第1問
平面ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}=(p_1\ ,\ p_2)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf q}=(q_1\ ,\ q_2)\end{align*}}$ に対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \{\overrightarrow{\sf p}\ ,\ \overrightarrow{\sf q}\}=p_1\ q_2+p_2\ q_1\end{align*}}$
と定める。
(1) 平面ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ に対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \{\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\}=L\ \ ,\ \ \{\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\}=m\ \ ,\ \ \{\overrightarrow{\sf c}\ ,\ \overrightarrow{\sf a}\}=n\end{align*}}$
とするとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf L\overrightarrow{\sf c}+m\overrightarrow{\sf a}+n\overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(2) (1)でL、m、nがすべて正であるとする。このとき任意の
平面ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$ は0以上の実数r、s、tを用いて、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}=r\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
と表すことができることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=(a_1\ ,\ a_2)\ ,\ \overrightarrow{\sf b}=(b_1\ ,\ b_2)\ ,\ \overrightarrow{\sf c}=(c_1\ ,\ c_2)\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\sf L=a_1b_2-a_2b_1}$
$\scriptsize\sf{\sf m=b_1c_2-b_2c_1}$
$\scriptsize\sf{\sf n=c_1a_2-c_2a_1}$
となるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L\overrightarrow{\sf c}+m\overrightarrow{\sf a}+n\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を成分別に計算すると、
x成分
$\scriptsize\sf{\sf =(a_1b_2-a_2b_1)c_1+(b_1c_2-b_2c_1)a_1+(c_1a_2-c_2a_1)b_1}$
$\scriptsize\sf{\sf =a_1b_2c_1-a_2b_1c_1+a_1b_1c_2-a_1b_2c_1+a_2b_1c_1-a_1b_1c_2}$
$\scriptsize\sf{\sf =0}$
y成分
$\scriptsize\sf{\sf =(a_1b_2-a_2b_1)c_2+(b_1c_2-b_2c_2)a_1+(c_1a_2-c_2a_1)b_2}$
$\scriptsize\sf{\sf =a_1b_2c_2-a_2b_1c_2+a_1b_1c_2-a_1b_2c_2+a_2b_2c_1-a_1b_2c_2}$
$\scriptsize\sf{\sf =0}$
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L\overrightarrow{\sf c}+m\overrightarrow{\sf a}+n\overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
(1)は計算するだけですが、(2)がタイヘンでしょうね＾＾；；
(2)
「任意の平面ベクトル $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$ は0以上の実数r、s、tを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}=r\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ と表すことができる」････(※)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=0\end{align*}}$ のときは、
$\scriptsize\sf{\sf a_1=a_2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ L=a_1b_2-a_2b_1=0}$
となり、Lが正であることに反するので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|\ne 0\end{align*}}$
他についても同様に、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf b}|\ne 0\ ,\ \ |\overrightarrow{\sf c}|\ne 0\end{align*}}$である。
また、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ が平行のときは、
$\scriptsize\sf{\sf a_1:\ a_2=b_1:\ b_2\ \ \Leftrightarrow\ \ L=a_1b_2-a_2b_1=0}$
となり、Lが正であることに反するので、平行にはなりえない。
他についても同様に考えると、3つのベクトル $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
はどの2つも平行にならない。
よって、平面上の任意のベクトル $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$ は、実数r’、s’を用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}=r'\ \overrightarrow{\sf a}+s'\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ ････①
と表すことができる。
(ア) $\scriptsize\sf{\sf r'\geqq ≧0\ ,\ s'\geqq 0}$ のとき
①より、$\scriptsize\sf{\sf r=r'\ ,\ s=s'\ ,\ t=0}$ とおくと、
条件(※)を満たすことになる。
(イ)$\scriptsize\sf{\sf r'\lt 0\ ,\ s'\gt 0}$ のとき
L、m、n＞0なので、(1)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\overrightarrow{\sf a}=\frac{n}{m}\ \overrightarrow{\sf b}+\frac{L}{m}\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
と変形でき、これを①に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}=-r'\ \left(\frac{n}{m}\ \overrightarrow{\sf b}+\frac{L}{m}\ \overrightarrow{\sf c}\right)+s'\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\cdot\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{m}\left(ms'-nr'\right)\overrightarrow{\sf b}-\frac{Lr'}{m}\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ ････②
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=0\ \ ,\ \ s=\frac{1}{m}\left(ms'-nr'\right)\ \ ,\ \ t=-\frac{Lr'}{m}\end{align*}}$
とおくと、$\scriptsize\sf{\sf L\ ,\ m\ ,\ n\ ,\ s'\gt 0\ ,\ r'\lt 0}$ なので、
$\scriptsize\sf{\sf r,\ s,\ t\geqq 0}$ となり、(※)を満たす。
(ウ) $\scriptsize\sf{\sf r'\gt 0\ ,\ s'\lt 0}$ のとき
(イ)と同様に(1)を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}=\frac{1}{n}\left(nr'-ms'\right)\overrightarrow{\sf a}+0\cdot\overrightarrow{\sf b}-\frac{Ls'}{n}\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ ････③
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{1}{n}\left(nr'-ms'\right)\ \ ,\ \ s=0\ \ ,\ \ t=-\frac{Ls'}{n}\end{align*}}$
とおくと、(※)を満たす。
(エ)$\scriptsize\sf{\sf r'\lt 0\ ,\ s'\lt 0}$ のとき
$\scriptsize\sf{\sf ms'-nr'}$ と$\scriptsize\sf{\sf nr'-ms'}$ のうち少なくとも一方は0以上になる。
(ⅰ) $\scriptsize\sf{\sf ms'-nr'\geqq 0}$ のとき
②式で、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=0\ \ ,\ \ s=\frac{1}{m}\left(ms'-nr'\right)\ \ ,\ \ t=-\frac{Lr'}{m}\end{align*}}$
とおくと(※)を満たす。
(ⅱ)$\scriptsize\sf{\sf nr'-m'\geqq 0}$ のとき
③式で、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{1}{n}\left(nr'-ms'\right)\ \ ,\ \ s=0\ \ ,\ \ t=-\frac{Ls'}{n}\end{align*}}$
とおくと、(※)を満たす。
以上より、題意は示された。
いやぁ、難しいですねぇ。誰も手が出なかったんじゃないですかね＾＾；；？
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- 2012/02/21(火) 23:51:00|
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第2問
自然数mに対して、mの相異なる素因数をすべてかけあわせた
ものをf(m)で表すことにする。たとえばf(72)=6である。
ただしf(1)=1とする。
(1) m、nを自然数、dをm、nの最大公約数とするとき、
f(d)f(mn)=f(m)f(n)
となることを示せ。
(2) 2つの箱A、Bのそれぞれに1番から10番までの番号札が
1枚ずつ10枚入っている。箱A、Bから1枚ずつ札を取り出す。
箱Aから取り出した札の番号をm、箱Bから取り出した札の
番号をnとするとき、
f(mn)=f(m)f(n)
となる確率p1と、
2f(mn)=f(m)f(n)
となる確率p2を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
(ア)d≠1のとき
dがk個の異なる素因数d1、d2、･･･、dkをもつとすると、
f(d)=d1d2･･･dk
次に、mがd1、d2、･･･、dk以外にM個の異なる素因数
m1、m2、･･･、mMをもつとすると、
f(m)=d1d2･･･dk・m1m2･･･mM
となる。m=dのときは、f(m)=f(d)である。
同様に、nがd1、d2、･･･、dk以外にN個の異なる素因数
n1、n2、･･･、nNをもつとすると、
f(n)=d1d2･･･dk・n1n2･･･nN．
ただし、n1、n2、･･･、nNはm1、m2、･･･、mMのいずれ
とも異なる。また、n=dのときはf(n)=f(d)となる。
このとき、積mnは、k+M+N個の異なる素因数
d1、d2、･･･、dk、m1、m2、･･･、mM、n1、n2、･･･、nN
をもつことになるので、
f(mn)=d1d2･･･dk･m1m2･･･mM･n1n2･･･nN
以上より、
f(m)f(n)=(d1･･･dk･m1･･･mM)(d1･･･dk･n1･･･nN)
=(d1･･･dk)(d1･･･dk･m1･･･mM･n1･･･nN)
=f(d)f(mn)
(イ)d=1のとき
mの互いに異なる素因数をm1、m2、･･･、mM、
nの互いの異なる素因数をn1、n2、･･･、nN とすると、
d=1なので、これらM+N個の数はすべて異なる。
このとき、
f(m)=m1m2･･･mM
f(n)=n1n2･･･nN
f(mn)=m1m2･･･mM･n1n2･･･nN
であり、f(1)=1なので、
f(d)f(mn)=f(m)f(n)
(2)
2数m、nの決め方は、102=100通り。
それぞれのm、nに対して最大公約数を書き挙げたものが
下の表である。
| m＼n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 |
| 3 | 1 | 1 | 3 | 1 | 1 | 3 | 1 | 1 | 3 | 1 |
| 4 | 1 | 2 | 1 | 4 | 1 | 2 | 1 | 4 | 1 | 2 |
| 5 | 1 | 1 | 1 | 1 | 5 | 1 | 1 | 1 | 1 | 5 |
| 6 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 6 | 1 | 2 | 3 | 2 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 7 | 1 | 1 | 1 |
| 8 | 1 | 2 | 1 | 4 | 1 | 2 | 1 | 4 | 1 | 2 |
| 9 | 1 | 1 | 3 | 1 | 1 | 3 | 1 | 1 | 9 | 1 |
| 10 | 1 | 2 | 1 | 2 | 5 | 2 | 1 | 2 | 1 | 10 |
f(mn)=f(m)f(n)となるのは、(1)より
f(d)=1すなわち、d=1のときである。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p_1=\frac{63}{100}\ \ }\end{align*}}$
2f(mn)=f(m)f(n)となるのは、(1)より
f(d)=2すなわち、d=2、4、8のときである。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p_2=\frac{23}{100}\ \ }\end{align*}}$
全部書き出せば数えるだけです。
手つかずの問題がいっぱいあって、時間をもてあましてるでしょ(笑)
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- 2012/02/21(火) 23:54:00|
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第3問
放物線$\small\sf{\sf C:\ y=-x^2+2x+1}$ とx軸の共有点をA(a，0)、B(b，0)とし、
Cと直線y=mxの共有点を$\small\sf{\sf P(\alpha\ ,\ m\alpha)\ ,\ Q(\beta,\ m\beta)}$ 、原点をOとする。
ただし、$\small\sf{\sf a\lt b\ ,\ m\ne 0\ ,\ \alpha\lt\beta}$ とする。線分OP、OAとCで囲まれた図形
の面積と線分OQ、OBとCで囲まれた図形の面積が等しいときmの値を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
Cとx軸の交点を求める。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -x^2+2x+1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=1\pm\sqrt2\end{align*}}$
これらが$\scriptsize\sf{\sf a,\ b\ （a\lt b)}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=1-\sqrt2\ \ (<0)\ \ ,\ \ b=1+\sqrt2\ \ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b-a=2\sqrt2\end{align*}}$ ････①
Cと直線y=mxの交点を求める。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -x^2+2x+1=mx\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{2-m\pm\sqrt{(m-2)^2+4}}{2}\end{align*}}$
これらが$\scriptsize\sf{\alpha,\ \beta\ \ (\alpha\lt\beta)}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \beta-\alpha=\sqrt{(m-2)^2+4}\end{align*}}$ ････②
線分OP、OAとCで囲まれた図形の面積(青色部分)をS1、
線分OQ、OBとCで囲まれた図形の面積(赤色部分)をS2、
直線y=mx、x軸とCで囲まれた図形の面積(緑色部分)をSとすると、
$\scriptsize\sf{\sf S_1=S_2\ \ \Leftrightarrow\ \ S_1+S=S_2+S}$
なので、
Cとx軸で囲まれる部分の面積 = Cとy=mxで囲まれる部分の面積
となる。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_a^b\ \left(-x^2+2x+1\right)\ dx=\int^{\beta}_{\alpha}\left(-x^2+2x+1-mx\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{6}\left(b-a\right)^3=\frac{1}{6}\left({\beta}-{\alpha}\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \left(2\sqrt2\right)^3=\left(\sqrt{(m-2)^2+4}\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ 8=(m-2)^2+4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ m=0\ ,\ 4\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\sf m\ne 0}$ なので、$\scriptsize\sf{\sf \underline{m=4}}$
これは唯一完答できそうですね。
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- 2012/02/21(火) 23:57:00|
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