第１問
xy平面上の曲線C1： y=logx （x＞0）と曲線C2： y=$\small\sf{\frac{1}{2}}$ (logx)2-4 （x＞0）
を考える。ただし、logxはxの自然対数を表す。
(１) C1とC2の共有点をすべて求めよ。
(２) C2の接線で原点を通るものをすべて求めよ。
(３) C1とC2で囲まれた図形の面積を求めよ。
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【解答】
(１)
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log x=\frac{1}{2}\left(\log x\right)^2-4&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(\log x\right)^2-2\log x-8=\left(\log x-4\right)\left(\log x+2\right)=0 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(y=\right)\log x=4\ ,\ -2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=e^4\ ,\ e^{-2}\end{align*}}$
なので、2曲線の交点の座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\left(e^4\ ,\ 4\right)\ ,\ \ \left(e^{-2}\ ,-2\right)} \end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left\{\frac{1}{2}\left(\log x\right)^2-4\right\}'=\frac{1}{x}\log x\end{align*}}$
なので、C2上のx=tの点における接線の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y-\left\{\frac{1}{2}\left(\log t\right)^2-4\right\}=\left(\frac{1}{t}\log t\right)\left(x-t\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\left(\frac{1}{t}\log t\right)x+\frac{1}{2}\left(\log t\right)^2-\log t-4\end{align*}}$
これが原点を通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0=\frac{1}{2}\left(\log t\right)^2-\log t-4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log t=4\ ,\ -2 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=e^4\ ,\ e^{-2} \end{align*}}$
よって、求める接線の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{y=\frac{4}{e^4}x\ ,\ \ y=-2e^2x}\end{align*}}$
(３)
求める面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\int_{e^{-2}}^{e^4}\left\{\log x-\frac{1}{2}\left(\log x\right)^2+4\right\} \end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{u=\log x}$ と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{du}{dx}=\frac{1}{x}=\frac{1}{e^u}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_{-2}^4\left(-\frac{1}{2}u^2+u+4\right)e^udu \\ &=\sf \left[\left(-\frac{1}{2}u^2+u+4\right)e^u\right]_{-2}^4-\int_{-2}^4\left(-u+1\right)e^udu\\ &=\sf 0-\left[\left(-u+1\right)e^u\right]_{-2}^4+\int_{-2}^4\left(-e^u\right)du\\ &=\sf \left[\left(u-2\right)e^u\right]_{-2}^4\\ &=\sf \underline{2e^4+4e^{-2}}\end{align*}}$
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- 2018/07/12(木) 23:57:00|
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第２問
(１) rを正の実数とし、$\small\sf{\theta}$ を実数とする。絶対値がrの複素数zに対して複素数wを
w=z(cos$\small\sf{\theta}$ +isin$\small\sf{\theta}$)
で定める。複素数w-zの絶対値|w-z|を求めよ。
(２) $\small\sf{\theta}$ と$\small\sf{\alpha}$ を実数とする。絶対値が1の複素数z1に対して複素数z2、z3を
z2=z1(cos$\small\sf{\theta}$+isin$\small\sf{\theta}$) 、 z3=z1(cos$\small\sf{\alpha}$+isin$\small\sf{\alpha}$)
で定める。
(ⅰ) 複素数$\small\sf{\frac{z_3}{z_2}}$ の実部と虚部を求めよ。
(ⅱ) |(z3-z1)(z3-z2)|を求めよ。
(ⅲ) $\small\sf{\alpha}$が$\small\sf{\alpha}$=2$\small\sf{\theta}$ を満たし、$\small\sf{\theta}$ が0≦$\small\sf{\theta}$ ≦$\small\sf{\pi}$ の範囲を動くときの|(z3-z1)(z3-z2)|
の最大値を求めよ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |w-z|&=\sf \left|z\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)-z\right| \\ &=\sf |z|\left|\cos\theta-1+i\sin\theta\right|\\ &=\sf r\sqrt{\left(\cos\theta-1\right)^2+\sin^2\theta}\\ &=\sf r\sqrt{2-2cos\theta}\\ &=\sf r\sqrt{4sin^2\frac{\theta}{2}}\\ &=\sf \underline{2r\left|\sin\frac{\theta}{2}\right|}\end{align*}}$
(２)(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{z_3}{z_2}\frac{\cos\theta+i\sin\theta}{\cos\alpha+i\sin\alpha}=\underline{cos\left(\theta-\alpha\right)+i\sin\left(\theta-\alpha\right)} \end{align*}}$
(２)(ⅱ)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|z_3-z_1\right|=2\left|z_1\right|\left|\sin\frac{\alpha}{2}\right|=2\left|\sin\frac{\alpha}{2}\right|\end{align*}}$
また、(２)(ⅰ)と(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|z_3-z_2\right|&=\sf \left|z_2\right|\left|\frac{z_3}{z_2}-1\right| \\ &=\sf \left|z_1\right|\left|\cos\theta+i\sin\theta\right|\left|\cos\left(\alpha\theta\right)+i\sin\left(\alpha\theta\right)\right|\\ &=\sf 2\left|\sin\frac{\alpha-\theta}{2}\right|\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\left(z_3-z_1\right)\left(z_3-z_2\right)\right|=\underline{4\left|\sin\frac{\alpha}{2}\ \sin\frac{\alpha-\theta}{2}\right|}\end{align*}}$
(２)(ⅲ)
$\scriptsize\sf{\alpha=2\theta\ \left(0\leq \theta\leq\pi\right)}$ のとき、(２)(ⅱ)の値をAとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A&=\sf \left|\left(z_3-z_1\right)\left(z_3-z_2\right)\right| \\ &=\sf 4\left|\sin\theta\ \sin\frac{\theta}{2}\right|\\ &=\sf 4\sin\theta\ \sin\frac{\theta}{2}\ \ \ \ \left(\because\ 0\leq \theta\leq\pi\right)\\ &=\sf 8\sin^2\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\\ &=\sf 8\left(1-\cos^2\frac{\theta}{2}\right)\cos\frac{\theta}{2}\\ &=\sf -8\cos^3\frac{\theta}{2}+8\cos\frac{\theta}{2}\end{align*}}$
ここで、関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)=-8x^3+8x\ \ \ \left(0\leq x\leq 1\right)\end{align*}}$
とおくと、導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'\left(x\right)=-24x^2+8=-8\left(3x^2-1\right) \end{align*}}$
なので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、Aの最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A_{max}=f\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)=\underline{\frac{16}{9}\sqrt3}\end{align*}}$
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- 2018/07/13(金) 23:57:00|
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第３問
aを実数とする。xy平面上の直線C1： y=axと曲線C2： y=(2x-x2)exを考える。
C1とC2の共有点の個数をN(a)で表す。N(a)を求めよ。
ただし、必要ならば$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow -\infty}xe^x=0\end{align*}}$であることを証明なしに用いてよい。
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【解答】
2式を連立させると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(2x-x^2\right)e^x=ax\end{align*}}$ ･･････(A)
となり、N(a)は方程式(A)の異なる実数解の個数に等しい。
まず、(A)はx=0をもつので、x≠0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(2-x\right)e^x=a\end{align*}}$ ･･････(B)
となる。
ここで、関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)=\left(2-x\right)e^x \end{align*}}$
とおくと、導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf &=\sf f'\left(x\right)=-e^x+\left(2-x\right)e^x=\left(1-x\right)e^x \end{align*}}$
となるので、f(x)の増減は次のようになる。
これより、方程式(B)の異なる実数解の個数は
a＞eのとき0個
a≦0、a=eのとき1個
0＜a＜eのとき2個
また、(B)がx=0を解に持つのはa=2のときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\underline{ N\left(a\right)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf 1 &\left(\sf e\lt a\right) \\ \sf 2&\left(\sf a\leq e\ ,\ a=2\ ,\ a=e\lt a\right)\\ \sf 3&\left(\sf 0\lt a\lt e\right)\end{array} \right.}\end{align*}}$
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- 2018/07/14(土) 23:57:00|
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第４問
数列{an}の一般項がan=(2n+1)(3n+2) （n=1，2，3，･･･）で
与えられている。数列{bk}は、整数anが2でも3でも割り切れないような自然数
nを小さいものから順に並べてできる数列とする。bk （k=1，2，3，･･･）
を求めよ。
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【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n&=\sf \left(2n+1\right)\left(3n+2\right) \\ &=\sf 6n^2+7n+2\\ &=\sf 6n\left(n+1\right)+n+2\end{align*}}$
これが2でも3でも割り切れないのは、n+2が2でも3でも割り切れないとき、
すなわち、n+2を6で割った余りが1または5のときである。
n+2≧3なので、
n+2=5，7，11，13，17，19，･･････
⇔ n=3，5，9，11，15，17，･･････
mを自然数とすると、
k=2m-1のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_k&=\sf 3+6\left(m-1\right) \\ &=\sf 6m-3\\ &=\sf \underline{3k}\end{align*}}$
k=2mのとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_k&=\sf 5+6\left(m-1\right) \\ &=\sf 6m-1\\ &=\sf \underline{3k-1}\end{align*}}$
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- 2018/07/15(日) 23:57:00|
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