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【解答】
以下、さいころを3回振った時に出た目の組を
(1回目の数，2回目の数，3回目の数)
のように表すことにする。
(１)
(*)がx=1を解にもつとき、1-a+b=0であり、
$\scriptsize\sf{1\leqq a\leqq 6}$ かつ$\scriptsize\sf{2\leqq b\leqq 12}$ なので、
$\scriptsize\sf{\cdot\ a=3\ ,\ b=2}$ のとき、$\scriptsize\sf{(3,\ 1,\ 1)}$
$\scriptsize\sf{\cdot\ a=4\ ,\ b=3}$ のとき、$\scriptsize\sf{(4,\ 1,\ 2)\ ,\ (4,\ 2,\ 1)}$
$\scriptsize\sf{\cdot\ a=5\ ,\ b=4}$ のとき、$\scriptsize\sf{(5,\ 1,\ 3)\ ,\ (5,\ 2,\ 2)\ ,\ (5,\ 3,\ 1)}$
$\scriptsize\sf{\cdot\ a=6\ ,\ b=5}$ のとき、$\scriptsize\sf{(6,\ 1,\ 4)\ ,\ (6,\ 2,\ 3)\ ,\ (6,\ 3,\ 2)\ ,\ (6,\ 4,\ 1)}$
以上、3回の目の組は10通りあるので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{10}{6^3}=\underline{\frac{5}{108}}\end{align*}}$
(２)
(*)の整数解をpとし、他解をqとすると、解と係数の関係より、
$\scriptsize\sf{p+q=a\ ,\ \ pq=b}$
まず、a、pは整数なので、qも整数である。
また、$\scriptsize\sf{a\gt 0}$ かつ$\scriptsize\sf{b\gt 0}$ より、$\scriptsize\sf{p\gt 0}$ かつ$\scriptsize\sf{q\gt 0}$ となるので、
(*)の解はともに正の整数である。
ここで、pとqがともに3より大きいと仮定すると、
$\scriptsize\sf{a=p+q\gt 6}$
となり、$\scriptsize\sf{a\leqq 6}$ に矛盾する。
よって、p、qのうち少なくとも一方は3以下である。
(３)
(*)の2つの整数解を$\scriptsize\sf{p\ ,\ q\ \left(p\leqq q\right)}$ とすると、(２)より、$\scriptsize\sf{p=1,\ 2,\ 3}$ の
いずれかである。
$\scriptsize\sf{p=1}$ のときは、(１)と同様に10通り
$\scriptsize\sf{p=2\ ,\ q=2}$ のとき、$\scriptsize\sf{a=4\ ,\ b=4}$ となり、
$\scriptsize\sf{(4,\ 1,\ 3)\ ,\ (4,\ 2,\ 2)\ ,\ (4,\ 3,\ 1)}$
$\scriptsize\sf{p=2\ ,\ q=3}$ のとき、$\scriptsize\sf{a=5\ ,\ b=6}$ となり、
$\scriptsize\sf{(5,\ 1,\ 5)\ ,\ (5,\ 2,\ 4)\ ,\ (5,\ 3,\ 3)\ ,\ (5,\ 4,\ 2)\ ,\ (5,\ 5,\ 1)}$
$\scriptsize\sf{p=2\ ,\ q=4}$ のとき、$\scriptsize\sf{a=6\ ,\ b=8}$ となり、
$\scriptsize\sf{(6,\ 2,\ 6)\ ,\ (6,\ 3,\ 5)\ ,\ (6,\ 4,\ 4)\ ,\ (6,\ 5,\ 3)\ ,\ (6,\ 6,\ 2)}$
$\scriptsize\sf{p=3\ ,\ q=3}$ のとき、$\scriptsize\sf{a=6\ ,\ b=9}$ となり、
$\scriptsize\sf{(6,\ 3,\ 6)\ ,\ (6,\ 4,\ 5)\ ,\ (6,\ 5,\ 4)\ ,\ (6,\ 6,\ 3)}$
以上より、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{10+3+5+5+4}{6^3}=\underline{\frac{1}{8}}\end{align*}}$
