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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018大阪府立大 工学部 数学1



第1問

  以下の定積分の値を求めよ。ただし、eは自然対数の底である。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1\frac{x}{\left(2x+1\right)^3} dx\end{align*}}$

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^3x\cos^4x dx\end{align*}}$

 (3) $\small\sf{\begin{align*}\sf \int_1^e\sqrt{x}\log x dx\end{align*}}$

   ((1)、(2)、(3)については計算の過程を記入しなくてよい.)




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/07/28(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 中期 2018(工)
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2018大阪府立大 工学部 数学2



第2問

  平面上に同一直線上にない3点O、A、Bがある。ただし、∠AOBは直角ではないとする。
  2点C、Dを以下の条件をみたすように定める。
      $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OB}\ne\overrightarrow{\sf OC}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf BC}//\overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \ |\overrightarrow{\sf OB}|=|\overrightarrow{\sf OC}| \end{align*}}$
      $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OA}\ne\overrightarrow{\sf OD}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf AD}//\overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \ |\overrightarrow{\sf OA}|=|\overrightarrow{\sf OD}| \end{align*}}$
  4つのベクトルを$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}}$ 、$\small\sf{\overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}}$ 、$\small\sf{\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}}$ 、$\small\sf{\overrightarrow{\sf d}=\overrightarrow{\sf OD}}$ とするとき、以下の問いに
  答えよ。

 (1) $\small\sf{\overrightarrow{\sf c}}$ 、$\small\sf{\overrightarrow{\sf d}}$ を$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}}$ と$\small\sf{\overrightarrow{\sf b}}$ を用いて表せ。

 (2) nを正の数とする。$\small\sf{\overrightarrow{\sf d}=\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}$ 、$\small\sf{\overrightarrow{\sf c}=n\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}$ のとき、$\small\sf{\frac{\overrightarrow{\sf a}}{\overrightarrow{\sf b}}}$ をnを用いて表せ。

 (3) (2)のnが自然数とする。nと$\small\sf{\overrightarrow{\sf a}}$ 、$\small\sf{\overrightarrow{\sf b}}$ のなす角$\small\sf{\theta}$ の組 (n,$\small\sf{\theta}$ )を求めよ。

  ((1),(2),(3)については計算の過程を記入しなくてよい.)



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  1. 2018/07/29(日) 23:57:00|
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2018大阪府立大 工学部 数学3



第3問

  2個の白玉が入った袋Aと、1個の白玉と2個の赤玉が入った袋Bがある。
  以下の操作を考える。

  操作: Aから無作為に1個の玉を取り出してBに入れ、続いてBから無作為に
      1個の玉を取り出してAに入れる。

  nを自然数とし、この操作をn回くり返したとき、Aの中に赤玉が2個ある確率を
  pnとし、Aの中に赤玉が1個と白玉が1個ある確率をqnとする。このとき、以下
  の問いに答えよ。

 (1) p1、q1を求めよ。

 (2) pn、qnをpn-1とqn-1を用いて表せ。ただし、nを2以上の自然数とする。

 (3) pn、qnをnを用いて表せ。

   ((1)、(2)、(3)については計算の過程を記入しなくてよい。)




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  1. 2018/07/30(月) 23:57:00|
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2018大阪府立大 工学部 数学4



第4問

  nを2以上の自然数とする。曲線y=xne-x上の点(t,tne-t)における接線と
  y軸との交点を(0,fn(t))とする。tがt>0の範囲を動くとき、fn(t)が極大
  となるtをanとし、fn(t)が極小となるtをbnとする。
  このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) fn(t)をtとnを用いて表せ。

 (2) an、bnをnを用いて表せ。

 (3) 極限値$\small\sf{\begin{align*}\sf L=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n}\right)\end{align*}}$ を求めよ。

   ((1)、(2)、(3)については計算の過程を記入しなくてよい。)

        





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  1. 2018/07/31(火) 23:57:00|
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2018大阪府立大 工学部 数学5



第5問

  関数 $\small\sf{\begin{align*}\sf f(\theta)=\frac{1}{2}\sin 2\theta+\sin\theta\end{align*}}$ の区間[x,x+$\small\sf{\pi}$ ] における最大値を$\small\sf{g(x)}$ とする。
  ただし、xは0≦x≦2$\small\sf{\pi}$ をみたす実数とする。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) y=f($\small\sf{\theta}$ ) のグラフを0≦$\small\sf{\theta}$ ≦3$\small\sf{\pi}$ の範囲で描け。ただし,グラフの凹凸は
    調べなくてよい。

 (2) $\small\sf{g(x)}$ をxを用いて表せ。

 (3) $\small\sf{g(x)}$ がx=$\small\sf{\pi}$ において微分可能であるかどうかを理由をつけて答えよ。




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  1. 2018/08/01(水) 23:57:00|
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