第１問
tを0＜t＜1を満たす実数とする。OABCを1辺の長さが1の正四面体とする。
辺OAを1-t：tに内分する点をP、辺OBをt：1-tに内分する点をQ、辺BCの
中点をRとする。また$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}}$=$\small\sf{\overrightarrow{\sf OA}}$ 、$\small\sf{\overrightarrow{\sf b}}$=$\small\sf{\overrightarrow{\sf OB}}$ 、$\small\sf{\overrightarrow{\sf c}}$=$\small\sf{\overrightarrow{\sf OC}}$ とする。以下の問に答えよ。
(１) $\small\sf{\overrightarrow{\sf QP}}$ と$\small\sf{\overrightarrow{\sf QR}}$ をt、$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}}$ 、$\small\sf{\overrightarrow{\sf b}}$ 、$\small\sf{\overrightarrow{\sf c}}$ を用いて表せ。
(２) ∠PQR=$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$ のとき、tの値を求めよ。
(3) tが(２)で求めた値をとるとき、△PQRの面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
OABCは1辺が1の正四面体なので、
$\scriptsize\sf{\left|\overrightarrow{\sf a}\right|=\left|\overrightarrow{\sf b}\right|=\left|\overrightarrow{\sf c}\right|=1}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=1\cdot 1\cdot cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
(１)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}=\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \ \ \overrightarrow{\sf OQ}=t\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \ \ \overrightarrow{\sf OR}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf QP}=\overrightarrow{\sf OP}-\overrightarrow{\sf OQ}=\underline{\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf a}-t\overrightarrow{\sf b}} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf QR}=\overrightarrow{\sf OR}-\overrightarrow{\sf OQ}=\underline{\left(\frac{1}{2}-t\right)\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf c}}\end{align*}}$
(２)
(１)で求めた2つのベクトルの内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf &\overrightarrow{\sf QP}\cdot\overrightarrow{\sf QR}=\sf \left\{\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf a}-t\overrightarrow{\sf b}\right\}\cdot\left\{\left(\frac{1}{2}-t\right)\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf c}\right\}=0 \\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf \left(1-t\right)\left(\frac{1}{2}-t\right)\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{2}\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}-t\left(\frac{1}{2}-t\right)\left|\overrightarrow{\sf b}\right|^2-\frac{1}{2}t\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=0\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf \frac{1}{2}\left(1-t\right)\left(\frac{1}{2}-t\right)+\frac{1}{4}\left(1-t\right)-t\left(\frac{1}{2}-t\right)-\frac{1}{4}t=0\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf 6t^2-7t+2=0\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf \left(3t-2\right)\left(2t-1\right)=0\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf \underline{t=\frac{1}{2}\ ,\ \ \frac{2}{3}}\end{align*}}$
(３)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf QP}\right|^2&=\sf \left(1-t\right)^2\left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2-2t\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+t^2\left|\overrightarrow{\sf b}\right|^2 \\ &=\sf \left(1-t\right)^2-t\left(1-t\right)+t^2\\ &=\sf 3t^2-3t+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf QR}\right|^2&=\sf \left(\frac{1}{2}-t\right)^2\left|\overrightarrow{\sf b}\right|^2+\left(\frac{1}{2}-t\right)\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}+\frac{1}{4}\left|\overrightarrow{\sf c}\right|^2 \\ &=\sf \left(\frac{1}{2}-t\right)^2+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-t\right)+\frac{1}{4}\\ &=\sf t^2-\frac{3}{2}t+\frac{3}{4}\end{align*}}$
t=$\scriptsize\sf{\frac{1}{2}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|QP\right|=\sqrt{3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2-3\cdot\frac{1}{2}+1}=\frac{1}{2} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|QR\right|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{3}{4}}=\frac{1}{2} \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle PQR=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\underline{\frac{1}{8}} \end{align*}}$
t=$\scriptsize\sf{\frac{2}{3}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|QP\right|=\sqrt{3\cdot\left(\frac{2}{4}\right)^2-3\cdot\frac{2}{3}+1}=\frac{1}{\sqrt3} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|QR\right|=\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2-\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}+\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt7}{6} \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle PQR=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt7}{6}=\underline{\frac{\sqrt{21}}{36}} \end{align*}}$
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- 2018/05/12(土) 23:57:00|
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第２問
f(x)=(2x-1)3とする。数列{xn}を次のように定める。
x1=2であり、xn+1 （n≧1）は点(xn，f(xn))における曲線y=f(x)の接線と
x軸の交点のx座標とする。
以下の問に答えよ。
(１) 点(t，f(t))における曲線y=f(x)の接線の方程式を求めよ。また t≠$\small\sf{\frac{1}{2}}$ のときに、
その接線とx軸の交点のx座標を求めよ。
(２) xn＞$\small\sf{\frac{1}{2}}$ を示せ。またxnをnの式で表せ。
(３) |xn+1-xn|＜$\small\sf{\frac{3}{4}}$ ×10-5を満たす最小のnを求めよ。ただし
0.301＜log102＜0.302、 0.477＜log103＜0.478 は用いてよい。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{f\ '\left(x\right)=6\left(2x-1\right)^2}$
なので、求める接線の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf y-\left(2t-1\right)^3=6\left(2t-1\right)^2\left(x-t\right)\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf \underline{y=6\left(2t-1\right)^2x-\left(2t-1\right)^2\left(4t+1\right)}\end{align*}}$
であり、そのx切片は、t≠$\scriptsize\sf{\frac{1}{2}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0=6\left(2t-1\right)^2x-\left(2t-1\right)^2\left(4t+1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{4t+1}{6}=\underline{\frac{2}{3}t+\frac{1}{6}}\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_{n+1}=\frac{2}{3}x_n+\frac{1}{6}\end{align*}}$ ･･････(*)
すべての自然数nに対して、xn＞$\scriptsize\sf{\frac{1}{2}}$ が成り立つことを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) x1=2より、n=1のときはOK
(ⅱ) n=kのときにxk＞$\scriptsize\sf{\frac{1}{2}}$ が成り立つと仮定すると、(*)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_{k+1}&=\sf \frac{2}{3}x_k+\frac{1}{6} \\ &\lt\sf \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\\ &=\sf \frac{1}{2}\end{align*}}$
となり、n=k+1のときも成り立つ。
以上より、すべての自然数nに対して、xn＞$\scriptsize\sf{\frac{1}{2}}$ が成り立つ。
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s=\frac{2}{3}s+\frac{1}{6}\ \ \Leftrightarrow\ \ s=\frac{1}{2}\end{align*}}$
より、(*)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_{n+1}-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\left(x_n-\frac{1}{2}\right) \end{align*}}$
と変形できるので、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left\{x_n-\frac{1}{2}\right\}\end{align*}}$ は等比数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf x_n-\frac{1}{2}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\left(x_1-\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-2} \\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf x_n=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-2}+\frac{1}{2}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|x_{n+1}-x_n\right|&=\sf \left|\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}-\left(\frac{2}{3}\right)^{n-2}\right| \\ &=\sf \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-2}\lt\frac{3}{4}\times 10^{-5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{2}{3}\right)^n\lt 10^{-5} \end{align*}}$
両辺の常用対数をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf log_{10}\left(\frac{2}{3}\right)^n\lt log_{10}10^{-5} &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(log_{10}2-log_{10}3\right)n\lt -5 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf n\gt\frac{5}{log_{10}3-log_{10}2}\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{0.301\lt log_{10}2\lt 0.302\ ,\ \ \ 0.477\lt log_{10}3\lt 0.478}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 28\lt\frac{5}{0.177}\lt\frac{5}{log_{10}3-log_{10}2}\lt\frac{5}{0.175}\lt 29 \end{align*}}$
なので、題意を満たす最小のnはn=29である。
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- 2018/05/13(日) 23:57:00|
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第３問
さいころを3回ふって、1回目に出た目の数をa、2回目と3回目に出た
目の数の和をbとし、2次方程式
x2-ax+b=0 ･･････(*)
を考える。以下の問に答えよ。
(１) (*)がx=1を解にもつ確率を求めよ。
(２) (*)が整数を解にもつとする。このとき(*)の解は共に正の整数であり、
また少なくとも1つの解は3以下であることを示せ。
(３) (*)が整数を解にもつ確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
以下、さいころを3回振った時に出た目の組を
(1回目の数，2回目の数，3回目の数)
のように表すことにする。
(１)
(*)がx=1を解にもつとき、1-a+b=0であり、
1≦a≦6かつ2≦b≦12なので、
・a=3、b=2のとき、(3，1，1)
・a=4、b=3のとき、(4，1，2)、(4，2，1)
・a=5、b=4のとき、(5，1，3)、(5，2，2)、(5，3，1)
・a=6、b=5のとき、(6，1，4)、(6，2，3)、(6，3，2)、(6，4，1)
以上、3回の目の組は10通りあるので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{10}{6^3}=\underline{\frac{5}{108}}\end{align*}}$
(２)
(*)の整数解をpとし、他解をqとすると、解と係数の関係より、
p+q=a、 pq=b
まず、a、pは整数なので、qも整数である。
また、a＞0かつb＞0より、p＞0かつq＞0となるので、
(*)の解はともに正の整数である。
ここで、pとqがともに3より大きいと仮定すると、
a=p+q＞6
となり、a≦6に矛盾する。
よって、p、qのうち少なくとも一方は3以下である。
(３)
(*)の2つの整数解をp、q （p≦q）とすると、(２)より、p=1，2，3の
いずれかである。
p=1のときは、(１)と同様に10通り
p=2、q=2のとき、a=4、b=4となり、
(4，1，3)、(4，2，2)、(4，3，1)
p=2、q=3のとき、a=5、b=6となり、
(5，1，5)、(5，2，4)、(5，3，3)、(5，4，2)、(5，5，1)
p=2、q=4のとき、a=6、b=8となり、
(6，2，6)、(6，3，5)、(6，4，4)、(6，5，3)、(6，6，2)
p=3、q=3のとき、a=6、b=9となり、
(6，3，6)、(6，4，5)、(6，5，4)、(6，6，3)
以上より、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{10+3+5+5+4}{6^3}=\underline{\frac{1}{8}}\end{align*}}$
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- 2018/05/14(月) 23:57:00|
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