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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2003大阪大 文系数学1



第1問
  平面ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}=(p_1\ ,\ p_2)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf q}=(q_1\ ,\ q_2)\end{align*}}$ に対して、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \{\overrightarrow{\sf p}\ ,\ \overrightarrow{\sf q}\}=p_1\ q_2+p_2\ q_1\end{align*}}$
  と定める。

 (1) 平面ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ に対して、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \{\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\}=L\ \ ,\ \ \{\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\}=m\ \ ,\ \ \{\overrightarrow{\sf c}\ ,\ \overrightarrow{\sf a}\}=n\end{align*}}$
  とするとき、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf L\overrightarrow{\sf c}+m\overrightarrow{\sf a}+n\overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
  が成り立つことを示せ。

 (2) (1)でL、m、nがすべて正であるとする。このとき任意の
    平面ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$ は0以上の実数r、s、tを用いて、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}=r\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
    と表すことができることを示せ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2012/02/21(火) 23:51:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 文系 2003
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2003大阪大 文系数学2



第2問

  自然数mに対して、mの相異なる素因数をすべてかけあわせた
  ものをf(m)で表すことにする。たとえばf(72)=6である。
  ただしf(1)=1とする。

 (1) m、nを自然数、dをm、nの最大公約数とするとき、
        f(d)f(mn)=f(m)f(n)
    となることを示せ。

 (2) 2つの箱A、Bのそれぞれに1番から10番までの番号札が
    1枚ずつ10枚入っている。箱A、Bから1枚ずつ札を取り出す。
    箱Aから取り出した札の番号をm、箱Bから取り出した札の
    番号をnとするとき、
         f(mn)=f(m)f(n)
    となる確率p1と、
         2f(mn)=f(m)f(n)
    となる確率p2を求めよ。



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  1. 2012/02/21(火) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 文系 2003
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2003大阪大 文系数学3



第3問

  放物線$\small\sf{\sf C:\ y=-x^2+2x+1}$ とx軸の共有点をA(a,0)、B(b,0)とし、
  Cと直線y=mxの共有点を$\small\sf{\sf P(\alpha\ ,\ m\alpha)\ ,\ Q(\beta,\ m\beta)}$ 、原点をOとする。
  ただし、$\small\sf{\sf a\lt b\ ,\ m\ne 0\ ,\ \alpha\lt\beta}$ とする。線分OP、OAとCで囲まれた図形
  の面積と線分OQ、OBとCで囲まれた図形の面積が等しいときmの値を
  求めよ。



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  1. 2012/02/21(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 文系 2003
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