第１問
円周を八等分する点を時計回りの順に、A、B、C、D、E、F、G、Hとし、
Aを出発点として駒を置く。1枚の硬貨を投げて、表が出たときは一つ先
の点、裏が出たときは三つ先の点へ駒を時計回りに進め、最初に点Aに
止まったときを上がりとする。例えば、裏裏表表と出たときは、A→D→G
→H→Aと進み、1 周目で上がりとなる。このとき、以下の問いに答えよ。
(１) 硬貨を4回投げて上がりとなる確率を求めよ。
(２) 硬貨を6回投げて上がりとなる確率を求めよ。
(３) 1周目で上がりとなる確率を求めよ。
(４) 途中でGに止まり、1周目で上がりとなる確率を求めよ。
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【解答】
(１)
表が2回、裏が2回出ればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf _4C_2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2=\underline{\frac{3}{8}}\end{align*}}$
(２)
次の2つの場合がある。
(ア) 表が5回、裏が1回出る
(イ) 表が1回、裏が5回出る
よって、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\left\{ _6C_1\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5\cdot\frac{1}{2}\right\}\cdot 2=\underline{\frac{3}{16}}\end{align*}}$
(３)
次の3つの場合がある。
(ウ) 表が2回、裏が2回出る ←(１)と同じ
(エ) 表が5回、裏が1回出る ←(ア)と同じ
(オ) 表が8回出る
よって、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{3}{8}+\frac{3}{32}+\left(\frac{1}{2}\right)^8=\underline{\frac{121}{256}}\end{align*}}$
(４)
1周目にAからGへ移動するには、次の3つの場合がある
(カ) 表が3回、裏が1回出る
(キ) 表が6回出る
(ク) 裏が2回出る
また、1周目にGからAへ移動するのは、表が2回出るときなので、
求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left\{_4C_1\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^6+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right\}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2=\underline{\frac{33}{256}}\end{align*}}$
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第２問
原点をOとする座標空間において、$\small\sf{A\left(1,\ -4,\ 5\right)\ ,\ B\left(1,\ 2,\ -1\right)\ ,\ }$
$\small\sf{C\left(2,\ 1,\ -1\right)\ ,\ P\left(p,\ q,\ 4\right)}$ とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(１) $\small\sf{\overrightarrow{\sf OP}}$ が$\small\sf{\overrightarrow{\sf AB}}$ と$\small\sf{\overrightarrow{\sf BC}}$ の両方に垂直であるとき、pとqの値をそれぞれ求めよ。
(２) $\small\sf{\overrightarrow{\sf OA}}$ と$\small\sf{\overrightarrow{\sf OP}}$ が垂直であり、$\small\sf{\left|\overrightarrow{\sf OP}+x\overrightarrow{\sf OB}\right|}$ が$\small\sf{x=-2}$ で最小となるとき、
pとqの値をそれぞれ求めよ。
(３) sとtがすべての実数を動くとき、$\small\sf{\left|\overrightarrow{\sf OA}+s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf BC}\right|}$ の最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf OP}=\left(p,q,4\right)\ ,\ \ \overrightarrow{\sf AB}=\left(0,6,-6\right)\ ,\ \ \overrightarrow{\sf BC}=\left(1,-1,0\right)}$
なので、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=0+6q-24=0\ \ \Leftrightarrow\ \ q=4}$
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=p-q+0=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{p=q=4}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=p-4q+20=0\ \ \Leftrightarrow\ \ p=4q-20}$
なので、
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf OP}+x\overrightarrow{\sf OB}=\left(p,q,4\right)+x\left(1,2,-1\right)=\left(x+4q-20,2x+q,-x+4\right)}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf OP}+x\overrightarrow{\sf OB}\right|^2&=\sf \left(x+4q-20\right)^2+\left(2x+q\right)^2+\left(-x+4\right)^2 \\ &=\sf 6x^2+\left(12q-48\right)x+17q^2+16q+416\\ &=\sf 6\left(x+q-4\right)^2+11q^2+64q+320\end{align*}}$
これが最小となるのは、$\scriptsize\sf{x=-q+4}$ のときなので、題意より
$\scriptsize\sf{-q+4=-2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{q=6}}$
$\scriptsize\sf{p=4q-20=\underline{4}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OA}+s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf BC}&=\sf \left(1,-4,5\right)+s\left(0,6,-6\right)+t\left(1,-1,0\right) \\ &=\sf \left(t+1,6s-t-4,-6s+5\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf OA}+s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf BC}\right|^2&=\sf \left(t+1\right)^2+\left(6s-t-4\right)^2+\left(-6s+5\right)^2 \\ &=\sf 72s^2-\left(12t+108\right)s+2t^2+10t+42\\ &=\sf 72\left(s-\frac{t+9}{12}\right)^2+\frac{3}{2}t^2+t+\frac{3}{2}\\ &=\sf 72\left(s-\frac{t+9}{12}\right)^2+\frac{3}{2}\left(t+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{4}{3}\end{align*}}$
これは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s-\frac{t+9}{12}=t+\frac{1}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ s=\frac{13}{18}\ ,\ \ t=-\frac{1}{3}\end{align*}}$
のとき最小となり、その値は $\scriptsize\sf{\frac{4}{3}}$ である。
よって、$\scriptsize\sf{\left|\overrightarrow{\sf OA}+s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf BC}\right|}$ の最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{\frac{4}{3}}=\underline{\frac{2}{\sqrt3}}\end{align*}}$
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第３問
複素数zと共役な複素数を$\small\sf{\overline{z}}$ で表し、i を虚数単位とする。また、複素数平面上で、
$\small\sf{1+i}$ を表す点をPとする。このとき、以下の問いに答えよ。
(１) 複素数zの実部は$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\left(z+\overline{z}\right)\end{align*}}$ に等しいことを示せ。
(２) $\small\sf{\left(1+i\right)z}$ の実部が1であるような任意の複素数zに対して、次の等式を満たす
実数tが存在することを示せ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf z=\frac{1-i}{2}+\left(1+i\right)t\end{align*}}$
(３) 0でない複素数wが複素数平面における中心P、半径$\small\sf{\sqrt2}$ の円周上の点である
とする。$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1+i}{w}\end{align*}}$ の実部の値を求めよ。
(４) 複素数zに対して$\small\sf{2\left(1+i\right)z}$ の実部が1であるとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{z}\end{align*}}$ は複素数平面における
中心P、半径$\small\sf{\sqrt2}$ の円周上にあることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
実数x、yを用いて
$\scriptsize\sf{z=x+yi\ ,\ \ \overline{z}=x-yi}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z+\overline{z}=2x\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{1}{2}\left(z+\overline{z}\right) \end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(２)
実数yを用いて
$\scriptsize\sf{\left(1+i\right)z=1+yi}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z&=\sf \frac{1+yi}{1+i} \\ &=\sf \frac{\left(1+yi\right)\left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)}\\ &=\sf \frac{1-i}{2}+\frac{y\left(1+i\right)}{2}\end{align*}}$
ここで、yは実数なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=\frac{y}{2}\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z=\frac{1-i}{2}+\left(1+i\right)t\end{align*}}$
となり、題意は示された。
(３)
題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|w-\left(1+i\right)\right|^2=2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left\{w-\left(1+i\right)\right\}\left\{\overline{w}-\left(1-i\right)\right\}=2 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf w\overline{w}-\left(1-i\right)w-\left(1+i\right)\overline{w}+\left(1+i\right)\left(1-i\right)=2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(1-i\right)w+\left(1+i\right)\overline{w}=w\overline{w}\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1+i}{w}\end{align*}}$ の実部は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\left\{\frac{1+i}{w}+\overline{\left(\frac{1+i}{w}\right)}\right\}&=\sf \frac{1}{2}\left(\frac{1+i}{w}+\frac{1-i}{\overline{w}}\right) \\ &=\sf \frac{\left(1-i\right)w+\left(1+i\right)\overline{w}}{2w\overline{w}}\\ &=\sf \frac{w\overline{w}}{2w\overline{w}}\\ &=\sf \underline{\frac{1}{2}}\end{align*}}$
(４)
実数yを用いて
$\scriptsize\sf{2\left(1+i\right)z=1+yi}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z&=\sf \frac{1+yi}{2\left(1+i\right)} \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{z}=\frac{2\left(1+i\right)}{1+yi}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\frac{1}{z}-\left(1+i\right)\right|&=\sf \left|\frac{2\left(1+i\right)}{1+yi}-\left(1+i\right)\right|\\ &=\sf \left|\frac{\left(1+i\right)\left(1-yi\right)}{1+yi}\right|\\ &=\sf \frac{\left|1+i\right|\ \left|1-yi\right|}{\left|1+yi\right|}\\ &=\sf \frac{\sqrt2\ \sqrt{1+y^2}}{\sqrt{1+y^2}}\\ &=\sf \sqrt2\end{align*}}$
よって、点$\scriptsize\sf{\frac{1}{z}}$ は、点P中心、半径$\scriptsize\sf{\sqrt2}$ の円周上にある。
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第４問
自然数nに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=\int_1^e\left(log\ x\right)^ndx\end{align*}}$
とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(１) S1を求めよ。
(２) Sn+1をSnとnの式で表せ。
(３) $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty} \end{align*}}$Snを求めよ。
(４) $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty} \end{align*}}$nSnを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_1&=\sf\int_1^e log\ xdx \\&=\sf\int_1^e \left(x\right)'log\ xdx \\ &=\sf \bigg[xlog\ x-x\bigg]_1^e\\ &=\sf \underline{1}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_{n+1}&=\sf \int_1^e\left(log\ x\right)^{n+1}dx \\ &=\sf \int_1^e\left(x\right)'\left(log\ x\right)^{n+1}dx\\ &=\sf \bigg[\left(log\ x\right)^{n+1}\bigg]_1^e-\int_1^e x\cdot\left(n+1\right)\left(log\ x\right)^{n}\cdot\frac{1}{x}dx\\ &=\sf \underline{e-\left(n+1\right)S_n}\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{1\leqq x\leqq e}$ の範囲で$\scriptsize\sf{0\leqq \log x\leqq 1}$ が成り立つので、
$\scriptsize\sf{0\leq \left(log\ x\right)^{n+1}\leq \left(log\ x\right)^{n}}$
よって、
$\scriptsize\sf{0\leq S_{n+1}\leq S_n}$
ここで、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=\frac{e-S_{n+1}}{n+1} \end{align*}}$ ･･････(*)
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_{n+1}\leq\frac{e-S_{n+1}}{n+1}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(n+1\right)S_{n+1}\leq e-S_{n+1}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf S_{n+1}\leq\frac{e}{n+2}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{e}{n+2}=0 \end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}S_{n+1}=0\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\lim_{n\rightarrow\infty}S_{n}=\underline{0}\end{align*}}$
(４)
(*)と(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}nS_n&=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\left(e-S_{n+1}\right)}{n+1} \\ &=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\cdot\left(e-S_{n+1}\right)\\ &=\sf \underline{e}\end{align*}}$
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