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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018筑波大学 数学1



第1問

  0<$\small\sf{\theta}$<$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$ とする。放物線y=x2上に3点O(0,0)、A(tan$\small\sf{\theta}$,tan2$\small\sf{\theta}$)、
  B(-tan$\small\sf{\theta}$,tan2$\small\sf{\theta}$)をとる。三角形OABの内心のy座標をpとし、外心の
  y座標をqとする。また、正の実数aに対して、直線y=aと放物線y=x2
  囲まれた図形の面積をS(a)で表す。

 (1) p、qをcos$\small\sf{\theta}$を用いて表せ。

 (2) $\small\sf{\frac{S\left(p\right)}{S\left(q\right)}}$ が整数であるようなcos$\small\sf{\theta}$の値をすべて求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/06/01(金) 23:57:00|
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2018筑波大学 数学2



第2問

  放物線C:y=x2+ax+bが2直線L1:y=px (p>0)、L2:y=qx (q<0)
  と接している。また、CとL1、L2で囲まれた図形の面積をSとする。

 (1) a、bをp、qを用いて表せ。

 (2) Sをp、qを用いて表せ。

 (3) L1、L2が直交するようにp、qが動くとき、Sの最小値を求めよ。



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  1. 2018/06/02(土) 23:57:00|
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2018筑波大学 数学3



第3問

  正三角形OABに対し、直線OA上の点P1、P2、P3、・・・および直線OB上の点
  Q1、Q2、Q3、・・・を、次の(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)を満たすようにとる。
   (ⅰ) P1=Aである。
   (ⅱ) 線分P1Q1、P2Q2、P3Q3、・・・はすべて直線OAに垂直である。
   (ⅲ) 線分Q1P2、Q2P3、Q3P4、・・・はすべて直線OBに垂直である。
  $\small\sf{\overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf b}}$ 、$\small\sf{\overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}}$ とおく。点Oを基準とする位置ベクトルが、整数k、Lによって
  $\small\sf{k\overrightarrow{\sf a}+L\overrightarrow{\sf b}}$ と表される点全体の集合をSとする。nを自然数とするとき、以下の問いに
  答えよ。

 (1) $\small\sf{\overrightarrow{\sf OP_n}}$ と$\small\sf{\overrightarrow{\sf OQ_n}}$ を$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}}$、$\small\sf{\overrightarrow{\sf b}}$を用いて表せ。

 (2) $\small\sf{\overrightarrow{\sf OR}=x\overrightarrow{\sf a}+y\overrightarrow{\sf b}}$で定まる点Rが線分QnPn+1上にあるとき、xをyを用いて表せ。
    また、線分QnPn+1上にあるSの点の個数を求めよ。

 (3) 三角形OPn+1Qnの周または内部にあるSの点の個数を求めよ。




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  1. 2018/06/03(日) 23:57:00|
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2018筑波大学 数学4



第4問

  2つの曲線
        $\small\sf{\begin{align*}\sf C_1:\ y=\frac{1}{\sqrt2\ sinx} \ \ \left(0\lt x\lt\pi\right)\end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*}\sf C_2:\ y=\sqrt2\left(sinx-cosx\right) \ \ \left(0\lt x\lt\pi\right)\end{align*}}$
  について以下の問いに答えよ。

 (1) 曲線C1と曲線C2の共有点のx座標を求めよ。

 (2) 曲線C1と曲線C2とで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転させてできる
    回転体の体積Vが$\small\sf{\pi^2}$であることを示せ。




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  1. 2018/06/04(月) 23:57:00|
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2018筑波大学 数学5



第5問

  $\small\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)=\int_0^x\frac{4\pi}{t^2+\pi^2}dt \end{align*}}$ とし、c≧$\small\sf{\pi}$とする。数列{an}をa1=c、
  an+1=f(an) (n=1,2,・・・)で定める。

 (1) f($\small\sf{\pi}$)を求めよ。また、x≧$\small\sf{\pi}$のとき、0<f’(x)≦$\small\sf{\frac{2}{\pi}}$が成り立つことを示せ。

 (2) すべての自然数nに対してan>$\small\sf{\pi}$が成り立つことを示せ。
 
 (3) すべての自然数nに対して$\small\sf{\begin{align*}\sf |a_{n+1}-\pi|\leq\frac{2}{\pi}|a_n-\pi| \end{align*}}$が成り立つことを示せ。
    また、$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}a_n \end{align*}}$を求めよ。



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  1. 2018/06/05(火) 23:57:00|
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2018筑波大学 数学6



第6問

  複素数$\small\sf{\alpha}$に対して、複素数平面上の3点O(0)、A($\small\sf{\alpha}$)、B($\small\sf{\alpha^2}$)を考える。
  次の条件(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)をすべて満たす複素数$\small\sf{\alpha}$全体の集合をSとする。
    (Ⅰ) $\small\sf{\alpha}$は実数でも純虚数でもない。
    (Ⅱ) |$\small\sf{\alpha}$|>1である。
    (Ⅲ) 三角形OABは直角三角形である。
  このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\alpha}$がSに属するとき、∠OAB=$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$であることを示せ。

 (2) 集合Sを複素数平面上に図示せよ。

 (3) x,yを$\small\sf{\alpha^2}$=x+yiを満たす実数とする。$\small\sf{\alpha}$がSを動くとき、xy平面上の点
    (x,y)の軌跡を求め、図示せよ。





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  1. 2018/06/06(水) 23:57:00|
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