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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018滋賀医科大 数学1



第1問

  関数$\small\sf{r=3+\cos\theta}$ と、その導関数r’および第2次導関数r”に対して、
          $\small\sf{\begin{align*}\sf f(\theta)=\frac{\left(r^2+(r')^2\right)^{\frac{3}{2}}}{r^2+2(r')^2-rr''}\end{align*}}$
  とおく。

 (1) f(0)およびf($\small\sf{\pi}$ )を求めよ。

 (2) f($\small\sf{\theta}$ ) は$\small\sf{\theta}$ =0および$\small\sf{\theta=\pi}$ で極大値をとることを示せ。

 (3) f($\small\sf{\theta}$ )の最小値を求めよ。





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  1. 2018/09/23(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .滋賀医科大 2018
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2018滋賀医科大 数学2



第2問

  複素数a1,a2,a3,・・・,an,・・・を
        $\small\sf{\begin{align*}\sf a_1=\frac{3+i}{3-i}\ ,\ \ \ a_{n+1}=\frac{a_n-5}{1-5a_n}\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\cdots\right)\end{align*}}$
  で定める。また、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf b_n=\frac{a_n+1}{a_n-1}\ i\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\cdots\right)\end{align*}}$
  とおく。ただし、i は虚数単位である。

 (1) bn+1をbnを用いて表せ。

 (2) bnは実数であることを示せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}|a_n+1|\end{align*}}$ を求めよ。
 
 (4) 複素数平面上において、すべての点an (n=1,2,3,・・・) は
    同一円周上にあることを示せ。





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  1. 2018/09/24(月) 23:57:00|
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2018滋賀医科大 数学3



第3問

 (1) tを媒介変数として、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\ ,\ \ y=\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\ \ \ \ \left(-1\lt t\lt 1\right)\end{align*}}$
    で表される曲線の概形をかけ。

 (2) $\small\sf{-1\lt t\lt 1}$ とする。実数f(t)が
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{e^{f(t)}-e^{-f(t)}}{2}=\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\end{align*}}$
    を満たすとき、f(t)をtを用いて表せ。

 (3) (2)のf(t)について、t1、t2、t3
        $\small\sf{f(t_1)+f(t_2)=f(t_3)}$
    を満たすとき、t3をt1、t2を用いて表せ。




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  1. 2018/09/25(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .滋賀医科大 2018
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2018滋賀医科大 数学4



第4問

  一辺の長さが1mの正四面体の辺上に4匹のアリがいる。時刻0分において、
  アリは別々の頂点にいる。各自然数tに対して、時刻(t-1)分からt分までの
  1分間に、アリは頂点から他の頂点へ分速1mで進むか、同じ頂点にとどまるか
  のどちらかである。そしてアリが他のいずれの頂点へ進む確率も、同じ頂点に
  とどまる確率も、等しく$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{4}\end{align*}}$ である。以下、nを自然数とする。

 (1) 時刻n分のとき、4匹のアリが同じ頂点に居合わせる確率を求めよ。

 (2) 時刻0分からn分までの間に、どのアリも他のアリと頂点で出会わない
    確率を求めよ。

 (3) 時刻0分からn分までの間に、どのアリも他のアリと頂点でも辺の中点
    でも出会わない確率を求めよ。




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  1. 2018/09/26(水) 17:54:27|
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