第１問
円周を八等分する点を時計回りの順に、A、B、C、D、E、F、G、Hとし、
Aを出発点として駒を置く。1枚の硬貨を投げて、表が出たときは一つ先
の点、裏が出たときは三つ先の点へ駒を時計回りに進め、最初に点Aに
止まったときを上がりとする。例えば、裏裏表表と出たときは、A→D→G
→H→Aと進み、1 周目で上がりとなる。このとき、以下の問いに答えよ。
(１) 硬貨を4回投げて上がりとなる確率を求めよ。
(２) 硬貨を6回投げて上がりとなる確率を求めよ。
(３) 1周目で上がりとなる確率を求めよ。
(４) 途中でGに止まり、1周目で上がりとなる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
表が2回、裏が2回出ればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf _4C_2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2=\underline{\frac{3}{8}}\end{align*}}$
(２)
次の2つの場合がある。
(ア) 表が5回、裏が1回出る
(イ) 表が1回、裏が5回出る
よって、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left\{ _6C_1\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5\cdot\frac{1}{2}\right\}\cdot 2=\underline{\frac{3}{16}}\end{align*}}$
(３)
次の3つの場合がある。
(ウ) 表が2回、裏が2回出る ←(１)と同じ
(エ) 表が5回、裏が1回出る ←(ア)と同じ
(オ) 表が8回出る
よって、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{3}{8}+\frac{3}{32}+\left(\frac{1}{2}\right)^8=\underline{\frac{121}{256}}\end{align*}}$
(４)
1周目にAからGへ移動するには、次の3つの場合がある
(カ) 表が3回、裏が1回出る
(キ) 表が6回出る
(ク) 裏が2回出る
また、1周目にGからAへ移動するのは、表が2回出るときなので、
求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left\{_4C_1\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^6+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right\}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2=\underline{\frac{33}{256}}\end{align*}}$
全学部共通の問題です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/05/04(金) 23:57:00|
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第２問
原点をOとする座標空間において、$\small\sf{A\left(1,\ -4,\ 5\right)\ ,\ B\left(1,\ 2,\ -1\right)\ ,\ }$
$\small\sf{C\left(2,\ 1,\ -1\right)\ ,\ P\left(p,\ q,\ 4\right)}$ とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(１) $\small\sf{\overrightarrow{\sf OP}}$ が$\small\sf{\overrightarrow{\sf AB}}$ と$\small\sf{\overrightarrow{\sf BC}}$ の両方に垂直であるとき、pとqの値をそれぞれ求めよ。
(２) $\small\sf{\overrightarrow{\sf OA}}$ と$\small\sf{\overrightarrow{\sf OP}}$ が垂直であり、$\small\sf{\left|\overrightarrow{\sf OP}+x\overrightarrow{\sf OB}\right|}$ が$\small{\sf x=-2}$ で最小となるとき、
pとqの値をそれぞれ求めよ。
(３) sとtがすべての実数を動くとき、$\small\sf{\left|\overrightarrow{\sf OA}+s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf BC}\right|}$ の最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf OP}=\left(p,q,4\right)\ ,\ \ \overrightarrow{\sf AB}=\left(0,6,-6\right)\ ,\ \ \overrightarrow{\sf BC}=\left(1,-1,0\right)}$
なので、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=0+6q-24=0\ \ \Leftrightarrow\ \ q=4}$
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=p-q+0=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{p=q=4}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=p-4q+20=0\ \ \Leftrightarrow\ \ p=4q-20}$
なので、
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf OP}+x\overrightarrow{\sf OB}=\left(p,q,4\right)+x\left(1,2,-1\right)=\left(x+4q-20,2x+q,-x+4\right)}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf OP}+x\overrightarrow{\sf OB}\right|^2&=\sf \left(x+4q-20\right)^2+\left(2x+q\right)^2+\left(-x+4\right)^2 \\ &=\sf 6x^2+\left(12q-48\right)x+17q^2+16q+416\\ &=\sf 6\left(x+q-4\right)^2+11q^2+64q+320\end{align*}}$
これが最小となるのは、$\scriptsize\sf{x=-q+4}$ のときなので、題意より
$\scriptsize\sf{-q+4=-2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{q=6}}$
$\scriptsize\sf{p=4q-20=\underline{4}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OA}+s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf BC}&=\sf \left(1,-4,5\right)+s\left(0,6,-6\right)+t\left(1,-1,0\right) \\ &=\sf \left(t+1,6s-t-4,-6s+5\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf OA}+s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf BC}\right|^2&=\sf \left(t+1\right)^2+\left(6s-t-4\right)^2+\left(-6s+5\right)^2 \\ &=\sf 72s^2-\left(12t+108\right)s+2t^2+10t+42\\ &=\sf 72\left(s-\frac{t+9}{12}\right)^2+\frac{3}{2}t^2+t+\frac{3}{2}\\ &=\sf 72\left(s-\frac{t+9}{12}\right)^2+\frac{3}{2}\left(t+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{4}{3}\end{align*}}$
これは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s-\frac{t+9}{12}=t+\frac{1}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ s=\frac{13}{18}\ ,\ \ t=-\frac{1}{3}\end{align*}}$
のとき最小となり、その値は $\scriptsize\sf{\frac{4}{3}}$ である。
よって、$\scriptsize\sf{\left|\overrightarrow{\sf OA}+s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf BC}\right|}$ の最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{\frac{4}{3}}=\underline{\frac{2}{\sqrt3}}\end{align*}}$
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- 2018/05/05(土) 23:57:00|
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第３問
数列{an}は
$\small\sf{a_1=1\ ,\ a_2=2\ ,\ a_{n+2}-2a_{n+1}-3a_n=0\ \ \ \left(n=1,2,3,\cdots\right)}$
を満たすとし、数列{bn}、{cn}を
$\small\sf{b_n=a_{n+1}+a_n\ ,\ \ c_n=a_{n+1}-3a_n\ \ \ \left(n=1,2,3,\cdots\right)}$
と定める。自然数nに対して、以下の問いに答えよ。
(１) bn+1をbnの式で表せ。
(２) cn+1をcnの式で表せ。
(３) bnとcnをそれぞれnの式で表せ。
(４) anをnの式で表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{a_{n+2}-2a_{n+1}-3a_n=0\ \ \ \left(n=1,2,3,\cdots\right)}$ ･･････(*)
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a_{n+2}+a_{n+1}=3a_{n+1}+3a_n\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{b_{n+1}=3b_n}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a_{n+2}-3a_{n+1}=a_{n+1}-3a_n\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{c_{n+1}=-c_n}\end{align*}}$
(３)
(１)、(２)より、数列{bn}、{cn}はそれぞれ公比が3、-1の等比数列をなす。
$\scriptsize\sf{b_1=a_2+a_1=3\ ,\ \ c_1=a_2-3a_1=-1}$
なので、
$\scriptsize\sf{b_n=3^{n-1}b_1=\underline{3^n}}$
$\scriptsize\sf{c_n=\left(-1\right)^{n-1}c_1=\underline{\left(-1\right)^n}}$
(４)
(３)より
$\scriptsize\sf{a_{n+1}+a_n=3^n}$
$\scriptsize\sf{a_{n+1}-3a_n=\left(-1\right)^n}$
これら2式の差をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4a_n=3^n-\left(-1\right)^n&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a_n=\underline{\frac{3^n-\left(-1\right)^n}{4}}\end{align*}}$
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- 2018/05/06(日) 23:57:00|
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第４問
放物線y=x2をC1、放物線y=-2x2-1をC2とする。a、bを0でない定数とし、
C1上の点A(a，a2)におけるC1の接線とC2上の点B(b，-2b2-1)における
C2の接線は平行であるとする。また、2点A、Bを通る直線LはC1、C2のそれぞれ
と異なる2点で交わるとし、C1とLの交点でAと異なる点をP、C2とLの交点でBと
異なる点をQとする。このとき、以下の問いに答えよ。
(１) Bの座標と直線Lの方程式をそれぞれaを用いて表せ。
(２) PとQのx座標をそれぞれaの式で表せ。
(３) LとC1で囲まれた部分の面積をS1、LとC2で囲まれた部分の面積をS2
とするとき、$\small\sf{\frac{S_2}{S_1}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{f\left(x\right)=x^2\ ,\ \ g\left(x\right)=-2x^2-1}$
とおくと、導関数はそれぞれ、
$\scriptsize\sf{f\ '\left(x\right)=2x\ ,\ \ g\ '\left(x\right)=-4x}$
A、Bにおけるそれぞれの接線が平行なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '\left(a\right)=g\ '\left(b\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ 2a=-4b \ \ \Leftrightarrow\ \ b=-\frac{1}{2}a\end{align*}}$
よって、Bの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{B\left(-\frac{1}{2}a,-\frac{1}{2}a^2-1\right)} \end{align*}}$
であり、直線Lの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y-a^2=\frac{\left(-\frac{1}{2}a^2-1\right)-a^2}{\left(-\frac{1}{2}a\right)-a}\left(x-a\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{y=\left(a+\frac{2}{3a}\right)x-\frac{2}{3}}\end{align*}}$
(２)
PはC1とLの交点でAと異なる点なので、そのx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2=\left(a+\frac{2}{3a}\right)x-\frac{2}{3}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2-\left(a+\frac{2}{3a}\right)x+\frac{2}{3}=\left(x-a\right)\left(x-\frac{2}{3a}\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=\underline{\frac{2}{3a}}\ \ \ \left(\because\ x\ne a\right)\end{align*}}$
QはC2とLの交点でBと異なる点なので、そのx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -2x^2-1=\left(a+\frac{2}{3a}\right)x-\frac{2}{3}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2x^2+\left(a+\frac{2}{3a}\right)x+\frac{1}{3}=\left(2x+a\right)\left(x+\frac{1}{3a}\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=\underline{-\frac{1}{3a}}\ \ \ \left(\because\ x\ne -\frac{1}{2}a\right)\end{align*}}$
(３)
点Pのx座標をpとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_1&=\sf \left|\int_p^a\left\{\left(a+\frac{2}{3a}\right)x-\frac{2}{3}-x^2\right\}dx\right| \\ &=\sf \left|-\int_p^a\left(x-p\right)\left(x-a\right)dx\right|\\ &=\sf \frac{1}{6}\left|a-p\right|^3\\ &=\sf \frac{1}{6}\left|a-\frac{2}{3a}\right|^3\end{align*}}$
点Qのx座標をqとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_2&=\sf \left|\int_b^p\left[\left(-2x^2-1\right)-\left\{\left(a+\frac{2}{3a}\right)x-\frac{2}{3}\right\}\right]dx\right| \\ &=\sf \left|-2\int_b^q\left(x-q\right)\left(x-b\right)dx\right|\\ &=\sf \frac{1}{3}\left|q-b\right|^3\\ &=\sf \frac{1}{3}\left|\frac{1}{2}a-\frac{1}{3a}\right|^3\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{S_2}{S_1}=\frac{\frac{1}{3}\left|\frac{1}{2}a-\frac{1}{3a}\right|^3}{\frac{1}{6}\left|a-\frac{2}{3a}\right|^3}=\underline{\frac{1}{4}} \end{align*}}$
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- 2018/05/07(月) 23:57:00|
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