青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018神戸大 理系数学1



第1問

  tを0<t<1を満たす実数とする。OABCを1辺の長さが1の正四面体とする。
  辺OAを1-t:tに内分する点をP、辺OBをt:1-tに内分する点をQ、辺BCの
  中点をRとする。また$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}}$=$\small\sf{\overrightarrow{\sf OA}}$ 、$\small\sf{\overrightarrow{\sf b}}$=$\small\sf{\overrightarrow{\sf OB}}$ 、$\small\sf{\overrightarrow{\sf c}}$=$\small\sf{\overrightarrow{\sf OC}}$ とする。以下の問に答えよ。

 (1) $\small\sf{\overrightarrow{\sf QP}}$ と$\small\sf{\overrightarrow{\sf QR}}$ をt、$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}}$ 、$\small\sf{\overrightarrow{\sf b}}$ 、$\small\sf{\overrightarrow{\sf c}}$ を用いて表せ。

 (2) ∠PQR=$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$ のとき、tの値を求めよ。

 (3) tが(2)で求めた値をとるとき、△PQRの面積を求めよ。





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  1. 2018/05/15(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2018
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2018神戸大 理系数学2



第2問

   kを2以上の整数とする。また
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)=\frac{1}{k}\left(\left(k-1\right)x+\frac{1}{x^{k-1}}\right) \end{align*}}$
  とおく。以下の問に答えよ。

 (1) x>0において、関数y=f(x)の増減と漸近線を調べてグラフの概形をかけ。

 (2) 数列{xn}がx1>1、 xn+1=f(xn) (n=1,2,・・・)を満たすとき、
    xn>1を示せ。

 (3) (2)の数列{xn} に対し、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf x_{n+1}-1\lt\frac{k-1}{k}\left(x_n-1\right)\end{align*}}$
    を示せ。また$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}x_n\end{align*}}$ を求めよ。




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  1. 2018/05/16(水) 23:57:00|
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2018神戸大 理系数学3



第3問

  さいころを3回ふって、1回目に出た目の数をa、2回目と3回目に出た
  目の数の和をbとし、2次方程式
        x2-ax+b=0  ・・・・・・(*)
  を考える。以下の問に答えよ。

 (1) (*)がx=1を解にもつ確率を求めよ。

 (2) (*)が整数を解にもつとする。このとき(*)の解は共に正の整数であり、
    また少なくとも1つの解は3以下であることを示せ。

 (3) (*)が整数を解にもつ確率を求めよ。




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  1. 2018/05/17(木) 23:57:00|
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2018神戸大 理系数学4



第4問

  整式f(x)は実数を係数にもつ3次式で、3次の係数は1、定数項は-3とする。
  方程式f(x)=0は、1と虚数$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ を解にもつとし、$\small\sf{\alpha}$ の実部は1より大きく、
  $\small\sf{\alpha}$ の虚部は正とする。複素数平面上で $\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ 、1が表す点を順にA、B、Cとし、
  原点をOとする。以下の問に答えよ。

 (1) $\small\sf{\alpha}$ の絶対値を求めよ。

 (2) $\small\sf{\theta}$ を$\small\sf{\alpha}$ の偏角とする。△ABCの面積Sを$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (3) Sを最大にする$\small\sf{\theta}$ (0≦$\small\sf{\theta}$ <2$\small\sf{\pi}$ )とそのときの整式f(x)を求めよ。




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  1. 2018/05/18(金) 23:57:00|
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2018神戸大 理系数学5



第5問

  座標空間において、Oを原点とし、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C(1,1,0)
  とする。△OABを直線OCの周りに1回転してできる回転体をLとする。
  以下の問に答えよ。

 (1) 直線OC上にない点P(x,y,z)から直線OCにおろした垂線をPHとする。
    $\small\sf{\overrightarrow{\sf OH}}$ と$\small\sf{\overrightarrow{\sf HP}}$ をx、y、zの式で表せ。

 (2) 点P(x,y,z)がLの点であるための条件は
       z2≦2xy  かつ  0≦x+y≦2
    であることを示せ。

 (3) 1≦a≦2とする。Lを平面x=aで切った切り口の面積S(a)を求めよ。

 (4) 立体{(x,y,z)| (x,y,z)∈L 、1≦x≦2} の体積を求めよ。




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  1. 2018/05/19(土) 23:57:00|
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