3t+6\right)=\left(\frac{5}{2}k,-5k,0\right)\end{align*}}$
成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2s-t=\frac{5}{2}k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -3s+t-5=-5k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -11s-3t+6=0\end{align*}}$
となり、これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s=\frac{2}{3}\ ,\ \ t=-\frac{7}{2}\ ,\ \ k=\frac{13}{5}\end{align*}}$
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}=\left(\frac{13}{2},-8,0\right)\ ,\ \ \overrightarrow{\sf CP}=\left(\frac{15}{2},-9,-3\right)\end{align*}}$
となるので、2直線AB、CPは平行ではない。
以上より、条件を満たす点Pの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{P\left(\frac{13}{2},-8,0\right)}\end{align*}}$
である。
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第２問
関数$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\log (x^2+2)\end{align*}}$ を考える。ただし、対数は自然対数である。
(１) 関数f(x)の増減を調べ、極値を求めよ。またxy平面上の曲線y=f(x)の
凹凸を調べ、変曲点を求めよ。
(２) 正の実数xに対して、不等式
$\small\sf{\begin{align*}\sf \log 2\lt f(x)\lt \log 2+\frac{x^2}{2}\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(３) aを正の実数とする。xy平面上の曲線$\small\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{f(x)}{x}\end{align*}}$ とx軸および2直線x=a、
x=3aで囲まれた図形の面積をS(a)とする。極限$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{a\rightarrow +0}S(a)\end{align*}}$ を求めよ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=\frac{2x}{x^2+2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f''(x)=\frac{2\left(x^2+2\right)-2x\cdot 2x}{\left(x^2+2\right)^2}=-\frac{2\left(x^2-2\right)}{\left(x^2+2\right)^2}\end{align*}}$
これらより、f(x)の増減および凹凸は次のようになる。
よって、f(x)はx=0で極小値$\scriptsize\sf{\underline{\log 2}}$ をとり、
曲線y=f(x)の変曲点は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\left(\pm\sqrt2\ ,\ \log 4\right)}\end{align*}}$ である。
(２)
(１)より、x＞0のとき$\scriptsize\sf{\log 2\lt f(x)}$ が成り立つ。
ここで、関数$\scriptsize\sf{g(x)}$ を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)=\log 2+\frac{x^2}{2}-f(x)\ \ \ \left(x\gt 0\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g'(x)=x-\frac{2x}{x^2+2}=\frac{x^3}{x^2+2}\gt 0 \end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{g(x)}$ は単調に増加する。
このことと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow +0}g(x)=0\end{align*}}$
より、$\scriptsize\sf{g(x)}$ ＞0が成り立つ。
以上より、x＞0のとき不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log 2\lt f(x)\lt \log 2+\frac{x^2}{2}\end{align*}}$
が成り立つ。
(３)
0＜a≦x≦3aの範囲で常に $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{f(x)}{x}\gt 0\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S(a)=\int_a^{3a}\frac{f(x)}{x}dx\end{align*}}$
一方、(２)より、0＜a≦x≦3aの範囲で常に
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\log 2}{x}\lt\frac{f(x)}{x}\lt\frac{\log 2}{x}+\frac{x}{2}\end{align*}}$
が成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_a^{3a}\frac{\log 2}{x}dx\lt\int_a^{3a}\frac{f(x)}{x}dx\lt\int_a^{3a}\left\{\frac{\log 2}{x}+\frac{x}{2}\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \int_a^{3a}\frac{\log 2}{x}dx\lt S(a)\lt\int_a^{3a}\frac{\log 2}{x}dx+\int_a^{3a}\frac{x}{2}dx\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{a\rightarrow +0}\int_a^{3a}\frac{x}{2}dx&=\sf \lim_{a\rightarrow +0}\left[\frac{x^2}{4}\right]_a^{3a} \\ &=\sf \lim_{a\rightarrow +0}2a^2\\ &=\sf 0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{a\rightarrow +0}S(a)&=\sf\lim_{a\rightarrow +0}\int_a^{3a}\frac{\log 2}{x}dx \\ &=\sf\lim_{a\rightarrow +0}\bigg[(\log 2)\log|x|\bigg]_a^{3a}\\ &=\sf\lim_{a\rightarrow +0}\left(\log 2\right)\left(\log 3a-\log a\right) \\ &=\sf \underline{\log 2\cdot\log 3}\end{align*}}$
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第３問
不定積分
$\small\sf{\int \left\{\log (3+\cos^2\theta)\right\}\cos\theta d\theta }$
を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。
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【解答】
求める不定積分を $\scriptsize\rm{I}$ とすると、$\scriptsize\sf{\cos^2\theta=1-\sin^2\theta}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\rm I&=\sf\int\left\{\log (3+\cos^2\theta)\right\}\cos\theta d\theta \\ &=\sf \int\left\{\log (4-\sin^2\theta)\right\}\cos\theta d\theta\\ &=\sf \int\left\{\log (2-\sin\theta)+\log (2+\sin\theta)\right\}\cos\theta d\theta\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{t=\sin\theta}$ と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{dt}{d\theta}=\cos\theta\end{align*}}$
なので、Cを積分定数として
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\rm I &=\sf\int\left\{\log(2-t)+\log(2+t)\right\}dt \\ &=\sf -(2-t)\log(2-t)+(2+t)\log(2+t)+\int (2-t)\cdot\frac{-1}{2-t}dt-\int (2+t)\cdot\frac{1}{2+t}dt\\ &=\sf -(2-t)\log(2-t)+(2+t)\log(2+t)-\int dt-\int dt\\ &=\sf -(2-t)\log(2-t)+(2+t)\log(2+t)-2t+C\\ &=\sf \underline{(\sin\theta-2)\log(2-\sin\theta)+(2+\sin\theta)\log(2+\sin\theta)-2\sin\theta+C}\end{align*}}$
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第４問
Nは3以上の自然数とする。次の問いに答えよ。
(１) 3、5、8から重複を許してN個取って並べる順列a1，a2，･･･，aN-1，aNのうち、
等式$\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{n=1}^Na_n=3N+2\end{align*}}$ を満たすものは何通りあるか。
(２) 3、5、8から重複を許してN個取って並べる順列a1，a2，･･･，aN-1，aNのうち、
不等式$\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{n=1}^Na_n\leq 3N+5\end{align*}}$ を満たすものは何通りあるか。
(３) 3、5、8から重複を許してN個取って並べる順列a1，a2，･･･，aN-1，aNのうち、
次の2つの不等式をともに満たすものは何通りあるか。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{n=1}^{N-1}a_n\leq 3N+1\ ,\ \ \sum_{n=1}^Na_n\geq 3N+6\end{align*}}$
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【解答】
3、5、8の項の個数をそれぞれp、q、rとし、項の和を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_{N}=\sum_{n=1}^Na_n=3p+5q+8r\end{align*}}$
とおく。
(１)
SN=3N+2となるのは、(p，q，r)=(N-1，1，0)のときのみなので、
順序も考慮に入れると、N通り
(２)
SN=3Nとなるのは、(p，q，r)=(N，0，0)の1通り
SN=3N+1となることはない。
SN=3N+2となるのは、(１)よりN通り
SN=3N+3となることはない。
SN=3N+4となるのは、(p，q，r)=(N-2，2，0)のときで、順序も考慮に入れると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf _NC_2=\frac{1}{2}N(N-1)\end{align*}}$ 通り
SN=3N+5となるのは、(p，q，r)=(N-1，0，1)のときで、順序も考慮に入れるとN通り
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1+N+\frac{1}{2}N(N-1)+N=\sf \underline{\frac{1}{2}N^2+\frac{3}{2}N+1}\end{align*}}$ 通り
(３)
(p，q，r)=(N-2，1，0)のとき、SN-1=3N-1であり、
このとき、aN=8ならば、SN=3N+7となる。
(p，q，r)=(N-3，2，0)のとき、SN-1=3N+1であり、このとき、
aN=8ならば、SN=3N+9
aN=5ならば、SN=3N+6
となる。
以上より、求める場合の数は、順序も考慮に入れると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf _{N-1}C_1+_{N-1}C_2\cdot 2&=\sf (N-1)+\frac{1}{2}N(N-1)\cdot 2 \\ &=\sf \underline{N^2-2N+1}\end{align*}}$
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- 2018/08/21(火) 23:57:00|
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