第１問
関数$\small\sf{r=3+\cos\theta}$ と、その導関数r’および第2次導関数r”に対して、
$\small\sf{\begin{align*}\sf f(\theta)=\frac{\left(r^2+(r')^2\right)^{\frac{3}{2}}}{r^2+2(r')^2-rr''}\end{align*}}$
とおく。
(１) f(0)およびf($\small\sf{\pi}$ )を求めよ。
(２) f($\small\sf{\theta}$ ) は$\small\sf{\theta}$ =0および$\small\sf{\theta=\pi}$ で極大値をとることを示せ。
(３) f($\small\sf{\theta}$ )の最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{r=3+\cos\theta\ ,\ \ r'=-\sin\theta\ ,\ \ r''=-\cos\theta}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(\theta)&=\sf \frac{\left\{(3+\cos\theta)^2+(-\sin\theta)^2\right\}^{\frac{3}{2}}}{(3+\cos\theta)^2+2(-\sin\theta)^2-(3+\cos\theta)\cdot (-\cos\theta)} \\ &=\sf\frac{(9+6\cos\theta+\sin^2\theta+\cos^2\theta)^{\frac{3}{2}}}{9+6\cos\theta+\cos^2\theta+2\sin^2\theta+3\cos\theta+\cos^2\theta} \\ &=\sf \frac{(10+6\cos\theta)^{\frac{3}{2}}}{11+9\cos\theta}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(0)=\frac{16^{\frac{3}{2}}}{20}=\underline{\frac{16}{5}} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(\pi)=\frac{4^{\frac{3}{2}}}{2}=\underline{4} \end{align*}}$
(２)
f($\scriptsize\sf{\theta}$ )の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(\theta)&=\sf \frac{\frac{3}{2}(10+6\cos\theta)^{\frac{1}{2}}\cdot (-6\sin\theta)'11+9\cos\theta)-(10+6\cos\theta)^{\frac{3}{2}}\cdot (-9\sin\theta)}{(11+9\cos\theta)^2} \\ &=\sf -\frac{9\sin\theta(3\cos\theta+1)(10+6\cos\theta)^{\frac{1}{2}}}{(11+9\cos\theta)^2}\\ &=\sf \end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\alpha=\cos\beta=-\frac{1}{3}\ \ \ \left(0\lt\alpha\lt\pi\lt\beta\lt 2\pi\right) \end{align*}}$
となる、$\scriptsize\sf{\alpha,\beta}$ を考えると、f($\scriptsize\sf{\theta}$ )の増減は次のようになる。
よって、f($\scriptsize\sf{\theta}$ )は($\scriptsize\sf{\theta}=0\ ,\ \pi$ ) で極大値をとる。
(３)
f($\scriptsize\sf{\theta}$ )は周期$\scriptsize\sf{2\pi}$ の周期関数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(\alpha+2n\pi)=f(\alpha)=\frac{(10-2)^{\frac{3}{2}}}{11-3}=2\sqrt2 \\ &=\sf \\ &=\sf \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(\beta+2n\pi)=f(\beta)=\frac{(10-2)^{\frac{3}{2}}}{11-3}=2\sqrt2 \\ &=\sf \\ &=\sf \end{align*}}$
よって、f($\scriptsize\sf{\theta}$ )の最小値は$\scriptsize\sf{\underline{2\sqrt2}}$ である。
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- 2018/09/23(日) 23:57:00|
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第２問
複素数a1，a2，a3，･･･，an，･･･を
$\small\sf{\begin{align*}\sf a_1=\frac{3+i}{3-i}\ ,\ \ \ a_{n+1}=\frac{a_n-5}{1-5a_n}\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\cdots\right)\end{align*}}$
で定める。また、
$\small\sf{\begin{align*}\sf b_n=\frac{a_n+1}{a_n-1}\ i\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\cdots\right)\end{align*}}$
とおく。ただし、i は虚数単位である。
(１) bn+1をbnを用いて表せ。
(２) bnは実数であることを示せ。
(３) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}|a_n+1|\end{align*}}$ を求めよ。
(４) 複素数平面上において、すべての点an （n=1，2，3，･･･） は
同一円周上にあることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_{n+1}&=\sf\frac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}-1}\ i \\ &=\sf\frac{\frac{a_n-5}{1-5a_n}+1}{\frac{a_n-5}{1-5a_n}-1}\ i \\ &=\sf \frac{a_n-5+(1-5a_n)}{a_n-5-(1-5a_n)}\ i\\ &=\sf -\frac{2}{3}\cdot\frac{a_n+1}{a_n-1}\ i\\ &=\sf \underline{-\frac{2}{3}b_n}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_1=\frac{\frac{3+i}{3-i}+1}{\frac{3+i}{3-i}-1}\ i=3\end{align*}}$
であり、(１)より、数列{bn}は等比数列をなすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n=3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}\end{align*}}$
よって、bnは実数である。
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n=\frac{a_n+1}{a_n-1}\ i&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a_nb_n-b_n=i\ a_n+i\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a_n=\frac{b_n+i}{b_n-i} \ \ \ \cdots\cdots\cdots (*)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |a_n+1|&=\sf \left|\frac{b_n+i}{b_n-i}+1\right| \\ &=\sf \left|\frac{2b_n}{b_n-i}\right|\\ &=\sf \frac{|2b_n|}{|b_n-i|}\end{align*}}$
(２)よりbnは実数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |a_n+1|=\frac{2b_n}{\sqrt{b_n^2+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -1\lt -\frac{2}{3}\lt 1\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}b_n=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}|a_n+1|=\underline{0}\end{align*}}$
(４)
(*)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |a_n|=\left|\frac{b_n+i}{b_n-i}\right|=\frac{|b_n+i|}{|b_n-i|}\end{align*}}$
であり、bnは実数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |a_n|=\frac{\sqrt{b_n^2+1}}{\sqrt{b_n^2+1}}=1\end{align*}}$
よって、anは、点0を中心とする半径1の円周上にある。
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第３問
(１) tを媒介変数として、
$\small\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\ ,\ \ y=\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\ \ \ \ \left(-1\lt t\lt 1\right)\end{align*}}$
で表される曲線の概形をかけ。
(２) $\small\sf{-1\lt t\lt 1}$ とする。実数f(t)が
$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{e^{f(t)}-e^{-f(t)}}{2}=\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\end{align*}}$
を満たすとき、f(t)をtを用いて表せ。
(３) (２)のf(t)について、t1、t2、t3が
$\small\sf{f(t_1)+f(t_2)=f(t_3)}$
を満たすとき、t3をt1、t2を用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2-y^2=\frac{1}{1-t^2}-\frac{t^2}{1-t^2}=1\end{align*}}$
より、(x，y)は双曲線上を動き、x＞0なので、曲線は下図のようになる。
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{e^{f(t)}-e^{-f(t)}}{2}=\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\end{align*}}$
両辺に$\scriptsize\sf{2e^{f(t)}}$ をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(e^{f(t)}\right)^2-\frac{2t}{\sqrt{1-t^2}}\ e^{f(t)}-1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ e^{f(t)}&=\sf \frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\pm\sqrt{\left(\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\right)^2+1} \\ &=\sf \frac{t\pm 1}{\sqrt{1-t^2}}\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{e^{f(t)}\gt 0}$ かつ$\scriptsize\sf{-1\lt t\lt 1}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf e^{f(t)}=\frac{1+t}{\sqrt{1-t^2}}=\frac{\sqrt{1+t}}{\sqrt{1-t}}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(t)=\log\frac{\sqrt{1+t}}{\sqrt{1-t}}=\underline{\frac{1}{2}\log\frac{1+t}{1-t}}\end{align*}}$
(３)
(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\log\frac{1+t_1}{1-t_1}+\frac{1}{2}\log\frac{1+t_2}{1-t_2}=\frac{1}{2}\log\frac{1+t_3}{1-t_3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{(1+t_1)(1+t_2)}{(1-t_1)(1-t_2)}=\frac{1+t_3}{1-t_3} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (1+t_1)(1+t_2)-(1+t_1)(1+t_2)t_3=(1-t_1)(1-t_2)+(1-t_1)(1-t_2)t_3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ t_3 &=\sf\frac{(1+t_1)(1+t_2)-(1-t_1)(1-t_2)}{(1+t_1)(1+t_2)+(1-t_1)(1-t_2)} \\ &=\sf \frac{2t_1+2t_2}{2+2t_1t_2}\\ &=\sf \underline{\frac{t_1+t_2}{1+t_1t_2}}\end{align*}}$
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- 2018/09/25(火) 23:57:00|
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第４問
一辺の長さが1mの正四面体の辺上に4匹のアリがいる。時刻0分において、
アリは別々の頂点にいる。各自然数tに対して、時刻(t-1)分からt分までの
1分間に、アリは頂点から他の頂点へ分速1mで進むか、同じ頂点にとどまるか
のどちらかである。そしてアリが他のいずれの頂点へ進む確率も、同じ頂点に
とどまる確率も、等しく$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{4}\end{align*}}$ である。以下、nを自然数とする。
(１) 時刻n分のとき、4匹のアリが同じ頂点に居合わせる確率を求めよ。
(２) 時刻0分からn分までの間に、どのアリも他のアリと頂点で出会わない
確率を求めよ。
(３) 時刻0分からn分までの間に、どのアリも他のアリと頂点でも辺の中点
でも出会わない確率を求めよ。
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【解答】
(１)
時刻n-1分までのアリの動きとは無関係である。
時刻n分に4匹が集まる頂点の選び方が4通りあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^4=\underline{\frac{1}{64}}\end{align*}}$
(２)
時刻1分に4匹のアリが別々の頂点にいる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4!\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^4=\frac{3}{32}\end{align*}}$
このような移動を時刻n分までn回繰り返すので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\underline{\left(\frac{3}{32}\right)^n}\end{align*}}$
(３)
4匹のアリをa、b、c、dとし、時刻0における1～4のいる頂点を順に
A、B、C、Dとおく。
以下、アリa、b、c、dの位置を順に[A，B，C，D]などと表すことにする。
時刻0分から1分までの間に、どのアリも他のアリと頂点でも辺の中点
でも出会わないのは次の3つの場合がある。
(ⅰ) a～dすべてが動かないとき、
時刻1分におけるアリの位置は[A，B，C，D]のまま
(ⅱ) a～dのうち3匹だけが移動するとき、
時刻1分におけるアリの位置は次の8通りの場合がある。
「A，C，D，B]、[A，D，B，C]、[D，B，A，C]、[C，B，D，A]、
[B，D，C，A]、[D，A，C，B]、[B，C，A，D]、[C，A，B，D]
(ⅲ) a～dの4匹すべてが移動するとき、
時刻1分におけるアリの位置は次の6通りの場合がある。
「D，A，B，C]、「C，A，D，B]、「D，C，A，B]、「B，D，A，C]、
「C，D，B，A]、「B，C，D，A]
よって、時刻0分から1分までの間に、どのアリも他のアリと頂点でも辺の中点
でも出会わない確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1+8+6\right)\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^4=\frac{15}{256}\end{align*}}$
このような移動を時刻n分までn回繰り返すので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\underline{\left(\frac{15}{256}\right)^n}\end{align*}}$
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- 2018/09/26(水) 17:54:27|
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