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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018神戸大 理系数学1



第1問

  tを$\small\sf{0\lt t\lt 1}$ を満たす実数とする。OABCを1辺の長さが1の正四面体とする。
  辺OAを$\small\sf{1-t:t}$ に内分する点をP、辺OBを$\small\sf{t:1-t}$ に内分する点を$\small\sf{Q}$ 、辺BCの
  中点をRとする。また$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}}$=$\small\sf{\overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}}$=$\small\sf{\overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}}$=$\small\sf{\overrightarrow{\sf OC}}$ とする。以下の問に答えよ。

 (1) $\small\sf{\overrightarrow{\sf QP}}$ と$\small\sf{\overrightarrow{\sf QR}}$ をt、$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}}$ を用いて表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf\angle PQR=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、tの値を求めよ。

 (3) tが(2)で求めた値をとるとき、$\small\sf{\triangle PQR}$ の面積を求めよ。





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  1. 2018/05/15(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2018
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2018神戸大 理系数学2



第2問

   kを2以上の整数とする。また
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)=\frac{1}{k}\left(\left(k-1\right)x+\frac{1}{x^{k-1}}\right) \end{align*}}$
  とおく。以下の問に答えよ。

 (1) $\small\sf{x\gt 0}$ において、関数y=f(x)の増減と漸近線を調べてグラフの概形をかけ。

 (2) 数列$\small\sf{\{x_n\}}$ が$\small\sf{x_1\gt 1\ ,\ \ x_{n+1}=f\left(x_n\right)\ \ \left(n=1,2,\ldots\right)}$ を満たすとき、$\small\sf{x_n\gt 1}$ を示せ。

 (3) (2)の数列$\small\sf{\{x_n\}}$ に対し、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf x_{n+1}-1\lt\frac{k-1}{k}\left(x_n-1\right)\end{align*}}$
    を示せ。また$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}x_n\end{align*}}$ を求めよ。




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  1. 2018/05/16(水) 23:57:00|
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2018神戸大 理系数学3



第3問

  さいころを3回ふって、1回目に出た目の数をa、2回目と3回目に出た
  目の数の和をbとし、2次方程式
        $\small\sf{x^2-ax+b=0}$  ・・・・・・(*)
  を考える。以下の問に答えよ。

 (1) (*)がx=1を解にもつ確率を求めよ。

 (2) (*)が整数を解にもつとする。このとき(*)の解は共に正の整数であり、
    また少なくとも1つの解は3以下であることを示せ。

 (3) (*)が整数を解にもつ確率を求めよ。




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  1. 2018/05/17(木) 23:57:00|
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2018神戸大 理系数学4



第4問

  整式f(x)は実数を係数にもつ3次式で、3次の係数は1、定数項は$\small\sf{-3}$ とする。
  方程式f(x)=0は、1と虚数$\small\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ を解にもつとし、$\small\sf{\alpha}$ の実部は1より大きく、
  $\small\sf{\alpha}$ の虚部は正とする。複素数平面上で $\small\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ 、1が表す点を順にA、B、Cとし、
  原点をOとする。以下の問に答えよ。

 (1) $\small\sf{\alpha}$ の絶対値を求めよ。

 (2) $\small\sf{\theta}$ を$\small\sf{\alpha}$ の偏角とする。△ABCの面積Sを$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (3) Sを最大にする$\small\sf{\theta\ \left(0\leqq\theta\lt \pi\right)}$ とそのときの整式f(x)を求めよ。




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  1. 2018/05/18(金) 23:57:00|
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2018神戸大 理系数学5



第5問

  座標空間において、Oを原点とし、$\small\sf{A(2,\ 0,\ 0)\ ,\ B(0,\ 2,\ 0)\ ,\ C(1,\ 1,\ 0)}$
  とする。△OABを直線OCの周りに1回転してできる回転体をLとする。
  以下の問に答えよ。

 (1) 直線OC上にない点$\small\sf{P(x,\ y,\ z)}$ から直線OCにおろした垂線をPHとする。
    $\small\sf{\overrightarrow{\sf OH}}$ と$\small\sf{\overrightarrow{\sf HP}}$ をx、y、zの式で表せ。

 (2) 点$\small\sf{P(x,\ y,\ z)}$ がLの点であるための条件は
       $\small\sf{z^2\leqq 2xy}$  かつ  $\small\sf{0\leqq x+y\leqq 2}$
    であることを示せ。

 (3) $\small\sf{1\leqq a\leqq 2}$ とする。Lを平面$\small\sf{x=a}$ で切った切り口の面積S(a)を求めよ。

 (4) 立体$\small\sf{\{\left(x,\ y,\ z\right)\big|\ \left(x,\ y,\ z\right)\in L\ ,\ \ 1\leqq x\leqq 2\}}$ の体積を求めよ。




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  1. 2018/05/19(土) 23:57:00|
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